GPS信號(hào)延時(shí)相乘捕獲算法的檢測(cè)率仿真*

范江濤，馬冠一

(1. 中國科學(xué)院國家天文臺(tái)，北京 100012；2. 中國科學(xué)院研究生院，北京 100049)

信號(hào)捕獲是全球定位系統(tǒng)接收機(jī)工作的首要環(huán)節(jié)[1-2]。隨著全球定位系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，全球定位系統(tǒng)信號(hào)捕獲性能的改善和特殊環(huán)境下全球定位系統(tǒng)信號(hào)捕獲的研究成為重要的研究課題。相應(yīng)地，信號(hào)的快速捕獲，檢測(cè)率的提高，抗干擾特性，高動(dòng)態(tài)、弱信號(hào)、多徑環(huán)境下信號(hào)的捕獲成為研究的熱點(diǎn)[3]。傳統(tǒng)的全球定位系統(tǒng)信號(hào)捕獲過程中存在著多普勒頻偏的影響，多普勒頻偏主要來源于全球定位系統(tǒng)衛(wèi)星與接收機(jī)相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的多普勒效應(yīng)和接收機(jī)晶振的頻偏[4]。全球定位系統(tǒng)信號(hào)捕獲需要同時(shí)對(duì)多普勒頻偏和初始碼相位進(jìn)行搜索，這個(gè)搜索過程為二維搜索，搜索次數(shù)決定了捕獲時(shí)間。如果頻偏大，搜索次數(shù)會(huì)顯著增加，從而增加捕獲時(shí)間。如果多普勒頻偏估算不準(zhǔn)確，還會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)捕獲算法的檢測(cè)率下降。而且多普勒頻偏的搜索間隔會(huì)限制捕獲中積分時(shí)間的長度，不利于信噪比的提高[4-7]。

延時(shí)相乘捕獲算法，也稱為差分捕獲算法，它利用延時(shí)相乘操作，可以消除信號(hào)中頻偏的影響[8-10]，能解決上述傳統(tǒng)捕獲算法中頻偏引起的問題。該算法分別對(duì)信號(hào)的初始碼相位和頻偏做一維搜索，搜索次數(shù)少，捕獲時(shí)間短；而且可以進(jìn)行長時(shí)間積分，提高信噪比，特別適用于受頻偏影響大的高動(dòng)態(tài)信號(hào)環(huán)境[11]。另一方面，該算法中的延時(shí)相乘操作會(huì)增加噪聲量，降低信噪比和檢測(cè)率，惡化捕獲性能[3-4]。為此文[10]提出了把多個(gè)延時(shí)相乘結(jié)果結(jié)合起來提高信噪比的算法，從而改善了捕獲性能。

為了從根本上保證延時(shí)相乘捕獲算法的性能，本文針對(duì)該算法的噪聲特性和檢測(cè)率進(jìn)行仿真分析，并提出了提高檢測(cè)率的方法。本文第1節(jié)介紹延時(shí)相乘捕獲算法的原理和數(shù)學(xué)模型，并給出一個(gè)捕獲實(shí)例。第2節(jié)基于蒙特卡羅方法對(duì)延時(shí)相乘算法中得到的積分結(jié)果及其噪聲分布進(jìn)行仿真分析。第3節(jié)仿真計(jì)算了延時(shí)相乘捕獲算法的檢測(cè)率，通過檢測(cè)率隨虛檢率的變化關(guān)系說明檢測(cè)性能。提出并仿真說明減小噪聲帶寬和延長積分時(shí)間可以改善檢測(cè)性能。第4節(jié)給出全文的結(jié)論。

1 延時(shí)相乘捕獲算法的原理

延時(shí)相乘捕獲算法通過一個(gè)延時(shí)相乘運(yùn)算消除信號(hào)中的頻率項(xiàng)，算法的原理框圖如圖1。信號(hào)經(jīng)過延時(shí)相乘后，與接收機(jī)本地產(chǎn)生的延時(shí)相乘擴(kuò)頻碼信號(hào)做相干積分，本地?cái)U(kuò)頻碼信號(hào)做的延時(shí)相乘操作與對(duì)信號(hào)做的延時(shí)相乘操作相同。用積分結(jié)果作檢測(cè)值來判斷信號(hào)是否存在，并根據(jù)最大檢測(cè)值的位置獲取初始碼相位信息。

