用廣義變分迭代理論求一類相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的解*

石蘭芳 莫嘉琪

1)(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京 210044)

2)(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,蕪湖 241000)

(2012年9月6日收到;2012年9月21日收到修改稿)

1 引言

近年來(lái),轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論有了一些新的發(fā)展[1,2].例如文獻(xiàn)[3,4]利用相對(duì)性原理,建立了彈性轉(zhuǎn)軸任意兩個(gè)橫截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型.相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)是具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.文獻(xiàn)[5]研究了一類相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)表現(xiàn).文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類非線性阻尼和強(qiáng)迫周期力項(xiàng)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),并用Yoshizawa非線性系統(tǒng)周期解的理論,證明了系統(tǒng)解存在惟一性和有界性,得到了自治系統(tǒng)存在極限環(huán)及穩(wěn)定性的條件,并研究了其精確解.

非線性問(wèn)題是數(shù)學(xué)物理界十分重視的一個(gè)問(wèn)題[7].近年來(lái),許多學(xué)者做了大量的工作[8?10],許多近似方法被發(fā)展,包括匹配法、合成展開(kāi)法、邊界層法、多重尺度法等.文獻(xiàn)[11—21]利用漸近理論研究了一類非線性問(wèn)題.本文討論一類相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)的模型,利用變分原理,構(gòu)造了廣義變分迭代式來(lái)求出任意次精度的近似解.

2 相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮如下一類彈性轉(zhuǎn)軸任意兩端間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型[5,6]:

其中x=θ2?θ1為相對(duì)轉(zhuǎn)角,θ1θ2分別為彈性轉(zhuǎn)軸兩端面的轉(zhuǎn)角;g(t)=(T2?T1),J為彈性轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,T1,T2分別為彈性轉(zhuǎn)軸兩端面的外加力矩,常數(shù) b ＞ 0,c≥ 0,a1＞ 0,a2k+1≥ 0(k=1,2···,n),且h(x)為非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)函數(shù),設(shè)它是充分光滑的有界函數(shù).

3 廣義變分迭代

為了進(jìn)一步求得相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)擾動(dòng)方程(1)式的近似解,引入泛函

令δF=0,于是有

由迭代式(9),(10),(11)式,當(dāng)分別選定零次近似函數(shù)x0后,可以分別逐次求出方程(1)的n次漸近解xn(n=1,2,···).又由于相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)擾動(dòng)方程(1)式的結(jié)構(gòu)及擾動(dòng)項(xiàng)的解析性和不動(dòng)點(diǎn)原理[23],就是原方程(1)式的解.

因?yàn)榈?9),(10),(11)式出自于不同的三個(gè)Lagrange乘子,因而得到的迭代近似解性態(tài)也不同,這說(shuō)明在對(duì)應(yīng)的系數(shù)a＜4b,a＞4b,a=4b情形下,原相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程(1)有三種不同性態(tài)的解.

4 相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)相關(guān)物理特例

為了便于比較,現(xiàn)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的微擾相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型.設(shè)方程(1)中的規(guī)范化無(wú)量綱參數(shù)a0=2,a1=ε,n=1,b=2,c=0.并且設(shè)g(t)=sin t,h(x)=εcos x,其中ε為正的小參數(shù)0＜ε?1.這時(shí)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 方程(12)精確解x(t)的模擬曲線,ε=0.1,x(0)=0,x(0)=?

為了能更好地得到近似度較高的近似解,下面來(lái)選取零次迭代x0(t).考慮對(duì)應(yīng)于模型(12)的線性方程

方程(14)的解為

選取相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程(12)的零次近似函數(shù)x0(t)為(15)式?jīng)Q定的xˉ(t).即

由零次近似函數(shù)(16)式及迭代關(guān)系式(13)式,可得非線性動(dòng)力學(xué)方程(12)的一次近似解x1(t):

由(17)式和迭代關(guān)系式(13)式可得非線性動(dòng)力學(xué)方程(12)的二次近似解x2(t):

其中

作為比較,當(dāng)選取ε=0.1時(shí),用數(shù)值模擬方法求得模型(12)式的精確解x(t)和用廣義迭代方法求出的二次近似數(shù)值解x2(t)參見(jiàn)表1.由表1可以看出兩者之間很接近.

繼續(xù)用迭代關(guān)系(13)式可依次得到非線性動(dòng)力學(xué)方程 (12)的 n 次近似解 xn(t)(n=3,4,···),顯然,用廣義迭代方法求出的更高次的近似解與模型(12)的精確解更加接近.

表1 方程(12)模擬數(shù)值精確解x(t)與二次迭代模擬數(shù)值解x2(t)比較

5 與擾動(dòng)解的精度比較

由于相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程(12)為擾動(dòng)方程,故我們還可用攝動(dòng)方法求其漸近解.設(shè)(12)式的漸近解t,ε)為

將(19)式代入方程(12),按ε的冪展開(kāi)非線性項(xiàng),合并ε的同次冪項(xiàng),并令各次冪的系數(shù)為零.由ε0的系數(shù)為零,得

方程(20)的解為(仍然設(shè)任意常數(shù)為零)

將(19)式代入方程(12),由ε1的系數(shù)為零,得

方程(22)的解為

將(21)式代入(23)式,可得

將(19)式代入方程(12),由ε2的系數(shù)為零,得

方程(25)的解為

將(21),(24)式代入上式,可得

于是,由(19),(21),(24),(27)式,相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)擾動(dòng)方程(12)的二次攝動(dòng)漸近解2per(t)為

由此可知,對(duì)于相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程(12),利用廣義變分迭代方法求出的近似解和用攝動(dòng)方法求出的漸近解具有相同的近似度.

