車輛-高架橋耦合系統(tǒng)豎向振動分析車輛軌道新模型

羅文俊，雷曉燕，練松良

（1.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；2.華東交通大學鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌330013）

我國正大力發(fā)展高速鐵路，大多采用高架橋形式。高速列車通過高架橋梁引起結(jié)構(gòu)的振動問題成為研究熱點，各國專家在理論和應用方面都做了大量工作。早期針對等截面均布梁提出的計算模型和計算方法主要是解析或半解析法［1-3］。后來隨著計算機技術的發(fā)展，又提出了比較復雜的分析模型。其中一種是橋梁車輛耦合系統(tǒng)采取分離的方程，兩者通過輪軌力平衡及幾何相容條件聯(lián)系，運用迭代法對車輛、軌道橋梁動力方程交叉求解，得到耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應［4-10］。另一種是模型是建立車輛橋梁系統(tǒng)的耦合方程，橋梁結(jié)構(gòu)采用有限元及模態(tài)分析法與子結(jié)構(gòu)法模擬，車輛考慮為多自由度剛體，車橋耦合方程一般采用直接積分法求解［11-12］。前者時間步長的選取要求較高，后者則因車橋耦合系統(tǒng)的系數(shù)矩陣會隨著車輛在橋上位置的變化而發(fā)生改變，這樣在每一時間步求解時都必須重新產(chǎn)生和分解，而且隨著車橋系統(tǒng)計算模型的復雜性增加，耦合的自由度數(shù)也將變大，使得計算量變大。

本文在華東交通大學雷曉燕教授［13］車輛-無砟軌道-橋梁四層梁模型的基礎上，提出了新型軌道-橋梁單元和動輪單元，模型中只研究輪軌豎向動力響應；上部車輛系統(tǒng)和下部軌道系統(tǒng)沿線路方向左右對稱，取結(jié)構(gòu)的一半進行研究。整個系統(tǒng)分解為上部車輛和下部無砟軌道-橋梁兩個子系統(tǒng)。模型中耦合系統(tǒng)的顯式時變耦合運動方程，在每一步求解時，車輛和軌道系統(tǒng)之間的位移和力的協(xié)調(diào)關系自然得到滿足，對時間步長的選取要求不高。同時模型針對系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)采用了不同自由度，因此該方法的計算精度高、程序編制容易，適合多節(jié)車輛通過時軌道結(jié)構(gòu)的振動分析。

1 軌道-橋梁單元模型

本文模型針對橋上CRTS II型板式無砟軌道系統(tǒng)，將軌道-橋梁結(jié)構(gòu)簡化為四層梁單元模型，分別為鋼軌、軌道板、底座混凝土支撐層和橋梁。ky1，cy1分別為軌下墊層支承彈性、阻尼系數(shù)；ky2，cy2分別為CA砂漿層的支承彈性、阻尼系數(shù)；ky3，cy3分別為混凝土墊層下橋梁的支承彈性、阻尼系數(shù)。

以多節(jié)點的一個廣義梁單元對長度為L軌道-橋梁結(jié)構(gòu)的四層梁模型進行離散，角標r，s，f ，b 分別表示鋼軌、軌道板、底座混凝土板、橋梁，如圖1所示。鋼軌、軌道板、底座混凝土支撐層、橋梁的自由度數(shù)分別為Nr，Ns，Nf，Nb。軌道單元的總自由度為N，即N=Nr+Ns+Nf+Nb。橋梁軌道單元的節(jié)點位移向量為

對應的軌道-橋梁單元的插值函數(shù)為

其中qrn(n=1，...，Nr)，qsn(n=1，...，Ns)，qnf(n=1，...，Nf)，qbn(n=1，...，Nb)分別為鋼軌、軌道板、底座混凝土支撐層、橋梁的節(jié)點位移。