圖中S(t)為接收機(jī)接收的全球定位系統(tǒng)信號(hào)，n(t)為接收的噪聲信號(hào)。S(t)的數(shù)學(xué)模型為：

圖1 延時(shí)相乘捕獲算法的原理框圖

Fig.1 Block diagram of the Delay-and-Multiply method

(1)

式中，P為信號(hào)功率；D(t)為數(shù)據(jù)調(diào)制信息；C(t)為擴(kuò)頻碼信息；fIF為信號(hào)的中頻頻率；fD為多普勒頻偏；φ0為初始載波相位。假設(shè)噪聲n(t)為高斯白噪聲。

如果延時(shí)相乘的時(shí)延為τ，則噪聲和信號(hào)延時(shí)相乘后的結(jié)果可表示為：

[S(t)+n(t)][S(t-τ)+n(t-τ)]=S(t)S(t-τ)+S(t-τ)n(t)+S(t)n(t-τ)+n(t)n(t-τ)

(2)

其中第1項(xiàng)為信號(hào)與信號(hào)做延時(shí)相乘的結(jié)果，利用(1)式可知：

由于τ?1 ms，因此D(t)D(t-τ)≈1。又由于積分過程相當(dāng)于一個(gè)低通濾波，可以略去信號(hào)相乘后的高頻項(xiàng)，因此式子可以簡化為：

S(t)S(t-τ)≈P[C(t)C(t-τ)]cos[2π(fIF+fD)τ]

(3)

由于τ為固定值，且fD?fIF，選取合適的τ值，使2πfIFτ=2kπ，則式中的cos(2π(fIF+fD)τ)≈1，則(3)式進(jìn)一步簡化為：

S(t)S(t-τ)≈P[C(t)C(t-τ)]

(4)

因此只要選取合適的τ值對(duì)信號(hào)做延時(shí)相乘，可以消除信號(hào)中頻偏的影響。式中C(t)C(t-τ)為一個(gè)新的擴(kuò)頻碼序列，通過在本地產(chǎn)生一個(gè)相同的C(t)C(t-τ)擴(kuò)頻碼序列搜索碼的初始相位，所得到的初始碼相位與延時(shí)相乘之前信號(hào)的初始相位相同。其中要求τ大于1個(gè)碼片時(shí)間，且為碼片間隔的整數(shù)倍，以保證C(t)C(t-τ)仍為Gold碼序列。

由于消除了頻偏的影響，只需要對(duì)信號(hào)的初始碼相位進(jìn)行一維搜索，即可以得到初始碼相位并判斷信號(hào)是否存在。在頻偏大和頻偏有變化率的情況下，信噪比也不會(huì)降低。而且D(t)D(t-τ)≈1，即沒有數(shù)據(jù)調(diào)制項(xiàng)的影響，可以進(jìn)行長時(shí)間積分提高信噪比。在判斷信號(hào)存在后，可以對(duì)信號(hào)解擴(kuò)，然后再對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行一維搜索，得到頻偏信息[3-4]。

從(2)式可以看出，噪聲項(xiàng)變?yōu)?項(xiàng)，S(t-τ)n(t)、S(t)n(t-τ)、n(t)n(t-τ)，噪聲量相比n(t)增加了。噪聲量的增加導(dǎo)致信噪比降低，檢測(cè)率下降。在正常的載噪比條件下，即載噪比為40～45 dB-Hz時(shí)，采用1 ms的積分時(shí)間無法檢測(cè)到信號(hào)，需要5 ms以上的積分時(shí)間，才能檢測(cè)到信號(hào)[9]。對(duì)采集的全球定位系統(tǒng)信號(hào)在軟件接收機(jī)中使用延時(shí)相乘捕獲算法捕獲信號(hào)，使用的全球定位系統(tǒng)信號(hào)數(shù)據(jù)文件來自文[12]，信號(hào)的采樣率為16.367 6 MHz，中頻為4.130 4 MHz，對(duì)PRN22碼信號(hào)進(jìn)行了捕獲。捕獲結(jié)果如圖2。