利用廣義變分迭代方法在一定的情況下可以求解諸如相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的一類非線性動(dòng)力學(xué)模型.它不一定必須要在方程中含有小參數(shù).所以在一定的場(chǎng)合下用此方法也能得到非攝動(dòng)方程的近似解.

6 討論

廣義變分迭代方法是利用變分原理,引入Lagrange乘子,再應(yīng)用變分的極值條件選定合適的Lagrange乘子.這樣依次得到的各次迭代解具有較快的近似度.

廣義變分迭代方法,對(duì)初始迭代的選取十分關(guān)鍵.選取合理,能較快地得到所要求精度的近似解.一般總是選取原非線性方程對(duì)應(yīng)的線性部分所構(gòu)成的線性方程的解作為原方程的初始迭代.當(dāng)然,也可根據(jù)原方程的特點(diǎn)或模型的物理性態(tài)來(lái)選取初始迭代,這樣可以快捷地得到所要求精度的近似解.

7 結(jié)論

用廣義變分迭代方法求解相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型的近似解是一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的方法.用廣義變分迭代方法得到的近似解不是簡(jiǎn)單的離散數(shù)值解,它還可繼續(xù)進(jìn)行解析運(yùn)算,并可做相應(yīng)的定性和定量方面的分析.同時(shí),本文選取初始近似u0(t),是線性情形下典型系統(tǒng)的解.它保證了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型(1)式較快地求得在所求的精度范圍內(nèi)的近似解.

[1]Fu JL,Chen L Q,Xue Y 2003 Acta Phys.Sin.52 256(in Chinese)[傅景禮,陳立群,薛紜2003物理學(xué)報(bào)52 256]

[2]Wang K 2005 Acta Phys.Sin.54 5530(in Chinese)[王坤2005物理學(xué)報(bào)54 5530]

(4)創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)效應(yīng)偏低，自主研發(fā)能力有待加強(qiáng)。湖北省汽車零部件產(chǎn)業(yè)集聚了很多僅有組裝生產(chǎn)功能而無(wú)研發(fā)能力的零部件企業(yè)，但技術(shù)研發(fā)能力強(qiáng)、營(yíng)業(yè)規(guī)模超10億元級(jí)的龍頭企業(yè)還很少。另外，還缺乏汽車零部件方面的公共創(chuàng)新服務(wù)平臺(tái)，導(dǎo)致整體創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)效應(yīng)明顯不足，汽車零部件技術(shù)研發(fā)、檢驗(yàn)檢測(cè)、產(chǎn)業(yè)孵化等公共配套服務(wù)缺乏，無(wú)法有效促進(jìn)整體汽車零部件技術(shù)和生產(chǎn)工藝的提升。

[3]Zhao W,Liu B,Shi P M,Jiang J S 2006 Acta Phys.Sin.55 3852(in Chinese)[趙武,劉彬,時(shí)培明,蔣金水2006物理學(xué)報(bào)55 3852]

[4]Shi P M,Liu B 2007 Acta Phys.Sin.56 3678(in Chinese)[時(shí)培明,劉彬2007物理學(xué)報(bào)56 3678]

[5]Shi P M,Liu B,Hou D X 2008 Acta Phys.Sin.57 1321(in Chinese)[時(shí)培明,劉彬,侯東曉2008物理學(xué)報(bào)57 1321]

[6]Wang K,Guan X P,Qiao J M 2010 Acta Phys.Sin.59 3648(in Chinese)[王坤,關(guān)新平,喬杰敏2010物理學(xué)報(bào)59 3648]

[7]Barbu L,Morosanu G 2007 Singularly Perturbed Boundary-Value Problems(Basel:Birkhauserm Verlag AG)

[8]Barbu L,Cosma E 2009 J.Math.Anal.Appl.351 392

[9]Ramos M 2009 J.Math.Anal.Appl.352 246

[10]Sagon G 2008 Nonlinearity 21 1183

[11]Mo J Q 2009 Sci.China G 52 1007

[12]Mo J Q 2009 Chin.Phys.Lett.26 010204

[13]Mo J Q 2010 Commun.Theor.Phys.53 440

[14]Mo J Q 2010 Chin.Phys.B 19 010203

[15]Mo J Q,Lin Y H,Lin W T 2010 Chin.Phys.B 19 030202

[16]Shi L F,Zhou X C 2010 Acta Phys.Sin.59 2915(in Chinese)[石蘭芳,周先春2010物理學(xué)報(bào) 59 2915]

[17]Shi L F,Mo J Q 2010 Chin.Phys.B 19 050203

[18]Shi L F,Chen C S,Zhou X C 2011 Chin.Phys.B 20 100507

[19]Shi L F,Zhou X C,Mo J Q 2011 Acta Phys.Sin.B 60 110205(in Chinese)[石蘭芳,周先春,莫嘉琪2011物理學(xué)報(bào)60 110205]

[20]Shi L F,Ouyang C,Mo J Q 2012 Acta Phys.Sin.61 120201(in Chinese)[石蘭芳,歐陽(yáng)成,莫嘉琪2012物理學(xué)報(bào) 61 120201]

[21]Shi L F,Ouyang C,Chen L H,Mo J Q 2012 Acta Phys.Sin.61 050203(in Chinese)[石蘭芳,歐陽(yáng)成,陳麗華,莫嘉琪2012物理學(xué)報(bào)61 050203]

[22]He J H 2002 Aproximate Nonlinear Analytical Methods in Engineering and Sciences(Zhengzhou:Henan Science and Technology Press)(in Chinese)[何吉?dú)g2002工程與科學(xué)計(jì)算中的近似非線性分析方法(鄭州:河南科學(xué)技術(shù)出版社)]

[23]de Jager E M,Jiang F R 1996 The Theory of Singular Perturbation(Amsterdam:North-Holland Publishing Co.)