激光操控雙射頻Paul囚禁離子的局域運(yùn)動(dòng)

郝紅軍，賈拴穩(wěn)

(安陽師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，中國(guó)安陽 455000)

由于離子阱技術(shù)［1］的成熟，以及離子阱技術(shù)在量子計(jì)算［2-3］等方面的重要應(yīng)用，研究囚禁單粒子運(yùn)動(dòng)的控制問題是很有意義的.容易實(shí)現(xiàn)操控條件的離子阱系統(tǒng)中，為研究粒子的經(jīng)典或量子力學(xué)動(dòng)力學(xué)特征，開辟了一個(gè)實(shí)驗(yàn)和理論研究的重要領(lǐng)域.

囚禁粒子在含時(shí)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)中，常常會(huì)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性［4-5］.對(duì)于單頻Paul 阱系統(tǒng)，我們不能求出運(yùn)動(dòng)方程的精確解［6］，但是在雙射頻Paul 阱系統(tǒng)中［7-8］，在一定條件下，系統(tǒng)存在精確解.本文研究當(dāng)雙射頻Paul 阱系統(tǒng)加上一個(gè)激光線性控制時(shí)囚禁離子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì).通過精確求解受控雙射頻Paul 阱系統(tǒng)Schrodinger 方程發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加控制的頻率和Paul 阱的頻率比值取某些特定值時(shí)，雙射頻Paul 阱內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)局域化狀態(tài)，這一現(xiàn)象與1986年Dunlap 和Kenkre［9］發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)局域現(xiàn)象相似.他們理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在無窮晶格鏈系統(tǒng)中，當(dāng)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)強(qiáng)與頻率的比值取零階Bessel 方程的根時(shí)，體系出現(xiàn)局域態(tài).操控頻率與Paul 阱頻率的比值相比較驅(qū)動(dòng)場(chǎng)強(qiáng)與頻率的比值，存在很大的不同.在通常共振現(xiàn)象中，操控頻率與體系固有頻率是強(qiáng)烈相關(guān)的，這里局域化現(xiàn)象的出現(xiàn)與共振現(xiàn)象有著某種相反的特征，因此這里發(fā)現(xiàn)的是一種新的動(dòng)力學(xué)局域化現(xiàn)象.

1 理論模型與計(jì)算

考慮囚禁在雙射頻Paul 阱內(nèi)單個(gè)離子受到激光場(chǎng)控制時(shí)的一維運(yùn)動(dòng)，體系的Hamilton 量為

式中，m 是離子質(zhì)量;p 是離子x 方向的動(dòng)量算符;Paul 阱含時(shí)彈性系數(shù)

操控激光場(chǎng)近似為頻率為Ω 的控制電場(chǎng)

式(2)中αx和q1，2是與Paul 阱有關(guān)的無量綱參數(shù)［1］;ω 為Paul 阱2 個(gè)射頻驅(qū)動(dòng)中的低射頻;式(3)中ε0為外加控制激光場(chǎng)的強(qiáng)度.下面求解體系的量子態(tài).

體系的量子態(tài)ψ(x，t)滿足Schrodinger 方程

設(shè)量子態(tài)ψ(x，t)的函數(shù)形式為

其中a(t)，b(t)和c(t)是時(shí)間的復(fù)函數(shù)，Hermite 多項(xiàng)式Hn的宗量

ξ=e(t)x－f(t)，

e(t)和f(t)是實(shí)函數(shù).把(6)式代入(5)式，并利用Hermite 多項(xiàng)式性質(zhì)

得到

式中變量上的“·”表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo).(7)是復(fù)Riccati 方程，通過變換

得到

(13)式是雙射頻形式的Mathieu 方程，如果q2=0，(13)式就變?yōu)橥ǔ晤lPaul 阱的Mathieu 方程，它沒有精確解，只能通過各種近似方法求解.雙射頻形式的Mathieu 方程，在某些參數(shù)條件下有精確解［7，12］，如參數(shù)滿足條件

則(13)式有2 個(gè)線性無關(guān)的精確解

φ2的一階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù).φ1和φ2的任意復(fù)系數(shù)疊加得到(13)式的通解

由(8)得

復(fù)積分常數(shù)b0由體系的初始條件決定.把b 和b0均寫為實(shí)部與虛部分離的形式b(b0)=b1(b01)+ib2(b02)，則

式中An是歸一化常數(shù).

