基于達(dá)朗貝爾解法的一維有界弦振動方程的求解

葉 松 王向賢 余建立

（巢湖學(xué)院電子工程與電氣自動化學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

弦振動方程有重要的工程應(yīng)用價值。求解一維弦振動方程得到斜拉橋鋼索的應(yīng)力與固有頻率的函數(shù)關(guān)系，對評估斜拉橋梁承載能力和安全系數(shù)是有利的；基于弦振動方程建立弦線密度與固有頻率的函數(shù)關(guān)系，可以應(yīng)用到弦線密度測量[1-4]。描述固有頻率與各物理量關(guān)系的理想化方程是弦振動方程。

無界弦振動方程的達(dá)朗貝爾解法的物理思想是將弦振動視作一定初值條件下的兩列行波的疊加。達(dá)朗貝爾解法是應(yīng)用物理思想指導(dǎo)在數(shù)學(xué)物理方程求解的典型案例。但是對有界弦振動方程，目前國內(nèi)流行的相關(guān)教材均采用分離變量法求解，其解表示不同頻率簡諧波的疊加。物理上，聯(lián)系達(dá)朗貝爾解法和分離變量法的紐帶是波的疊加原理。因此利用達(dá)朗貝爾解法的物理思想推導(dǎo)出弦振動方程的解是可行的。而目前使用較為廣泛的幾本數(shù)學(xué)物理方法的教材均沒有對該方法的論述[5，6]。本文基于達(dá)朗貝爾解法的基本思想，分析狄利克雷邊界條件和諾依曼邊界條件時的弦振動方程解的特征，得到弦振動方程的傅立葉級數(shù)解。本文的解法拓寬了達(dá)朗貝爾解法的應(yīng)用，對加深分離變量解法的理解有一定的意義，一定程度上豐富了工程數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

1 兩端固定的有界弦振動方程達(dá)朗貝爾解法

兩端固定的有界弦振動方程為：

考慮泛定方程行波形式的通解：

為得到滿足定解條件的解的表達(dá)式，應(yīng)用邊界條件（2）：

（5）和（6）式等價于：

或

因此，狄利克雷邊界條件的解是以2l為周期的函數(shù)：

所以，u（x，t）是 x 自變量以 2l為周期的奇函數(shù)。因此u（x，t）可以用傅立葉級數(shù)表示：

將（11）式帶入（1）式，得到：

因此方程（1-3）的解為：

其中：

2 兩端自由的有界弦振動方程達(dá)朗貝爾解法

兩端自由的有界弦振動方程為：

與兩端固定的弦振動的分析相似，并注意到周期函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是同周期的函數(shù)和奇 （偶）函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是偶（奇）函數(shù)，可以證明：

因此 u（x，t）可以用傅立葉級數(shù)表示：

同上討論，解的形式為：

其中：

3 一端自由一端固定的有界弦振動方程達(dá)朗貝爾解法

一端自由一端固定的有界弦振動方程為：

設(shè)方程（1）的解為：

其對x的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

由方程 （3）″得：

（21）和（22）式等價于：

（28-29）式說明 ux（x，t）是 x 自變量的周期偶函數(shù)，其傅立葉級數(shù)形式為：

因此，方程的解為：

其中：

4 結(jié)論

本文運用達(dá)朗貝爾解法的物理思想得到了在工程中有實際意義的三種邊界條件下的弦振動方程的解。本文的解法拓寬了達(dá)朗貝爾解法的應(yīng)用，對理解分離變量解法有一定的幫助，豐富了工程數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

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