圖中橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn)數(shù)，從圖2(a)和圖2(b)可以看出，受噪聲大的影響，使用1 ms積分做捕獲時(shí)，無法判斷信號(hào)是否存在，使用5 ms積分，可以捕獲到明顯的信號(hào)相關(guān)峰，判斷信號(hào)存在，并得到初始碼相位信息。從捕獲結(jié)果中得到的初始碼相位信息與傳統(tǒng)捕獲算法得到的初始碼相位信息一致。從這個(gè)捕獲實(shí)例可以看出延時(shí)相乘捕獲算法受噪聲量增加影響，1 ms積分時(shí)間無法捕獲信號(hào)，檢測(cè)性能不佳，但是通過延長積分時(shí)間可以提高檢測(cè)性能。

圖2 (a) 延時(shí)相乘捕獲算法1 ms積分捕獲結(jié)果; (b) 延時(shí)相乘捕獲算法5 ms積分捕獲結(jié)果

Fig.2 (a) Acquisition results of the Delay-and-Multiply method with 1ms integration time; (b) Acquisition results of the Delay-and-Multiply method with 5ms integration time

2 對(duì)噪聲的仿真分析

針對(duì)延時(shí)相乘捕獲算法中噪聲顯著增加的特點(diǎn)，在分析算法的檢測(cè)率之前，需要分析算法中的檢測(cè)變量即輸出的積分結(jié)果的噪聲分布。

從理論上分析，根據(jù)中心極限定理，延時(shí)相乘算法最后積分結(jié)果的噪聲分布近似為高斯分布。這是因?yàn)榉e分結(jié)果是每個(gè)采樣點(diǎn)的噪聲值通過算法運(yùn)算后的結(jié)果相加，每個(gè)采樣點(diǎn)的噪聲值相互獨(dú)立，當(dāng)積分點(diǎn)數(shù)很多時(shí)，大量相互獨(dú)立的分布相加的結(jié)果趨于高斯分布。

由于延時(shí)相乘運(yùn)算為非線性計(jì)算，從理論上計(jì)算不易得到積分結(jié)果的噪聲分布的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式。但是只要能夠用數(shù)值算法定義或近似模擬的模型，都可以用蒙特卡羅方法仿真計(jì)算，不需要做解析分析[13]。因此本文采用蒙特卡羅方法分析算法中噪聲的分布。

根據(jù)圖1延時(shí)相乘捕獲算法的原理，在輸入端輸入高斯白噪聲，對(duì)輸出的積分結(jié)果基于10 000次計(jì)算做統(tǒng)計(jì)，得到的積分結(jié)果的噪聲和噪聲分布如圖3。

圖3中上圖為每次蒙特卡羅計(jì)算的結(jié)果，下圖為對(duì)仿真結(jié)果的噪聲分布統(tǒng)計(jì)，圖中的曲線為一條高斯分布概率密度函數(shù)曲線，可以看出積分結(jié)果的噪聲分布與高斯分布近似。因此可以用高斯分布近似表示延時(shí)相乘算法中積分結(jié)果的噪聲分布。

3 對(duì)檢測(cè)率的仿真分析

圖3 延時(shí)相乘捕獲算法噪聲積分結(jié)果及其分布

Fig.3 The distribution of noise of the integration result of the Delay-and-Multiply method

用檢測(cè)率可以衡量捕獲算法的性能。在相同信號(hào)載噪比和虛檢率條件下，檢測(cè)率越高，說明捕獲算法性能越好。檢測(cè)率(Pd)為在信號(hào)存在時(shí)，檢測(cè)結(jié)果即算法中的積分結(jié)果超過檢測(cè)門限的概率。虛檢率(Pf)為信號(hào)不存在時(shí)，噪聲的檢測(cè)結(jié)果高于門限的概率[1]。在單次恒虛檢試驗(yàn)中，檢測(cè)門限通過預(yù)先設(shè)置某一虛檢率確定。通常通過檢測(cè)率與虛檢率的關(guān)系說明捕獲算法的檢測(cè)率特性[14]。

按照算法的原理，采用蒙特卡羅方法，選取如下仿真條件：C/N0為45 dB-Hz，信號(hào)功率歸一化為1，采樣率為20 MHz，信號(hào)中頻為5 MHz，信號(hào)為全球定位系統(tǒng)的C/A碼信號(hào)?；?0 000次計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)計(jì)，得到的延時(shí)相乘捕獲算法中信號(hào)存在和不存在時(shí)積分結(jié)果的分布如圖4，以及基于圖4的結(jié)果得到的檢測(cè)率隨虛檢率的變化關(guān)系，如圖5。

