一類控制模型的穩(wěn)定性和單調(diào)性分析

,

(上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

0 簡(jiǎn) 介

基于反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可以解決3個(gè)問題：(1)漸近跟蹤和干擾抑制類等信號(hào)，如階躍、斜坡、正弦輸入信號(hào)；(2)穩(wěn)定性和魯棒穩(wěn)定性；(3)瞬時(shí)響應(yīng)控制.其中前兩個(gè)問題已經(jīng)被很多人研究過[1-3].

對(duì)每一個(gè)控制系統(tǒng)來說，良好的瞬時(shí)響應(yīng)是最重要的要求之一.在[4]中，提出了某一類所有極點(diǎn)都是負(fù)的互異實(shí)數(shù)的傳遞函數(shù)和其解析表達(dá)式，并證明了在封閉形式下，文章提出的分析公式，能被用來確定零點(diǎn)和最小的瞬時(shí)時(shí)間.在文[5]里提出的l1優(yōu)化控制方法，明確地論述了在有界幅度輸入下的時(shí)域響應(yīng)問題，它也是少有的“現(xiàn)代”研究時(shí)間響應(yīng)控制方法之一[6].基于漸近時(shí)間尺度和特征結(jié)構(gòu)配置，對(duì)存在初始條件和外部約束的最小相位的多輸入多輸出系統(tǒng)，可以很好地解決跟蹤問題，詳細(xì)的方法見文[7].在文[8]和[9]中，主要討論了欠控制階躍響應(yīng)和無最小相位零點(diǎn)的關(guān)系，而在文[10]和[11]中，提出了離散時(shí)間系統(tǒng)的無超調(diào)量控制.在[12]和[13]里，對(duì)傳統(tǒng)控制方法作了很好的總結(jié).

這里用一些新的結(jié)果來直接處理瞬時(shí)響應(yīng)控制問題.其主要思想是根據(jù)特征多項(xiàng)式的系數(shù)和時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系.而這些關(guān)系是 Naslin 在1960年代初提出的，具體可見文[14].Manabe 在如何獲得良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制系統(tǒng)的問題上，做出了重要的貢獻(xiàn)[15].他利用系數(shù)圖著重研究設(shè)備的一般行為，并已為許多工業(yè)系統(tǒng)成功地設(shè)計(jì)了控制器.而所謂的系數(shù)圖則是以取對(duì)數(shù)標(biāo)度來描繪設(shè)備系數(shù)和特征多項(xiàng)式的一種方法.這里，首先定義兩個(gè)重要的參數(shù)集，分別被稱為廣義時(shí)間常數(shù)和特征比值.而這些參數(shù)呈現(xiàn)在多項(xiàng)式的系數(shù)里.這些依賴時(shí)域響應(yīng)的參數(shù)，特別是響應(yīng)速度和超調(diào)量，它們的特性是通過分析獲得的.基于這些特性，本文作者設(shè)計(jì)了理想的傳遞函數(shù)和控制器，該控制器是最小相位的，同時(shí)其設(shè)計(jì)由相應(yīng)程序給出.所得控制系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)滿足獨(dú)立指定超調(diào)量和上升時(shí)間.該控制器可能是狀態(tài)反饋加前饋的控制器或雙參數(shù)類型的控制器.同樣的程序可用于非最小相位系統(tǒng)，也可能實(shí)現(xiàn)減少超調(diào)量和加快響應(yīng)速度，盡管這些參數(shù)不能獨(dú)立指定.Kim 等人已經(jīng)較成功地利用了CRA[16]的方法，消除瞬時(shí)響應(yīng)系統(tǒng)的超調(diào)量和加快系統(tǒng)響應(yīng)速度.本研究在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上，來討論雙參數(shù)配置的控制問題，根據(jù)控制器結(jié)構(gòu) (圖 1) 不妨考慮全極點(diǎn)傳遞函數(shù)G(s)：

G(s)

(1)

在控制系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)時(shí)，由于現(xiàn)實(shí)情況，都會(huì)加入一些控制變量進(jìn)去，以便進(jìn)行更好地控制檢測(cè).如果(1)中p(s)是含有控制變量系數(shù)的多項(xiàng)式，系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)滿足以下條件：

這里τ是一個(gè)常數(shù).

本文作者將討論使得多項(xiàng)式p(s)滿足單調(diào)遞增以及所有根的實(shí)部是非負(fù)的參數(shù)μ的條件，并進(jìn)一步分析該系統(tǒng)的超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間.

圖1 雙參數(shù)控制

1 單調(diào)性分析

先取

(2)

然后βk可以由γk表示,于是有：

βk=μγk,

(3)

(4)

(5)

所以就得到：

(6)

(7)

那么:

于是:

通過逐項(xiàng)累乘，于是就有：

由上很容易就得到以下公式：

(8)

其中a0=1.可以簡(jiǎn)化為：

(9)

可知：

(10)

事實(shí)上,有下面遞推式：

(11)

那么，可以令：

(12)

引理1對(duì)于在 (12) 式中定義的Λk，有下面的 5 個(gè)結(jié)論:

(i)Λ1=Λn-1,Λ2=Λn-2,…

(13)

(iii) 隨著n的增加，Λk逐漸減小.

