一類變分問題與偏微分方程邊值問題的等價性

向會立

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

一類變分問題與偏微分方程邊值問題的等價性

向會立

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

通過分析的方法，研究了一類變分問題與一類偏微分方程的邊值問題在直角坐標系和柱坐標系下的等價性問題, 為一類變分問題的求解提供了一種有效的方法.

變分問題；偏微分方程；邊值問題；等價性

在考慮一個空間區(qū)域Ω上具有固定邊界的薄膜平衡問題時，通常歸結(jié)為求解泛函:

(1)

的極小值，這里泛函(1)所具有的的物理意義即薄膜所具有的的能量.同時在最優(yōu)控制問題中，對性能指標泛函的最小化也經(jīng)常會遇到形如泛函(1)的變分問題.然而泛函(1)的變分并不容易求解，本文證明了與泛函(1)的變分問題與一類偏微分方程邊值問題等價，并在柱面坐標系下刻畫了等價偏微分方程的另一種表現(xiàn)形式.

(2)

的解等價.

(3)

由式(3)知:

(4)

從而將φ看作D′(Ω)廣義函數(shù)，則有廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義有[5]:

即:

利用分部積分易知式(4)成立，從而:J[u+εφ])≥J[u].

即J[u]取極小值.從而定理得證.

的解等價.

從而成立:

由此易得:

從而有:

進一步有:

故定理獲證.

[1] 陳恕行.現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[2] 谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 向會立.Sturmm-Liouville問題前兩個特征值間距的估計[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2007,25(2):148-150.

[4] 周敏.一類與算子譜對應(yīng)的方程解的性質(zhì)研究[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2009,27(4):391-393.

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EquivalenceBetweenaClassofVariationProblemsandPartialDifferentialEquationBoundaryValueProblems

XIANG Hui-li

(School of Science, Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

In this paper, we study equivalence between a class of variation problems and partial differential equation boundary value problems in rectangular Cartesian coordinates system and cylindrical coordinates system, which provides a efficient method for a class of variation problems.

variation problems; partial differential equation; boundary value problems; equivalence

2013-05-15.

教育部重點項目(212111).

向會立(1979- )，男(土家族)，講師，碩士生，主要從事隨機偏微分方程、最優(yōu)控制方面的研究.

0175.2

A

1008-8423(2013)02-0188-02