圖4 延時(shí)相乘捕獲算法積分結(jié)果的分布

Fig.4 The distribution of integration result of the Delay-and-Multiply method

圖5 延時(shí)相乘捕獲算法檢測(cè)率與虛檢率關(guān)系

Fig.5 The relation between Pd and Pf in the Delay-and-Multiply method

從圖4可以看出，積分結(jié)果分布的方差比較大，信號(hào)存在時(shí)只改變了積分結(jié)果的均值，對(duì)積分結(jié)果的方差沒有明顯的影響。積分結(jié)果的方差大是由于算法中噪聲量增加導(dǎo)致的。從圖5的結(jié)果可以看出檢測(cè)率隨虛檢率的增大上升緩慢，在某一固定虛檢率下，檢測(cè)率相對(duì)于虛檢率不高。

可以看出，同樣是采用1 ms積分，相比圖5，4 MHz采樣時(shí)檢測(cè)率有所提高。在虛檢率為0.1時(shí)，20 MHz采樣時(shí)的檢測(cè)率為0.2；4 MHz采樣時(shí)的檢測(cè)率為0.4。從圖6中各積分時(shí)間的檢測(cè)率結(jié)果還可以看出，延長積分時(shí)間，檢測(cè)率明顯提高。在虛檢率為0.1時(shí)，1 ms積分時(shí)的檢測(cè)率為0.4，5 ms積分的檢測(cè)率為0.8，10 ms積分的檢測(cè)率為0.97。這說明通過減小噪聲帶寬和延長積分時(shí)間可以提高延時(shí)相乘捕獲算法的檢測(cè)率。

為了反映算法檢測(cè)率隨C/N0的變化，在4 MHz采樣率，5 ms積分條件下，通過蒙特卡羅方法計(jì)算了在C/N0分別為35、40、45 dB-Hz時(shí)的檢測(cè)率隨虛檢率的變化，如圖7。

從圖7可以看出，在虛檢率為0.1時(shí)，載噪比為35 dB-Hz、40 dB-Hz、45 dB-Hz的檢測(cè)率分別為0.15、0.3、0.83，算法的檢測(cè)特性隨C/N0上升而改善。這說明高載噪比條件有利于使用延時(shí)相乘捕獲算法。

4 結(jié) 論

本文介紹了延時(shí)相乘捕獲算法的原理，分析了該算法可以消除頻偏影響的特點(diǎn)和噪聲量增加的問題。由于不受頻偏影響，延時(shí)相乘捕獲算法搜索次數(shù)少，可以進(jìn)行長時(shí)間積分提高檢測(cè)率，適用于頻偏大和頻偏變化率大的信號(hào)環(huán)境。但是噪聲量大的缺點(diǎn)需要加以改善。

圖6 延時(shí)相乘捕獲算法，采樣率降為4 MHz的檢測(cè)率

Fig.6 The relation between Pd and Pf in the Delay-and-Multiply method forfs=4MHz

圖7 不同C/N0條件下延時(shí)相乘捕獲算法檢測(cè)率

Fig.7 The relations between Pd and Pf for different values ofC/N0of the Delay-and-Multiply method

通過蒙特卡羅方法仿真計(jì)算了延時(shí)相乘捕獲算法的噪聲分布和檢測(cè)率與虛檢率的關(guān)系。對(duì)噪聲做延時(shí)相乘后的積分結(jié)果符合高斯分布。在正常信號(hào)條件下，延時(shí)相乘捕獲算法的檢測(cè)率不高。為此采用了通過減小噪聲帶寬和延長積分時(shí)間提高檢測(cè)率的方法。減小噪聲帶寬可以采用降低采樣率和中頻頻率來實(shí)現(xiàn)。仿真表明，在虛檢率為0.1時(shí)，20 MHz采樣時(shí)的檢測(cè)率為0.2，4 MHz采樣時(shí)檢測(cè)率為0.4；在采樣率為4 MHz，載噪比為45 dB-Hz，虛檢率為0.1時(shí)，1 ms、5 ms、10 ms積分的檢測(cè)率分別為0.4、0.8、0.97。最后仿真計(jì)算了檢測(cè)率與虛檢率的關(guān)系隨載噪比的變化，結(jié)果表明高載噪比條件有利于使用延時(shí)相乘捕獲算法。

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