Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)以及Beta函數(shù)、Gauss級數(shù)的推廣

唐 瑩，劉紅梅，劉 洋，巫學(xué)佳

(大連民族學(xué)院 理學(xué)院，遼寧 大連 116600)

Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)以及Beta函數(shù)、Gauss級數(shù)的推廣

唐 瑩，劉紅梅*，劉 洋，巫學(xué)佳

(大連民族學(xué)院 理學(xué)院，遼寧 大連 116600)

旨在推廣Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，將它與Beta函數(shù)、Gauss級數(shù)建立聯(lián)系，從而建立相應(yīng)的等式.

Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)；廣義Beta函數(shù)；廣義Gauss級數(shù)

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)在諸如流體流量、電網(wǎng)絡(luò)以及概率論等方面有著廣泛的應(yīng)用，目前是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域.本文將推廣Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，將它與廣義Beta函數(shù)、廣義Gauss級數(shù)聯(lián)系起來，建立一些有意義的恒等式.

在文獻(xiàn)[1]中，Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的指數(shù)推廣形式定義為：

(1)

顯然當(dāng)p=0時，上式即為經(jīng)典μ階Riemann-liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù).

本文將它推廣到級數(shù)形式：

(2)

廣義Beta函數(shù)的推廣形式定義如下[2]：

t.

(3)

(Re(α)>0,Re(β)>0,Re(p)>0,Re(x)>0,Re(y)>0)

當(dāng)α=β時，式(3)即化為文獻(xiàn)[3]中的指數(shù)形式的Beta函數(shù)；當(dāng)α=β且p=0時，式(3)即為經(jīng)典Beta函數(shù).

廣義Gauss級數(shù)的積分表示為[2]：

t.

(Re(p)>0;p=0且|arg(1-z)|<π;Re(c)>Re(b)>0)

當(dāng)α=β且p=0時，此式即為經(jīng)典Gauss級數(shù).

定理3 令Re(b)<0,Re(a)>0,Re(μ)>0,并且|z|<1,那么，

(a,b;μ;z).

[1] ?zarslan M A,?zergin E.Some generating relations for extended hypergeometric functions via generalized fractional derivative operator[J].Math Comput Modelling,2012,52:1825-1833.

[2] ?zergin E,?zarslan M A,Altn A.Extension of gamma, beta and hypergeometric functions[J].J Comput Appl Math,2011,235:4601-4610.

[3] Chaudhry M A,Qadir A,Rafique M.et al.Extension of Euler’s beta function[J].J Comput Appl Math,1997,78:19-32.

GeneralizationofRiemann-liouvilleFractionalDerivative,BetaFunctionandGaussSeries

TANG Ying,LIU Hong-mei*，LIU Yang，WU Xue-jia

(School of Science, Dalian Nationalities University，Dalian 116600,China)

The article aims to generalize Riemann-liouville fractional derivative.We connect it to Beta function and Gauss series and establish some equation.

Riemann-liouville fractional derivative;generalized Beta function;generalized Gauss series

2013-07-21.

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項目(L20130506)；大連民族學(xué)院自主基金項目(DC110305)；大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目.

唐瑩(1992- ),女，主要從事組合數(shù)學(xué)的研究；*

：劉紅梅(1979- )，女,博士，副教授，主要從事組合數(shù)學(xué)的研究.

O174

A

1008-8423(2013)03-0280-02