到此，(6)式中各個(gè)未知的時(shí)間函數(shù)都已求出，我們得到Schrodinger 方程(4)的一個(gè)精確解

2 結(jié)果分析和討論

從(16)式波函數(shù)ψn(x，t)的形式可以看出，只有實(shí)指數(shù)函數(shù)中C0≠0 時(shí)，ψn(x，t)才有解，所以在(14)式構(gòu)造φ 時(shí)，要求滿足條件AB'－A'B ≠0，本文將令A(yù)=B'=1，A'=B=0，即φ=φ1+iφ2，C0=1.容易看出態(tài)ψn(x，t)的位置幾率分布是一個(gè)波包列［11，13］，ρ 反映波包列的寬度和高度，b 的實(shí)部b1決定波包列中心的位置，也就是外加驅(qū)動(dòng)決定波包列中心的運(yùn)動(dòng)，讓(17)式ξ=0 可以計(jì)算得到波包列的中心位置在xc=ρ2b1.如果取初始時(shí)刻波函數(shù)的波包列中心在原點(diǎn)，則(15)式中與初始條件有關(guān)的積分常數(shù)b10=b20=0，這時(shí)波包列中心位置

通過計(jì)算可以知道態(tài)ψn(x，t)的位置平均值等于波包列中心位置坐標(biāo)

態(tài)ψn(x，t)的動(dòng)量平均值

式(18)實(shí)際上也是把體系作為經(jīng)典系統(tǒng)處理時(shí)，初時(shí)刻靜止在原點(diǎn)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程.由于φ2的時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)2nπ 處不連續(xù)，依據(jù)Ehrenfest 定理［14］，要求在(19)式中，，這個(gè)方程可以用作圖法求解.當(dāng)Paul 阱參數(shù)q1取典型值0.4，=1 時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，得到的關(guān)系如圖1.

圖1 與的關(guān)系Fig.1 The integraldt as a function of.The thick，thin and dash curves correspond to n=1，2 and 3，respectively.The inset displays the corresponding results for.

下面依據(jù)(18)式數(shù)值計(jì)算波包列中心的運(yùn)動(dòng)情況.Paul 阱參數(shù)q1取典型值0.4，.圖2 給出初時(shí)刻波包列中心在原點(diǎn)的量子態(tài)當(dāng)Ω/ω 取不同值時(shí)，波包中心xc2 個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡(時(shí)間和長(zhǎng)度單位分別取ω－1和，圖中坐標(biāo)t 和xc無量綱)，圖(a)、(b)和(c)分別對(duì)應(yīng)Ω/ω=1.5，2.5，9.5.從圖中看出，粒子從初始位置0 處開始向正方向運(yùn)動(dòng)，做基頻振動(dòng)周期為4π 的周期運(yùn)動(dòng)(Paul 阱的宏運(yùn)動(dòng)周期)，隨Ω/ω增加(控制頻率增加)，粒子振動(dòng)加快，當(dāng)Ω/ω=9.5 時(shí)，振幅明顯出現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象;還可以發(fā)現(xiàn)，在t 等于2π和6π 處，離子受到向x 正方向的反沖.

