緊Z-算子的Z-譜及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬必

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

緊Z-算子的Z-譜及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬必

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

引入了緊Z-算子的Z-譜概念，探討了緊Z-算子的Z-譜的性質(zhì)，并將泛函分析學(xué)中緊算子的譜的性質(zhì)移植到Z-空間中緊Z-算子的性質(zhì)之中.

Z-空間；B-Z-空間；緊Z-算子；Z-譜；性質(zhì)

文獻(xiàn)[1-10]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)、B-Z-空間、內(nèi)積Z-空間、內(nèi)積H-Z-空間、共軛Z-空間和共軛Z-算子、內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子、正常Z-算子與正則Z-算子等概念；在此基礎(chǔ)上，本文提出了緊Z-算子的Z-譜概念，探討了緊Z-算子的Z-譜的性質(zhì)，并將泛函分析學(xué)中緊算子的譜的性質(zhì)移植到Z-空間中緊Z-算子的性質(zhì)之中.

定義1[2-4]完備的Z-空間稱為BanachZ-空間，簡稱B-Z-空間.

定義2[10]設(shè)X是B-Z-空間，A是線性Z-算子，A∈R(X)，若A是在上的，A-1存在并且是有界Z-算子，則稱A為正則Z-算子.

定義3 設(shè)X是復(fù)Z-空間，A:X→X是線性Z-算子，λ∈C.

1)若λI-A為正則Z-算子，稱λ是A的正則Z-點，A的正則Z-點的全體記為ρ(A)，稱ρ(A)為A的正則Z-集.

2)若λI-A不是正則Z-算子，稱λ是A的Z-譜點，A的正則Z-譜點的全體記為σ(A)，稱σ(A)為A的Z-譜集.

3)若λI-A不是可逆的，稱λ為A的特征值，A的特征值的全體記為σp(A).稱σp(A)為A的點Z-譜.

4)若λI-A可逆，但不是到上的，或者λI-A可逆、到上，但(λI-A)-1不是有界的，則稱λ為A的連續(xù)Z-譜，連續(xù)Z-譜的全體記為σc(A)，稱σc(A)是A的連續(xù)Z-譜集.

5) 設(shè)(λI-A)-1存在，稱R(λ,A)=(λI-A)-1是A的予解式.

6)設(shè)λ∈σp(A)，若λ≠0使得(λI-A)x=0，則稱x是A的相應(yīng)于λ的特征向量.稱V(λI-A)是A的相應(yīng)于λ的特征向量Z-空間.

命題1[11]設(shè)X是B-Z-空間，A∈R(X).

1)λ∈ρ(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于任何a∈X，非齊次方程(λI-A)x=a的解存在，唯一，并且此時存在常數(shù)c>0使得‖x‖≤c‖a‖，其中x是與a相應(yīng)的解.

2)λ∈σp(A)當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程(λI-A)x=0有非0解.

3)λ∈σc(A)當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程(λI-A)x=0有唯一0解并且要么非齊次方程(λI-A)x=a不是對于每個a∈X有解，要么其解關(guān)于a不具有連續(xù)依賴性.

引理1 設(shè)X是B-Z-空間,N?X為有限維子Z-空間,則N是可余的，即存在閉子Z-空間M使得X=M⊕N.

證明顯然N為閉子Z-空間，設(shè)e1,e2,…,en是N的一組基，對于每個x∈N，x=a1(x)e1+a2(x)e2+…+an(x)en，此表達(dá)式是唯一的.容易驗證，a1(x),a2(x),…,an(x)是N上的線性泛函并且每個ai(x)是連續(xù)的.

實際上ai(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=a1(x)e1+a2(x)e2+…+ai-1(x)ei-1+ai+1(x)ei+1+…+an(x)en，故N(ai)=span{e1,e2,…,ei-1,ei+1,…,en}為n-1維閉子Z-空間.

引理2 設(shè)X是B-Z-空間,A∈C(X)，對于任意的λ∈C，λ≠0，則N(λI-A)是有限維的，R(λI-A)是X的閉子Z-空間.

證明①考慮N=N(λI-A)，λI-A是有界線性Z-算子，N為閉子Z-空間.

②由引理1，存在閉子Z-空間M，X=M⊕N,證明M=R(λI-A).

定義Z-算子B：M→X，Bx=λx-Ax.由于X=M⊕N，在N上，λI-A=0，故R(B)=R(λI-A).B是一一的，實際上若Bx1=Bx2，x1,x2∈M，則(λI-A)x1=(λI-A)x2或(λI-A)(x1-x2)=0，故一方面x1-x2∈M，另一方面x1-x2∈N(λI-A)=N，所以x1-x2=0，x1=x2.

