RTK高程數(shù)據(jù)處理淺析

劉國安，康 鋒，劉善彬

(河南省航空物探遙感中心，河南鄭州450053)

首級GNSSRTK以其定位精度高、效率快、不要求點(diǎn)位相互通視、自動化程度高、誤差累積小、測繪成果統(tǒng)一、操作簡單、全天候等優(yōu)點(diǎn)，在測繪各個(gè)領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用。在實(shí)際工作當(dāng)中，往往會出現(xiàn)沒有控制或首級控制嚴(yán)重不足的情況，為了滿足工程需求，就需要布設(shè)大量的控制點(diǎn)。而就目前情況來看，由于各地區(qū)的CORS網(wǎng)的普遍建立，為控制點(diǎn)的布設(shè)和測量帶來了極大的方便，但是在邊遠(yuǎn)地方，RTK高程誤差往往偏大，甚至?xí)?。在鄭州市地下管線普查中，筆者外圍地區(qū)作了一定量的試驗(yàn)，總結(jié)出一些經(jīng)驗(yàn)。

一、高程異常擬合的數(shù)學(xué)模型

大地測量數(shù)值逼近分為函數(shù)模型逼近與統(tǒng)計(jì)模型逼近。函數(shù)模型擬合的最大優(yōu)點(diǎn)是對于趨勢性變化的擬合效果較好，但需要合適的函數(shù)模型形式，并需要確定合適的參數(shù)個(gè)數(shù)。若函數(shù)模型的針對性強(qiáng)，則擬合與推估的效果好。函數(shù)模型的形式一經(jīng)確定，計(jì)算過程中一般不再變化。基于選定的函數(shù)模型及其相應(yīng)的擬合原則，很容易求得模型中的待估參數(shù)，如此即完成了函數(shù)模型的構(gòu)造與擬合。基于擬合的函數(shù)模型，即可求解未知點(diǎn)的信號。

1.多項(xiàng)式曲面擬合模型

多項(xiàng)式曲面擬合法是采用削高補(bǔ)低的原則平滑出一個(gè)曲面來代表擬合區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面，供內(nèi)插和外推使用。

在一定范圍內(nèi)，若正常重力的變化可以忽略不計(jì)時(shí)，相對于參考點(diǎn)p0，此區(qū)域高程異常的模型為

式中，a0即參考點(diǎn)的高程異常;a1、a2即 φ0、η0分別為參考點(diǎn)在x、y方向的垂線偏差;是垂線偏差的變化率;是各點(diǎn)與 p0點(diǎn)的坐標(biāo)差。

2.Hardy多面函數(shù)模型

Hardy多面函數(shù)模型是從幾何觀點(diǎn)出發(fā)，解決根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)形成一個(gè)平差的數(shù)學(xué)曲面問題。其基本思想是:任何數(shù)學(xué)表面和不規(guī)則的圓滑表面，總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意精度逼近之。根據(jù)高程異常是坐標(biāo)的函數(shù)，可設(shè)函數(shù)模型為 ξ(x，y)=F(x，y，β)，多面函數(shù)在笛卡兒坐標(biāo)系中的一般形式為

為了簡單，一般采用對稱函數(shù)，如

3.函數(shù)模型逼近的統(tǒng)一表示

其他形式的函數(shù)逼近法，如曲線逼近等，但就其逼近原理而言，并無本質(zhì)的差異。為了表述方便，所有的函數(shù)逼近模型的誤差方程寫成一般的矩陣形式

式中，Q為n×m階系數(shù)矩陣;X為m×1階待定參數(shù)向量，基于最小二乘原則，可得待定參數(shù)X的值及其驗(yàn)后協(xié)方差陣，在得到函數(shù)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式后，就可以內(nèi)插或推估出未知點(diǎn)的高程異常值［12］。

二、計(jì)算實(shí)例

1.測區(qū)介紹

本文采用鄭州市城市GNSSRTK高程和水準(zhǔn)高程成果數(shù)據(jù)，共有90個(gè)水準(zhǔn)重合點(diǎn)，點(diǎn)位分布如圖1所示，在高程異常數(shù)據(jù)擬合過程中，分別采用了18個(gè)和20個(gè)節(jié)點(diǎn)兩種情況進(jìn)行了試驗(yàn)，其余點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。并且，使用了多項(xiàng)式擬合和多面函數(shù)法擬合。在多項(xiàng)式擬合中，使用了一次多項(xiàng)式、雙二次多項(xiàng)式、二次多項(xiàng)式，使用的多面函數(shù)的核函數(shù)Q為擬合點(diǎn)間的最大距離，本文中a=12 km。

圖1 RTK高程點(diǎn)分布圖

2.18個(gè)節(jié)點(diǎn)的高程異常擬合

選取水準(zhǔn)重合點(diǎn) G4、G13、G5、G348、G14、G338、G248、G355、G357、G6、G15、G282、G279、G255、G278、G263、G16、G261 作為擬合點(diǎn)。分別采用上述擬合方法進(jìn)行高程異常的擬合。采用多項(xiàng)式擬合的內(nèi)符合精度見表1。

