基于M／M／1模型的網(wǎng)絡(luò)及時可靠性加速模型

李瑞瑩 康 銳 黃 寧

（北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191）

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展與應(yīng)用，對網(wǎng)絡(luò)的定量與定性特征的科學(xué)理解，已成為一個極其重要的挑戰(zhàn)性課題，甚至被稱為“網(wǎng)絡(luò)的新科學(xué)”［1］.隨著網(wǎng)絡(luò)使用的普及，網(wǎng)絡(luò)負(fù)載增大，由擁塞造成的及時可靠性已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)定量特征理解的重要問題.

在一個新的網(wǎng)絡(luò)建成前，在一種新的服務(wù)投入使用前，試驗(yàn)是考核網(wǎng)絡(luò)可靠性的重要途徑.然而，網(wǎng)絡(luò)任務(wù)周期普遍較長，為了有效暴露故障，網(wǎng)絡(luò)可靠性試驗(yàn)時間往往是其任務(wù)周期的數(shù)倍［2］，這直接導(dǎo)致研制周期過長，對基于長時間效應(yīng)的傳統(tǒng)可靠性試驗(yàn)技術(shù)提出了挑戰(zhàn).1967年，美國羅姆航空發(fā)展中心提出了加速壽命試驗(yàn)（ALT，Accelerated Life Testing）方法［3］，使高可靠長壽命產(chǎn)品可靠性水平的快速評定成為可能，并廣泛應(yīng)用于航空航天、武器裝備及機(jī)械電子等領(lǐng)域［4］.為了快速在可靠性試驗(yàn)中暴露設(shè)計缺陷，確定網(wǎng)絡(luò)可靠性水平，也有必要采取加速試驗(yàn)，增大單位時間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)，加速故障模式的出現(xiàn).

文獻(xiàn)［5］提出故障過程的加速性是設(shè)計加速試驗(yàn)的前提，即要求在保持產(chǎn)品故障機(jī)理不變的情況下，產(chǎn)品可靠性特征參數(shù)與應(yīng)力之間存在一個確定的函數(shù)關(guān)系，稱為加速模型［6］.網(wǎng)絡(luò)服務(wù)層的應(yīng)力主要體現(xiàn)為工作應(yīng)力，即用戶對網(wǎng)絡(luò)服務(wù)的使用，也就是網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載或數(shù)據(jù)包的到達(dá).網(wǎng)絡(luò)及時可靠性的故障模式為時延過長，網(wǎng)絡(luò)的排隊(duì)機(jī)制［7］為探索延遲故障機(jī)理以及確定加速模型提供了支撐，典型的通信網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)機(jī)制包括M／G／1，M／M／1，M／D／1，M／M／C，D－MAP／PH／1，DBMAP／PH／1［8－9］等.相似理論［10］是確定加速模型的理論依據(jù)，如文獻(xiàn)［11］在對混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性試驗(yàn)中，分析了混凝土結(jié)構(gòu)在室內(nèi)加速試驗(yàn)環(huán)境與現(xiàn)場自然環(huán)境條件下性能退化的時間相似關(guān)系，提出多重環(huán)境時間相似理論；文獻(xiàn)［12］對加速試驗(yàn)中起關(guān)鍵作用的時間相似的各類情況進(jìn)行了討論.流體力學(xué)是相似理論的重要應(yīng)用領(lǐng)域［10］，對于通信網(wǎng)絡(luò)而言，網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)也是一種流體，數(shù)據(jù)的流動也需要服從相應(yīng)的規(guī)律，即排隊(duì)機(jī)制.文獻(xiàn)［13］結(jié)合運(yùn)動相似和力相似的原理，采用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡化、網(wǎng)絡(luò)流合并等技術(shù)給出了一種網(wǎng)絡(luò)可靠性相似建模的初步方案，但其對網(wǎng)絡(luò)建模粒度較粗，沒有考慮網(wǎng)絡(luò)流量與服務(wù)機(jī)制的影響，同時對相似性實(shí)現(xiàn)原理研究不夠深入，缺乏相應(yīng)的模型驗(yàn)證.

本文以相似理論為理論基礎(chǔ)，研究通信網(wǎng)絡(luò)最簡單的排隊(duì)模型——M／M／1模型對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)及時可靠性加速模型，并通過OPNET仿真平臺進(jìn)行驗(yàn)證.

1 基本概念

網(wǎng)絡(luò)可靠性是指網(wǎng)絡(luò)在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力.由于網(wǎng)絡(luò)使用量日益劇增，網(wǎng)絡(luò)可靠性研究焦點(diǎn)已集中到“及時可靠性”，即網(wǎng)絡(luò)能否及時地傳輸信息，其故障判據(jù)是網(wǎng)絡(luò)端到端傳輸時延超過用戶容許范圍，及時可靠度可以表達(dá)［14］為式中，D（t）表示t時刻的網(wǎng)絡(luò)端到端傳輸時延；Dmax表示用戶允許的最大時延，也就是故障判據(jù).