若yn是R(B)中的Cauchy序列，不妨設(shè)yn=Bxn，xn∈M，則‖ym-yn‖=‖B(xm-xn)‖≥γ‖xm-xn‖，{xn}是M中的Cauchy序列，M閉，故存在xn∈M，xn→x0.令y0=Bx0，則y0∈R(B)，Bxn→Bx0=y0(n→).R(B)是閉的，所以R(λI-A)是閉的.

引理3 設(shè)X是B-Z-空間,A∈R(X)，則對應(yīng)于A的不同特征值的特征向量彼此線性無關(guān).

另一方面，它們是可交換的，從而:

矛盾.由于任意有限多個這樣的特征值都線性無關(guān)，故結(jié)論成立.

定理1 設(shè)X是B-Z-空間,A∈C(X)，則:

1)A的非零Z-譜點都是特征值.

2)σ(A)是可數(shù)集，0是σ(A)唯一可能的聚點.

3) 若dimX=，0∈σ(A).

4) 對應(yīng)于每個非零特征值的特征向量Z-空間是有限維的.

由于T是一一的，?y∈R(Tn0-1)，Ty∈R(Tn0)=R(Tn0+1).不妨設(shè)Ty=Tn0+1x=T(Tn0x)，x∈X，則y=Tn0x∈R(Tn0)，從而R(Tn0-1)?R(Tn0)，R(Tn0-1)=R(Tn0).繼續(xù)這一過程最后得到R(T)=X.T是到上的.

③若0∈ρ(A)，則0λ-A=-A是正則Z-算子.A-1有界，A是緊Z-算子，故I=AA-1是緊Z-算子，這說明X的閉單位球是緊的，從而X是有限維Z-空間，與所設(shè)條件矛盾.

④若λ∈σ(A)，λ≠0，λ對應(yīng)的特征向量Z-空間為N(λI-A),由引理2即得之.

定義1 設(shè)X是Z-空間,X*是X的共軛Z-空間.

1)若x∈X，x*∈X*，x*(x)=0，x*與x正交，記為x⊥x*.

2)設(shè)M?X，N?X*，若?x∈M，x*∈N,x⊥x*，則稱M與N正交，記為M⊥N.特別地，{x}⊥N時，記為x⊥N.

定理2 設(shè)X為B-Z-空間，A∈C(X)，λ≠0，A*是A的共軛Z-算子.

1)若y∈X，則方程(λI-A)x=y可解的充要條件是y⊥N(λI-A*)，N(λI-A*)是A*的相應(yīng)于λ的特征向量Z-空間.

2)若y*∈X*，則方程(λI-A*)x*=y*可解的充要條件是y*⊥N(λI-A)，N(λI-A)是A的相應(yīng)于λ的特征向量Z-空間.

證明① 若(λI-A)x=y有解x，x*∈N(λI-A*)，則x*(y)=(x*,(λI-A)x)=((λI-A)*x*,x)=((λI-A*)x*,x)=0.故y⊥N(λI-A*). 反之，若y⊥N(λI-A*)，證明y∈R(λI-A).若不然，y?R(λI-A)，由引理2，R(λI-A)是閉子Z-空間，根據(jù)Z-空間中的Hahn-Banach延拓定理，存在x*∈X*，x*(y)≠0，但在R(λI-A)上x*=0.由此，一方面?x∈X，y′=(λI-A)x∈R(λI-A)，((λI-A*)x*,x)= (x*,(λI-A*)x)=x*(y′)=0. 這說明(λI-A*)x*=0，x*∈N(λI-A*).另一方面由x*(y)≠0知道y⊥N(λI-A*)不成立，從而出現(xiàn)矛盾.由此y∈R(λI-A)，所以存在x∈X，使得y=(λI-A)x.

定理3 設(shè)X為B-Z-空間，A∈C(X)，λ≠0，A*是A的共軛Z-算子.則:

1)σ(A)=σ(A*).

2)設(shè)λ,μ∈σ(A)，x是A的相應(yīng)于λ的特征向量，x*是A*的相應(yīng)于μ的特征向量，λ≠μ，則.x⊥x*，從而N(λI-A)⊥N(μI-A*).

3)若λ∈σ(A)，λ≠0，則dimN(λI-A)⊥dimN(μI-A*).