圖2 q1=0.4，，初時(shí)刻波包中心在原點(diǎn)的量子態(tài)，在Ω/ω 取不同值時(shí)，波包中心xc 運(yùn)動(dòng)軌跡(時(shí)間和長(zhǎng)度分別取單位ω－1 和，t 和xc 無量綱).(a)Ω/ω=1.5 時(shí)，在2π 和6π 處有向x 正方向反沖;(b)Ω/ω=2.5 時(shí)，振動(dòng)頻率增加;(c)Ω/ω=9.5 時(shí)，出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象Fig.2 The motion of the wave-packet centre with q1=0.4，and xc(t=0)=0.The time t and distance xc are normalized in the units of ω－1 and，respectively.(a)For Ω/ω=1.5，there are recoils in the xc-direction at t=2π and 6π，(b)For Ω/ω=2.5，the vibration frequency increases，(c)For Ω/ω=9.5，the phenomenon of beats appears

為了便于比較，圖3 給出Ω/ω 不滿足局域運(yùn)動(dòng)態(tài)條件時(shí)的數(shù)值計(jì)算圖像，圖3(a)和(b)分別對(duì)應(yīng)Ω/ω=1.48 和2(坐標(biāo)等條件與圖2 相同)，這時(shí)由于動(dòng)量平均值在2nπ 處不連續(xù)，所以這時(shí)的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定態(tài)，不會(huì)在Paul 阱內(nèi)長(zhǎng)時(shí)存在.我們看到，圖3(a)與圖2(a)的區(qū)別是，前者在t=2π 和6π 處粒子受到的反沖不能與運(yùn)動(dòng)相“平衡”，這與經(jīng)典物理中振動(dòng)態(tài)穩(wěn)定要求策動(dòng)與運(yùn)動(dòng)平衡相一致.但圖3(b)中粒子受到的反沖與運(yùn)動(dòng)“平衡”，為什么它也是不穩(wěn)定的態(tài)呢?

圖3 Ω/ω 取值不滿足穩(wěn)定態(tài)要求時(shí)xc 的軌跡，條件與圖2 相同.(a)Ω/ω=1.48 時(shí)，在t=2π，6π 處，反沖與運(yùn)動(dòng)不平衡;(b)Ω/ω=2 時(shí)，在2π 和6π 處反沖向負(fù)方向Fig.3 The motion of the wave-packet centre with Ω/ω values that do not satisfy the stable state condition.The same units as those in Fig.2 are used.(a)For Ω/ω=1.48，the recoil motion is imbalance at t=2π，6π，(b)For Ω/ω=2.5，there are recoils in the negative xc-direction at t=2π and 6π

我們看初始條件一樣但沒有控制電場(chǎng)時(shí)，Paul 阱內(nèi)經(jīng)典穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)解xc=eq1costsin(t/2)的圖像［7］(圖4)，它就是φ1=eq1costsin(t/2)的圖像，它也可以由(18)式加齊次相，再令=0 數(shù)值計(jì)算得到.圖4 中，在t=2π和6π 處，粒子向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的速率最大，因此我們可以理解圖3(b)不穩(wěn)定態(tài)是由于反沖向負(fù)方向與系統(tǒng)本征運(yùn)動(dòng)同相;而圖2中運(yùn)動(dòng)的反沖向正方向，與系統(tǒng)本征運(yùn)動(dòng)反相，因此是穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文發(fā)現(xiàn)在激光操控的雙射頻Paul 勢(shì)阱系統(tǒng)中，控制頻率與雙射頻Paul 阱的一個(gè)射頻比為某些離散值時(shí)，受控離子會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力學(xué)局域化現(xiàn)象，它與Dunlap 和Kenkre 發(fā)現(xiàn)的無窮晶格系統(tǒng)中，驅(qū)動(dòng)場(chǎng)強(qiáng)ε 與驅(qū)動(dòng)頻率ω 比值為某些值時(shí)發(fā)生的動(dòng)力學(xué)局域化現(xiàn)象雖然類似但不一樣.由于離子阱系統(tǒng)相比晶格系統(tǒng)人為控制難度較小，這里的現(xiàn)象應(yīng)該更容易在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，有望能借助相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其存在性.需要指出的是，這里的動(dòng)力學(xué)局域化條件Ω/ω=n+1/2(ω 是Paul 阱射頻，Ω是驅(qū)動(dòng)頻率)，與近年發(fā)現(xiàn)的微波誘導(dǎo)零電阻狀態(tài)現(xiàn)象［15－16］的條件很相似.零電阻現(xiàn)象是當(dāng)微波頻率ω 與電子回旋頻率ωc滿足關(guān)系ω/ωc=n+1/2 時(shí)，二維電子氣電阻存在最小值，本研究對(duì)該現(xiàn)象的機(jī)理探討有一定的參考價(jià)值.

