Riemann函數(shù)ζ(s)一個(gè)簡(jiǎn)捷的初等表達(dá)式

(江蘇省南通市觀河中學(xué)，南通 226014)

0 引 言

這個(gè)函數(shù)在解析數(shù)論中的地位十分重要,當(dāng)s為正偶數(shù)時(shí)有Euler經(jīng)典公式[1]:

的整數(shù) .

s為不小于2的整數(shù).

1 幾個(gè)引理

證明見文獻(xiàn)[3].

證明設(shè)f(x)=sin-2x-x-2,則f′(x)=-2sin-3xcosx+2x-3，

令

∴f′(x)>0,即f(x)是單調(diào)遞增的函數(shù)，

2 主要定理

定理Riemann Zeta 函數(shù)可表示為：

s為不小于2的整數(shù).

所以根據(jù)兩邊夾的法則,有

3 兩點(diǎn)說明

① 利用本結(jié)論及de·Mover公式、Newton等冪和公式,可推導(dǎo)出:當(dāng)s為正偶數(shù)時(shí),ζ(s)的準(zhǔn)確值[4].

可使定理證明更簡(jiǎn)單些.

參考文獻(xiàn):

[1] T·M·阿普斯托.解析數(shù)論引論[M].趙宏量,唐太明譯.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[3] 匡繼昌.常用不等式[M].4版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010.