網(wǎng)絡(luò)端到端時延包括4個部分，即：處理時延Tp、傳輸時延Tt、傳播時延Tg和排隊(duì)時延其中，前三者均取決于節(jié)點(diǎn)處理速度和信道傳播速度，且量值與排隊(duì)時延相比很小，因此對網(wǎng)絡(luò)端到端時延影響最大的是排隊(duì)時延，主要因素包括鏈路的負(fù)載情況、隊(duì)列管理機(jī)制、緩沖區(qū)管理機(jī)制、接口處理能力等.

試驗(yàn)中，網(wǎng)絡(luò)及時可靠度的統(tǒng)計方法為

式中，Nt（Δt）表示t時刻以后的Δt時間段內(nèi)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包總個數(shù)；Nn（Δt）表示t時刻以后的Δt時間段內(nèi)網(wǎng)絡(luò)傳輸時延不超過用戶允許的最大時延Dmax的數(shù)據(jù)包個數(shù)，也就是傳輸及時的數(shù)據(jù)包個數(shù).

2 故障機(jī)理分析

常見的通信網(wǎng)排隊(duì)模型包括 M／M／m（n），M／D／m（n），M／Er／m（n）等［16］.M／M／1模型是以太網(wǎng)交換機(jī)的初級應(yīng)用，其表達(dá)的含義為：網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)到達(dá)時間間隔服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺數(shù)為1，無損失，服務(wù)機(jī)制為先到先服務(wù)，其排隊(duì)過程如圖1所示.

圖1 網(wǎng)絡(luò)通信M／M／1排隊(duì)過程

在M／M／1的排隊(duì)系統(tǒng)中，網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包到達(dá)后，如交換機(jī)空閑，則開始提供數(shù)據(jù)交換服務(wù)，否則排隊(duì)等待，直到前面所有的數(shù)據(jù)包完成數(shù)據(jù)交換.如果等待時間過長，達(dá)到故障判據(jù)，則發(fā)生延遲故障.

對于M／M／1排隊(duì)系統(tǒng)，有兩類情況，當(dāng)系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ＝λ／μ＜1時，系統(tǒng)能達(dá)到統(tǒng)計平衡，網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)時延隨時間變化如圖2a所示；否則，數(shù)據(jù)到達(dá)累積會越來越多，系統(tǒng)無法達(dá)到穩(wěn)態(tài)，網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)時延越來越長，其隨時間變化如圖2b所示.

因此，這里只分析服務(wù)強(qiáng)度ρ＝λ／μ＜1的情況.ρ＝λ／μ＜1時，數(shù)據(jù)包在服務(wù)系統(tǒng)中的逗留時間分布函數(shù)為［7］

圖2 不同服務(wù)強(qiáng)度下M／M／1系統(tǒng)的排隊(duì)時延

式中，W（t）是數(shù)據(jù)包的逗留時間，為等待時間與服務(wù)時間之和.實(shí)際上，這就是通信網(wǎng)絡(luò)及時可靠度的表達(dá)式.式（3）中，t就是給定的時延閾值Dmax.結(jié)合式（2）和式（3），網(wǎng)絡(luò)及時可靠度可以表達(dá)為

式中，μ（t）表示t時刻的網(wǎng)絡(luò)平均服務(wù)時間；λ（t）表示t時刻的平均數(shù)據(jù)到達(dá)時間間隔；Dmax表示用戶允許的最大時延.

3 基于相似理論的加速模型

下面針對式（4），采用相似理論的方程分析法推導(dǎo)加速模型.令原始現(xiàn)象為

相似現(xiàn)象為

式（5）中有5個物理量（R，λ，μ，D，t），令相似常數(shù)分別為cR，cμ，cλ，ct和cD，即

將式（7）代入式（6），有

考慮到式（5）中只有2個物理量綱（s和bit，即時間量綱和信息量綱［17］），則根據(jù)相似第二定理，可知其相似準(zhǔn)則數(shù)應(yīng)為：物理量個數(shù)－基本量綱個數(shù)＝3個.簡單起見，要求相似現(xiàn)象中的可靠度R′（t′）與原始現(xiàn)象中的可靠度R（t）保持不變，即cR＝1；且取平均數(shù)據(jù)到達(dá)間隔時間和平均服務(wù)時間的相似常數(shù)相等，即cμ＝cλ；根據(jù)相似第一定理，聯(lián)立式（5）和式（8），則可得cμ·cD＝1.