圖1 CRTS II板式無砟軌道-橋梁結(jié)構(gòu)單元模型Fig.1 CRTS II slab track-bridge element model

在文獻【14】中，楊廣軍詳細研究了在彈性支撐上的鋼軌的多跨連續(xù)梁本征值問題，將鋼軌模擬為彈性地基上的Euler 梁，研究表明其振型函數(shù)和相同結(jié)構(gòu)簡支梁的各階振型函數(shù)完全相同。同時，將長厚比大于25的連續(xù)型軌道板、底座混凝土支撐層及橋梁模擬為梁模型，其模態(tài)函數(shù)可參考文獻［15］。本文將鋼軌部分的插值函數(shù)φrn(x)取為φr1(x)=1-，φr2(x)=x-，φr3(x)=，φr4(x)=-，φrn(x)=，(n=5，6，…，Νr)。同時，將鋼軌部分插值函數(shù)表達式中的角標r替換為s，f ，b，即分別為軌道板、底座混凝土板、橋梁的對應的插值函數(shù)，由于軌道板、底座混凝土板、橋梁的振動頻率相對于鋼軌要低，尤其是橋梁，可以采用相對較少的自由度即可獲得滿意的精度，因此單元中軌道板、底座混凝土支撐層、橋梁采用不同的自由度數(shù)。

上述有關軌道-橋梁單元建模的方法，融合和有限元法與模態(tài)分析法的特點。這種方法與一般的常規(guī)的軌道-橋梁廣義梁單元相比，減少了計算自由度，且只有一個大單元，不需要判斷車輛所在軌道-橋梁系統(tǒng)的具體單元位置，因此具有自由度少、不需要組合軌道-橋梁單元有限元總矩陣、編程簡單的特點。

根據(jù)有限元法推導單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。

下部四層軌道-橋梁單元的質(zhì)量矩陣：

四層軌道-橋梁單元的剛度矩陣：

設整個單元長度L中共有t個等距的離散支承，每兩個支撐間的間距為dl。假設第一個支撐在單元的原點處，第i個支撐位置的坐標為xsi。且xsi=(i-1)dl，其中i=1，2，…，s。

則第i個支撐位置處的彈簧位移為

第一層連續(xù)支承彈簧的位移為

四層軌道-橋梁單元的阻尼矩陣

其中αr，s，f，b，βr，s，f，b分別為鋼軌、軌道板、底座混凝土板、橋梁的比例阻尼系數(shù)。

2 車輛單元模型

將每節(jié)車輛離散為4個具有二系懸掛的獨立動輪單元，車體、轉(zhuǎn)向架和車輪均為剛體，只考慮其沉浮振動；輪軌間為彈性接觸；車輪始終與鋼軌接觸，即車輪不懸空。

車輛單元模型見圖2，Mc，Mt為車體和轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量；Ks1，Cs1分別為車輛一、二系懸掛剛度、阻尼系數(shù)；Ks2，Cs2為車輛二系懸掛剛度、阻尼系數(shù)；Mwi(i=1，2，3，4)為第i個車輪質(zhì)量。η表示軌面隨機不平順幅值，與第i車輪接觸處不平順幅值為ηi(i=1，2，3，4)。

考慮鋼軌有Νr個自由度，每個單輪有3 個自由度，即車輛單元的自由度有(Νr+12 )個。模型有(Νr+12) 個節(jié)點，分別為r1，r2，…，rΝr，c1，t1，w1，c2，t2，w2，…，c4，t4，w4；節(jié)點位移向量為

Qi為第i輪與鋼軌的接觸點，設原點與Qi間的距離為xi，xi=vt+ai，即t時刻第i個車輪與原點的距離，ai為第i車輪在初始時刻與原點的距離。下部梁長為L。

假定下部梁單元（鋼軌）的位移模式為

其中φrn(x)為梁的插值函數(shù)，其形式與軌道-橋梁單元的鋼軌的差值函數(shù)一致。qrn(t)為n節(jié)點的節(jié)點位移。根據(jù)有限元法推導單元的質(zhì)量、剛度及阻尼矩陣。

圖2 車輛單元模型Fig.2 Vehicle element model

車輛單元的質(zhì)量矩陣：

其中

上部車輛單元的剛度矩陣：

其中

車輛單元的阻尼矩陣：

3 列車-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)動力方程

整個離散成車輛和軌道-橋梁單元，一節(jié)車輛離散為4個動輪單元。程序編制時由于軌道-橋梁單元是離散成一個多自由度的單元，單元矩陣即是總矩陣，所以不需要進行總矩陣的組合，且不需要判斷車輛所在軌道-橋梁系統(tǒng)的具體單元位置，因此程序編制容易。同時只需形成一次軌道-橋梁系統(tǒng)的特性矩陣，在以后每一時步的計算中，再組集車輛單元的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣，而且單元中針對振動頻率不同的部分選取了不同的自由度，大大降低了系統(tǒng)的自由度數(shù)，所以計算效率大大地提高了。