圖4 沒有驅(qū)動(dòng)時(shí)(=0)，Paul 阱的一個(gè)本征運(yùn)動(dòng)，即(13a)式，其他條件與圖2 相同，在t=2π 和6π 處，粒子向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)Fig.4 The motion of an eigenstate with manipulation not existing in the Paul trap.The particle moves in the negative direction at t=2π or 6π.The other parameters are same as in Fig.2

本文曾得到湖南師范大學(xué)海文華教授的指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝忱.

［1］GOSH P K.Ion traps［M］.Oxford:Clarendon Press，1995.

［2］HAFFNER H，ROOS C F，BLATT R.Quantum computing with trapped ions［J］.Phys Rep，2008，469(4):155-203.

［3］BLATT R，WINELAND D.Entangled states of trapped atomic ions［J］.Nature，2008，453(7198):1008-1015.

［4］陳文欽，海文華，李 輝，等.脈沖式棘齒勢(shì)場(chǎng)作用下囚禁離子的規(guī)則與混沌運(yùn)動(dòng)［J］.物理學(xué)報(bào)，2007，56(3):1305-1312.

［5］LIGNIER H，SIAS C，CIAMPINI D，et al.Dynamical control of matter-wave tunneling in periodic potentials［J］.Phys Rev Lett，2007，99(22):2204031-2204034.

［6］LEIBFRIED D，BLATT R，MONROE C，et al.Quantum dynamics of single trapped ions［J］.Rev Mod Phys，2003，75(1):281-324.

［7］CHEN Q，HAI K，HAI W H.Quantum control of a Paul-trapped ion via double radio-frequency driving［J］.J Phys A Math Theor，2010，43(45):4553021-45530213.

［8］NIE Z X，F(xiàn)ENG M，LI J M，et al.Effect of the double frequency of trap field in a Paul trap［J］.Commun Theor Phys，2001，36(11):593-596.

［9］DUNLAP D H，KENKRE V M.Dynamic localization of a charged particle moving under the influence of an electric field［J］.Phys Rev B，1986，34(6):3625-3633.

［10］HUSIMI K.Miscellanea in elementary quantum mechanics-Ⅱ［J］.Prog Theor Phys，1953，9(4):381-402.

［11］HAI W H，HUANG S，GAO K.Wavepacket trains of a Paul trapped ion［J］.J Phys B At Mo Opt Phys，2003，36(14):3055-3061.

［12］HAI K，HAi W H，CHEN Q.Exact manipulations to Bloch states of a particle in a double cosine potential［J］.Phys Lett A，2007，367(6):445-449.

［13］LU G B，HAI W H，XIE Q T.Controlling quantum motions of a trapped and driven electron:an exact analytic treatment［J］.J Phys A Math Gen，2006，39(2):401-405.

［14］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)導(dǎo)論［M］.2 版.北京:北京大學(xué)出版社，1998.

［15］ZUDOV M A，DU R R，PFEIFFER L N，et al.Evidence for a new dissipationless effect in 2D electronic transport［J］.Phys Rev Lett，2003，90(4):0468071-0468074.

［16］ZHANG W，ZUDOV M A，PFEIFFER L N，et al.Resistance oscillations in two-dimensional electron systems induced by both ac and dc fields［J］.Phys Rev Lett，2007，98(10):1068041-1068044.