Thompson 問題的一個推廣

林紹華

(宜昌市第一中學(xué)，湖北 宜昌443000)

Thompson 的一個經(jīng)典定理如下．

定理1 設(shè)G是有限群且p素數(shù)．假定α∈Aut(G)且αp=1．如果α 固定點自由作用在G上，那么G是冪零群．

本文對上述定理進行了推廣并得到如下結(jié)論．

定理2 設(shè)G是有限群且p是素數(shù)．假定α∈Aut(G)且αp=1．如果對任意的g∈G，有g(shù)gα…gαp－1=1，那么G冪零．

證明 假設(shè)結(jié)論不真且G是極小階反例．設(shè)S = G ×| H，這里H=〈α〉．

第1 步:若1＜N?G且Nα=N(即N是α－不變且在G中正規(guī)，或者N在S中正規(guī))，那么N和G≠N冪零(簡單)．

第2 步:Z(G)=1．否則，假設(shè)1＜Z(G)＜G．由第1 步，G≠Z(G)冪零，從而G冪零，矛盾．

第3 步:G非可解．

由第1 步，G是特征單群．現(xiàn)在設(shè)G可解．設(shè)Q在S中正規(guī)使得G≠Q(mào)是S的主因子．那么G≠Q(mào)是初等交換r－群對某個素數(shù)r．設(shè)|G/Q|=rn．由下面幾步導(dǎo)出矛盾．

第3．1 步．Q是初等交換q－群對某個素數(shù)q．

由前Qα－不變，從而由第1 步Q冪零(同文獻［1］定理7．7 的證明)．

第3．2 步． |G/Q|=p．

現(xiàn)在設(shè)r≠p．寫且假設(shè)使得且

那么得到:

由于r≠p，得到一個矛盾．于是無固定點作用在上，那么由命題是Frobenius 群，其核為對s∈S且g∈Q，定義:

于是Q是－模．對g∈Q，考慮設(shè):

因此有:

因此:

因為r≠q和Q交換，從而Q≤Z(G)(注意))，因此由第2 步，得到一個矛盾．于是p=r，從而易得|G/Q|=p．

設(shè)P＊∈Sylp(S)且設(shè)P=G∩P*．應(yīng)用第3．2 步，|P|=p，即P=〈x〉，這里x是p階元．

第3．3 步．α 和x無固定點的作用在Q上．

假設(shè)存在g∈Q滿足g≠e且gα=g，那么:

所以p=q，因此G冪零，矛盾．

另一方面，假設(shè)g∈Q滿足gx=g．那么g∈Z(QP)=Z(G)={e}，從而完成了證明．

顯然，〈α，x〉是S的初等交換子群．那么容易看到〈α，x〉不能無不動點的作用在Q上．由前α 和x無不動點的作用在Q上(由第3．3 步)，因此存在元素y=αixj滿足0＜i，j＜p使得y中心化Q的非單位元，記為g．可以讓α;x由αi，xj代替．所以可以假定y=αx．因此有:

所以p=q，于是G非可解．

第3、4 步．最后的矛盾．

證明同文獻［1］定理7．7．2

［1］ Mingyao Xu，Jianhua Hang，Huilin Li，et al．A course of nite groups II［M］．Science Prees，2001．

［2］ Mingyao Xu． A course of nite groups I［M］．Science Prees，1999．

［3］ Chen G．On Thompson's Conjecture［D］．Chengdu:Sichuan University，1994．

［4］ Conway J H．Atlas of Finite groups［M］．New York:Oxford University Press，1985．