4 算例

計算時選取兩節(jié)車輛，分析軌道-橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性。車輛為和諧號CRH3，車速為83 m·s-1，基本參數(shù)見表1。軌道條件單跨為32 m的雙線簡支箱形梁橋，軌道板為連續(xù)軌道板，其參數(shù)取自文獻［16］，具體參數(shù)見表2。線路總長160 m，軌道-橋梁單元中鋼軌、軌道板、底座混凝土板和橋梁分別取200，150，150，40 個自由度［13］。Newmark數(shù)值積分法時間步長為0.001 s，考慮軌道隨機不平順狀態(tài)時，采用最接近我國高速鐵路狀況的德國低干擾譜，采用三角函數(shù)法［4］進行數(shù)值模擬，代入式（20）可得到其引起的附加動荷載。計算結(jié)果見圖3～圖7。

表1 和諧號高速動車CRH3車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 CRH3 vehicle parameters

表2 CRTSⅡ型板式無砟軌道橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 CRTSⅡunballast slab track and bridge parameters

圖3～圖7是部分具有代表性的軌道系統(tǒng)豎向動力時程曲線，其中包括：豎向輪軌作用力，鋼軌、橋梁豎向位移曲線、鋼軌、橋梁豎向加速度曲線。從圖3～圖7可以看出，各指標數(shù)值均在通常范圍內(nèi)，各曲線趨勢符合物理概念。在鋼軌豎向位移曲線中可以看出，當車輪經(jīng)過鋼軌某一處時，位移數(shù)值均較大，反之，位移數(shù)值均很小，甚至接近零；此外，還可從圖中的尖點來確定車輪的數(shù)目，車輛何時通過鋼軌觀察點，以及兩尖點間的時間差來確定車型，這些都說明本文模型得正確可行，也能較好地反映無砟軌道橋梁結(jié)構(gòu)的豎向動力特性。

圖3 豎向輪軌作用力Fig.3 Vertical wheel/rail contact force

圖4 鋼軌豎向位移fig.4 Vertical displacement of rail

圖5 橋梁豎向位移Fig.5 Vertical displacement of bridge

圖6 鋼軌豎向加速度Fig.6 Vertical acceleration of rail

圖7 橋梁豎向加速度Fig.7 Vertical acceleration of bridge

5 結(jié)論

提出的新型FEM梁單元的插值函數(shù)與簡支梁振動精確模態(tài)函數(shù)一致，因此該梁單元所求解可以看成是該梁振動的精確解，這樣的梁單元是以梁振動精確模態(tài)函數(shù)為插值函數(shù)的特殊單元，可以較少的自由度獲得較高的精度。此類單元結(jié)合了有限元法與模態(tài)分析法的優(yōu)點，適合分析其振動模態(tài)已知，形狀規(guī)則的振動結(jié)構(gòu)。同時基于能量原理建立了動力控制方程，使得單元質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣形式對稱，而且無砟軌道-橋梁單元是離散成一個多自由度的單元，單元矩陣即是總矩陣，所以不需要進行總矩陣的組合，且不需要判斷車輛所在無砟軌道-橋梁系統(tǒng)的具體單元位置，這樣就降低了程序編制的難度。同時單元中針對振動頻率不同的部分選取了不同的自由度，大大降低了系統(tǒng)的自由度數(shù)，又由于整個列車-軌道-橋梁系統(tǒng)只包含車輛單元和軌道-橋梁兩種單元，且每個時間步長中無砟軌道-橋梁單元對應的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣表達式不變，因而提高了計算效率。

文中運用模型計算了具有隨機不平順的無砟軌道橋梁時變系統(tǒng)豎向振動響應，得出了系統(tǒng)響應典型時程曲線。其計算數(shù)值及曲線波形，都可以較好地反映無砟軌道橋梁系統(tǒng)的振動特性。

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