(iv) 已知兩個(gè)自然數(shù)n1和n2(n2

Λk(n1)≤Λk(n2) ,

(14)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)成立.

(v)

(15)

當(dāng)n=2m-1 時(shí)，

當(dāng)n=2m時(shí)，同理可得Λm-1=Λm+1.

(ii) 按照 (i)，能得到下面的結(jié)論：

所以Λk(n) 隨著n增加而減少.

(iv) 根據(jù)結(jié)論 (iii)，當(dāng)n1>n2時(shí)，對(duì)任意的k有:

Λk(n1)>Λk(n2) ,

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)成立.

(v)

定理1.1令p(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0,這里ai滿足式子(8)，如果μ≥2，那么:

(i) 頻率幅度函數(shù) |p(jw)| 是單調(diào)遞增的；

(ii)p(s) 的所有根的實(shí)部是非負(fù)的.

證明(i) 先考慮p(s) 的頻率幅度函數(shù) |p(jw)| 的平方，即:

根據(jù)式子(8)，(11)，可以定義:

那么:

(16)

(17)

那么G(ω)是單調(diào)遞增的.

也就是，對(duì)μ≥2,i=1,2,…,n-1,每個(gè)ζk為正,所以得證.

其中:

于是定義:

對(duì)于所有w≥ 0 .

(18)

式子(18)等價(jià)于:

(19)

對(duì)于所有w≥ 0.

如果n是奇數(shù)(即n=2m+1)，仿照(19)式，可以得到:

(20)

這里k=1,2,…,n-2，要證明此式成立，需要借助下面 (21) 式.

(21)

從(20)式，知道如果所有的ηi是正的，那么在(19)式中相位單調(diào)的條件滿足.由引理1的結(jié)論(i)，η1=ηn-2,η2=ηn-3,…,

(22)

因此，可知ηi>0(i=1,2,…,m或m-1).從引理1的結(jié)論(ii)，發(fā)現(xiàn)下面事實(shí)：

這里

(23)

在滿足式子(21)，(23)的條件下，很顯然對(duì)任意i，如果有ηi(n1)是正的，那么ηi(n)也是正的,n>n1.當(dāng)n→∞,k=1,2,…,n-2時(shí)，

于是當(dāng)k≤m時(shí):

?μ>2 ,

證明完成.

在定理1.1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步刻畫μ的值.

定理1.2如果μ>1成立，p(s)(滿足式(1))的幅度頻率響應(yīng)G(ω) 單調(diào)遞增.

證明考慮 (10)，(17) 式，如果有:

(24)

基于以上結(jié)論，嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematica進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)值結(jié)果顯示有μ>μk，其中μk的部分值見表1.

定義Dμ(i,i+1)=|μi+1-μi|,i=3,4,…,n,…能夠得到下面的事實(shí):

Dμ(i,i+1)

2 穩(wěn)定性分析

引理2考慮多項(xiàng)式f(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0，如果多項(xiàng)式f(s)系數(shù)滿足：

(i) 當(dāng)i=1,2,…,n-2且n≠5時(shí),ai-1ai+2> 0.4655aiai+1;

(ii) 當(dāng)i=1,2,…,n-2且n=5時(shí),ai-1ai+2> 0.4655aiai+1.

那么多項(xiàng)式f(s)是Hurwitz穩(wěn)定的.

利用引理2，多項(xiàng)式p(s)是Hurwitz穩(wěn)定的，只要以下條件成立:

引理3如果n≥2，那么:

證明定義:

則有:

顯然:

因此A(i)在i=j時(shí)取到最大值.

定理2.1多項(xiàng)式p(s) 是 Hurwitz 穩(wěn)定的，如果滿足條件:

令:

容易計(jì)算，g(n)-g(n-1)≥0，所以當(dāng)n→∞時(shí)，g取到最大值，即：g=1/0.4655=2.1482.因此μ≥1.46568.同時(shí)，通過數(shù)學(xué)軟件的驗(yàn)證，也發(fā)現(xiàn)μ>μk，其中μk的值見表2.

類似的，定義Lμ(i,i+1)=|μi+1-μi|，i=3,4,…,n,…可得到：

Lμ(i,i+1)

Lμ(1000000,5000000)?0 .

所以得到一個(gè)結(jié)論:只要μ≥ 1.46568,p(s) 滿足 Hurwitz 穩(wěn)定而且單調(diào)遞增.

表1 μk的值

表2 μk的值

3 例 子

圖2 不同的μ，不同的階躍響應(yīng)曲線

圖3 μ=1.8，不同的τ值，不同階躍響應(yīng)曲線

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