表1 18個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常多項(xiàng)式擬合內(nèi)符合精度 mm

續(xù)表1

在使用多面函數(shù)法擬合高程異常過程中，將18個(gè)節(jié)點(diǎn)全部取作核心點(diǎn)，即n=m，其最后擬合結(jié)果采用“加權(quán)”計(jì)算。多項(xiàng)式和多面函數(shù)擬合的檢核點(diǎn)精度(外符合精度)見表2、表3。外符合精度為檢核點(diǎn)數(shù)。

表2 18個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常擬合的檢核點(diǎn)精度v1 mm

表3 18個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常擬合的檢核點(diǎn)精度v2 mm

3.20個(gè)節(jié)點(diǎn)的高程異常擬合

選取水準(zhǔn)重合點(diǎn) G4、G13、G5、G348、G14、G338、G248、G355、G357、G6、G15、G282、G279、G255、G278、G263、G16、G261、G316、G268 作為擬合點(diǎn)，采用同樣的方法，見表4。

表4 20個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常多項(xiàng)式擬合內(nèi)符合精度 mm

續(xù)表4

在使用多面函數(shù)法擬合高程異常過程中，將20個(gè)節(jié)點(diǎn)全部取作核心點(diǎn)，即n=m，其最后擬合結(jié)果采用“加權(quán)”計(jì)算。多項(xiàng)式和多面函數(shù)擬合的檢核點(diǎn)精度(外符合精度)見表5、表6。

表5 20個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常擬合的檢核點(diǎn)精度v1 mm

表6 20個(gè)節(jié)點(diǎn)高程異常擬合的檢核點(diǎn)精度v2 mm

三、數(shù)據(jù)分析

表7 各擬合函數(shù)外符合精度比較 mm

在使用多面函數(shù)擬合時(shí)發(fā)現(xiàn)，同一點(diǎn)位只能有一個(gè)RTK觀測值，因此本文選擇n=m時(shí)的擬合方式。對于多面函數(shù)法，很難找到一個(gè)通用的核函數(shù)對所有類型的測區(qū)有效，尤其是正、反雙曲函數(shù)，其擬合精度很大程度上依賴于平滑因子的選擇，因此必須經(jīng)過多次試算，確定一個(gè)比較好的σ。在本次試驗(yàn)中，傳統(tǒng)的正雙曲函數(shù)隨著平滑因子的增大，使得對核函數(shù)數(shù)值的影響減小，平滑因子在8000～20 000時(shí)，出現(xiàn)最優(yōu)擬合精度。在本文中，對于3個(gè)小區(qū)域Q=整體效果最好，其外符合精度為0.35～0.75 mm。于18個(gè)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)，外符合精度0.59～0.63 mm。而20個(gè)節(jié)點(diǎn)則是Q最佳，外符合精度 0.83 ～2.46 mm。并且可以看出的適用性很好，對于取不同測區(qū)，不同節(jié)點(diǎn)數(shù)都能達(dá)到很高精度，因此可以認(rèn)為是比較好的一種核函數(shù)。

四、結(jié) 論

在本次試驗(yàn)中，得到了毫米級的內(nèi)插精度，達(dá)到了理想效果。由于該測區(qū)內(nèi)高程異常變化平緩，二次多項(xiàng)式擬合的精度最高，其次是平滑因子在8000～20 000之間的正雙曲函數(shù)。傳統(tǒng)的反雙曲函數(shù)在本次試驗(yàn)中效果很差，本文中未列出其數(shù)據(jù)。

當(dāng)選取的節(jié)點(diǎn)達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，再增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，精度也沒有多大提高，有時(shí)還會下降。在本文中，20個(gè)節(jié)點(diǎn)與18個(gè)節(jié)點(diǎn)的擬合精度大體相當(dāng)。因此探索在滿足精度要求的情況下施測最少的RTK水準(zhǔn)點(diǎn)，以減少工作量，降低成本，以及在一定數(shù)量RTK水準(zhǔn)點(diǎn)的條件下如何達(dá)到盡可能高的精度是RTK水準(zhǔn)研究的兩個(gè)方向和目標(biāo)。由于外推點(diǎn)的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于內(nèi)插的精度，在水準(zhǔn)重合點(diǎn)選擇上，應(yīng)使其均勻分布于測區(qū)的周圍，在測區(qū)中央也最好布設(shè)一些點(diǎn)，以對整個(gè)測區(qū)起控制作用，保證擬合精度。

而在本次試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)平滑因子在15 000左右時(shí)，正雙曲函數(shù)擬合的精度達(dá)到最佳。當(dāng)平滑因子繼續(xù)增大，精度會有所下降。

高程異常擬合，應(yīng)該根據(jù)具體的測量資料，同時(shí)使用幾個(gè)模型進(jìn)行擬合，選擇精度最高的一個(gè)作為實(shí)際應(yīng)用模型。這樣可以大大減少工作量，降低工作成本，且提高了工作效率。

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