由此，整理出 M／M／1排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的3個相似準(zhǔn)則為

同時，要使兩個現(xiàn)象相同，還需要滿足相似第三定理，即要求單值量相似，也就是要求幾何條件、介質(zhì)條件、邊界條件和起始條件.在本問題中，僅涉及起始條件，即要求兩個現(xiàn)象t0時刻狀態(tài)相同，而通常情況下，只要t0時刻起開始施加流量，即可保證t0時刻狀態(tài)相同.

總結(jié)起來，根據(jù)相似理論三大定理可知，在如下情況下，基于M／M／1模型的網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)及時可靠度等價：

1）網(wǎng)絡(luò)平均服務(wù)時間和網(wǎng)絡(luò)平均數(shù)據(jù)到達(dá)時間間隔同比例變化，即cμ＝cλ；

2）網(wǎng)絡(luò)平均服務(wù)時間、平均數(shù)據(jù)到達(dá)時間間隔的變化與用戶允許的最大時延的變化成反比，即cμ·cD＝1；

3）t0時刻起開始施加流量，即t0時刻狀態(tài)相同.

隨著網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度的增加，相同時間內(nèi)到達(dá)的數(shù)據(jù)包個數(shù)增多，可靠性信息量增大.為了達(dá)到可靠性試驗(yàn)截尾所需的數(shù)據(jù)量要求［18］，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度增大ε倍以后，試驗(yàn)時長可減小ε倍，兩次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)量不變.即試驗(yàn)時長和網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度的關(guān)系為

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證第3節(jié)提出的加速模型，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度是否變化設(shè)計了兩類實(shí)驗(yàn).

4.1 數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度不變的情況

在該案例中，網(wǎng)絡(luò)服務(wù)率為9 600bit／s，數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度服從均值為1.0包／s的負(fù)指數(shù)分布，數(shù)據(jù)包大小服從均值為9 000bit的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)機(jī)制采用M／M／1的排隊(duì)模型.

假定網(wǎng)絡(luò)延遲故障服從二項(xiàng)分布［19］，取檢驗(yàn)上限R＝0.999，鑒別比D＝1.50，生產(chǎn)方風(fēng)險α和使用方風(fēng)險β為10%，那么，可靠性鑒定試驗(yàn)中要求至少需要收集32 922個數(shù)據(jù)包的時延信息，因此至少需要仿真9.145h，才可到達(dá)此數(shù)量的數(shù)據(jù)包.應(yīng)用OPNET仿真10h，總共收集到36 209個數(shù)據(jù)包，每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延如圖3所示.

取用戶允許的最大時延要求Dmax＝60s，發(fā)現(xiàn)有969個數(shù)據(jù)包不符合要求，則可知網(wǎng)絡(luò)不能滿足R＝0.999的要求.

圖3 原始網(wǎng)絡(luò)每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延

下面建立相似網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)第3節(jié)確定的加速模型，取cμ＝cλ＝4，cD＝ct＝0.25，t0時刻狀態(tài)相同.如此，網(wǎng)絡(luò)服務(wù)率為38 400bit／s，平均數(shù)據(jù)到達(dá)時間間隔服從均值為4.0包／s的負(fù)指數(shù)分布，數(shù)據(jù)包大小服從均值為9 000bit的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)機(jī)制仍采用M／M／1的排隊(duì)模型.根據(jù)加速模型，仿真2.5h，共收集到36 180個數(shù)據(jù)包，每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延如圖4所示.由圖可知，相似網(wǎng)絡(luò)的排隊(duì)時延與原始網(wǎng)絡(luò)基本一致.

圖4 相似網(wǎng)絡(luò)每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延

根據(jù)加速模型，取用戶允許的最大時延要求Dmax＝15s，發(fā)現(xiàn)有969個數(shù)據(jù)包不符合要求，可知網(wǎng)絡(luò)不能滿足R＝0.999的要求，這一結(jié)論與原始網(wǎng)絡(luò)相同.

隨后，在原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)中分別以10min和2.5min為間隔，根據(jù)式（2）計算網(wǎng)絡(luò)端到端及時可靠度的點(diǎn)估計值，兩者的對比如圖5所示，經(jīng)計算其均方誤差為0.012 06.

圖5 原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)的及時可靠度對比

表1討論了在不同的延遲故障判據(jù)下，原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)及時可靠度的均方誤差.在本案例中，當(dāng)原始網(wǎng)絡(luò)時延閾值在30～60s變化時，兩個網(wǎng)絡(luò)及時可靠度的均方誤差變化不大.由此可知，延遲故障判據(jù)的取值大小并不影響原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)在及時可靠度上的相似性.