證明①注意到A*也為緊Z-算子，故當(dāng)λ≠0時，λ不是A*的特征值，λ一定是正則Z-點.若dimX<，相應(yīng)于A*的矩陣是相應(yīng)于A的矩陣的轉(zhuǎn)置，根據(jù)線性代數(shù)的知識，兩者有相同的特征值，結(jié)論成立.

若dimX=，由定理1(3)，0∈σ(A)，同時dimX*=，于是0∈σ(A*).現(xiàn)在設(shè)λ≠0，只須證明λ∈ρ(A)當(dāng)且僅當(dāng)λ∈ρ(A*).

若λ∈ρ(A),由命題1(1)，(λI-A)x=a對于任何a∈X有解，從定理2知，a⊥N(λI-A*).由a的任意性知N(λI-A*)={0}，即λI-A*是一一映射，根據(jù)定理1證明中的①，λI-A*是到上的，從而λ∈ρ(A*).反之，若λ∈ρ(A*),則(λI-A*)x*=y*對于任意的y*有解，于是由定理2，y*⊥N(λI-A)，所以N(λI-A*)={0}，λI-A是一一的.根據(jù)定理1證明中的①，λI-A是到上的，故λ∈ρ(A)，總之ρ(A)=ρ(A*).所以σ(A)=σ(A*).

②任取x∈N(λI-A)，x*∈N(μI-A*)，則Ax=λx，A*x=*μx*，于是λx*(x)=(x*,λx)=(x*,Ax)=(A*x*,x)=(μx*,x)=μx*(x).或(λ-μ)x*(x)=0由λ≠μ，故x*(x)=0，N(λI-A)⊥N(μI-A*).

③設(shè)dimN(λI-A)=n，dimN(λI-A*)=n*.根據(jù)定理1(4)，二者都是有限的.

首先證明n*≤n.若n*=0，不等式自然成立.若n=0，即N(λI-A)={0}，于是λI-A是一一的，由定理1證明中的①，λI-A還是到上的，即λ∈ρ(A).由上面的①，λ∈ρ(A*)，故N(λI-A*)={0}，n*=0，等號成立.

顯然F為有界線性Z-算子并且是有限秩Z-算子，從而F是緊Z-算子.Z-算子B=A+F是緊Z-算子.證明λI-B是一一映射，實際上，若(λI-B)x=0，則:

(1)

現(xiàn)在，由X?X**，并且當(dāng)(λI-A)x=0時，對于任意的x*∈X*，0=(x*,(λI-A)x)=((λI-A*)x*,x)=((λI-A*)x*,x**)=(x*,(λI-A**)x**)，即(λI-A**)x**=0，故N(λI-A)?N(λI-A**).記n**=dimN(λI-A**)，于是n≤n**.類似于上面的證明知n**≤n*，由此n≤n*.從而可得n=n*.因此結(jié)論成立.

[1] 王國俊，白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，48(1)：1-10.

[2] 楊萬必，秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2006，25(1)：97-99.

[3] 楊萬必，李永亮.關(guān)于Z-空間的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2005，23(4)：330-331.

[4] 楊萬必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2008，(1)：012-014.060.

[5] 楊萬必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2008，26(3)：330-331.

[6] 楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2008，27(2)：187-189.

[7] 秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J] 吉首大學(xué)學(xué)報；自然科學(xué)版,2009，30(5)：21-25.

[8] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子及其性質(zhì)[J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，28(4):420-421.

[9] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子與正常Z-算子及其性質(zhì)[J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，30(1):30-31.

[10] 秦宣華,楊萬必.正則Z-算子及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012,30(3):266-267.

[11] 秦宣華,楊萬必.正則Z-算子的Z-譜及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2013,31(2):171-174.

[12] 劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001:69-76，151-160，194-205.

Z-spectrumofCompactZ-OperatorsandIt′sProperties

QIN Xuan-hua，YANG Wan-bi

(School of Science,Hubei University for Nationalities, Enshi 445000,China)

This paper introduced theZ-spectrum concept of compactZ-operator，investigated the properties ofZ-spectrum of compactZ-operator.and transfered the properties of the speetrum of compact operator in functional analysis to the property of compactZ-operator inZ-space.

Z-spaces；B-Z-spaces；compactZ-operator；Z-spectrum；nature

2013-06-27.

國家自然科學(xué)基金項目(10471156).

秦宣華(1963- )，男, 高級教師，主要從事函數(shù)論研究；*

：楊萬必(1963- )，男，碩士，副教授，主要從事函數(shù)論研究.

O127

A

1008-8423(2013)03-0252-05