表1 故障判據(jù)對加速模型的影響

表2進(jìn)一步討論了網(wǎng)絡(luò)在不同的應(yīng)力增加倍數(shù)下，原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)可靠度的均方誤差.這里，當(dāng)應(yīng)力增加倍數(shù)在2～12倍變化時，兩個網(wǎng)絡(luò)及時可靠度的均方誤差變化也不大.這說明，網(wǎng)絡(luò)應(yīng)力增加的倍數(shù)也不影響原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)在可靠度上的相似性.

在上述分析中，由于每個Δt時間段（原始網(wǎng)絡(luò)中Δt＝10min，相似網(wǎng)絡(luò)中Δt＝2.5min）只有約600個數(shù)據(jù)，故而兩個網(wǎng)絡(luò)的及時可靠性尚存在一定的誤差.如果增加單位時間的數(shù)據(jù)量，則誤差將大幅減小，如表3、表4所示，其絕對誤差基本都在10－5附近.這也就是說，應(yīng)用第3節(jié)提出的加速模型構(gòu)建的相似網(wǎng)絡(luò)，其及時可靠性與原始網(wǎng)絡(luò)非常接近，且與延遲故障閾值、應(yīng)力增大倍數(shù)的選取無關(guān).

表4 應(yīng)力增加倍數(shù)對加速模型的影響

4.2 數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度變化的情況

網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行過程中，數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度隨時間往往是變化的，這里再構(gòu)造一個數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度變化的案例.在該案例中，網(wǎng)絡(luò)服務(wù)率為9 600bit／s，數(shù)據(jù)包大小服從均值為9 000bit的負(fù)指數(shù)分布，數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度也服從負(fù)指數(shù)分布，其均值與時間的對應(yīng)關(guān)系如圖6所示（始終滿足ρ＝λ／μ＜1）.服務(wù)機(jī)制采用M／M／1的排隊(duì)模型.

圖6 數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度隨時間變化關(guān)系

根據(jù)第3節(jié)確定的加速模型，取cμ＝cλ＝4，cD＝ct＝0.25，t0時刻狀態(tài)相同，建立相似網(wǎng)絡(luò).如此，網(wǎng)絡(luò)服務(wù)率為38 400bit／s，數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度均值與時間的對應(yīng)關(guān)系變化如圖6所示，排隊(duì)模型中的其他信息不變.

應(yīng)用OPNET在原始網(wǎng)絡(luò)中仿真24h，得到50 612個數(shù)據(jù)包，在相似網(wǎng)絡(luò)中仿真6h，得到50 611個數(shù)據(jù)包，兩個網(wǎng)絡(luò)中，每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延分別如圖7、圖8所示，基本一致.

圖7 原始網(wǎng)絡(luò)每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延

在原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)中分別以10min和2.5min為間隔，取用戶允許的最大時延要求Dmax＝30s（相似網(wǎng)絡(luò)中Dmax＝7.5s），根據(jù)式（2）計算網(wǎng)絡(luò)端到端及時可靠度R（t）的點(diǎn)估計值，兩者的對比如圖9所示，經(jīng)計算其均方誤差為0.001 155.這說明，第3節(jié)的加速模型對數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度變化的M／M／1排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)仍然適用.

圖8 相似網(wǎng)絡(luò)每個數(shù)據(jù)包的排隊(duì)時延

圖9 原始網(wǎng)絡(luò)和相似網(wǎng)絡(luò)的可靠度對比

由此可知，對于服務(wù)機(jī)制采用M／M／1的排隊(duì)模型的網(wǎng)絡(luò)，在排隊(duì)時延能達(dá)到穩(wěn)定的情況下（即ρ＝λ／μ＜1），可以運(yùn)用第3節(jié)的加速模型，設(shè)計加速試驗(yàn)方案，通過短時高應(yīng)力條件下的網(wǎng)絡(luò)及時可靠性反映正常應(yīng)力下的及時可靠性.

5 結(jié) 論

本文分析了M／M／1排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的延遲故障機(jī)理，并根據(jù)相似三大定理，推導(dǎo)了端到端及時可靠性相似準(zhǔn)則，得到了加速模型，并應(yīng)用OPNET平臺對該加速模型進(jìn)行了驗(yàn)證.該加速模型適用于服務(wù)強(qiáng)度ρ＝λ／μ＜1的 M／M／1排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)，通過增大數(shù)據(jù)到達(dá)強(qiáng)度，可有效縮短試驗(yàn)時間，解決網(wǎng)絡(luò)可靠性試驗(yàn)時間長、成本高的問題.仿真結(jié)果表明相似誤差小，且該加速模型的效用不隨故障閾值、應(yīng)力增加倍數(shù)變化，該加速模型為規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)可靠性加速試驗(yàn)奠定了重要基礎(chǔ).接下來，需要進(jìn)一步討論其他排隊(duì)模型下的網(wǎng)絡(luò)可靠性加速模型，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證.

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