復合KdV-Burgers方程的精確解

白玉梅

(內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

復合KdV-Burgers方程的精確解

白玉梅

(內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

采用結(jié)合Riccati方程的(G′/G)-展開法獲得了復合KdV-Burgers方程的精確解,其中包括雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解,有理函數(shù)解,說明了該方法的有效性.

Riccati方程；(G′/G)-展開法；復合KdV-Burgers方程；精確解

如何有效地獲得非線性發(fā)展方程新的精確解一直都是研究的重要課題.為此,國內(nèi)外學者提出了諸多系統(tǒng)、有效的方法,(G′/G)-展開法[1]就是其中的一種方法.該方法是由Wang等人于2008年提出的.自方法提出以來,學者們做了很多工作,如：2009年,Zhou和Li[2]給出了修正的(G′/G)-展開法,并應(yīng)用到Whitham-Broer-Kaup-Like方程組中,獲得了帶參數(shù)的雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解以及有理函數(shù)解.特別地,當參數(shù)取為特殊值時,還得到了孤立波解.在文獻[3]中,作者進一步提出了(G′/G,1/G)-展開法,該方法可以看作是(G′/G)-展開法的一種擴展,通過該方法作者得到了Zakharov方程組豐富的帶有任意參數(shù)的行波解.Zayed和Abde laziz[4]還用此方法求解了非線性KdV-mKdV方程.文獻[5]給出了一種推廣的(G′/G)-展開法,即G滿足Jacobi橢圓方程,從而獲得了許多Jacobi橢圓函數(shù)形式的精確解,并成功應(yīng)用到修正Kawahara方程,非線性耦合KdV方程組及經(jīng)典Boussinesq方程組.最近,Zayed和Abdelaziz[6]提出并運用廣義延拓的(G′/G)-展開法,給出了兩個變系數(shù)非線性Schr?dinger方程新的雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解;Chen和Li[7]提出了多(G′/G)-展開法,以Sharma-Tasso-Olver方程,廣義淺水波方程等6個方程為例,說明了方法的有效性等等.

本文利用(G′/G)-展開法與Riccati方程

G′(ξ)=BG(ξ)2+λG(ξ)+A,

(1)

相結(jié)合[8],根據(jù)Riccati方程四種情形下的解,給出了復合KdV-Burgers方程一系列的解.特別地,當λ=0時,即為文獻[9]的方法.

1 方法介紹

不妨假設(shè)所研究的非線性發(fā)展方程為:

F1(x,t,u,ux,ut,…)=0,

(2)

其中u依賴于x,t.

第一步,通過變換u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt,可以將偏微分方程(2)化為常微分方程:

F2(u,u′,u″,u?,…)=0,

(3)

其中V為待定常數(shù).

第二步,令方程(3)的形式解為:

(4)

m通過平衡最高階導數(shù)項和非線性項確定,G(ξ)為Riccati方程(1)的解，其中a0,ai為待定常數(shù)(i=1,2，…,m)且am≠0.

第三步,將式(4)代入方程(3)中并使用式(1),可以產(chǎn)生關(guān)于G(ξ)j(j=0,±1,±2,…)的多項式,令其每一項的系數(shù)為0,得到關(guān)于待定常數(shù)的代數(shù)方程組.使用符號計算軟件Maple(或Mathematica)求解即得待定常數(shù).

第四步,把式(1)的解(5)～(12),上步所得常數(shù)及ξ代入式(4)中,可得方程(2)的精確解.

2 復合KdV-Burgers方程的精確解

2.1 方程(1)的解

當λ2-4AB>0時,方程(1)有解:

(5)

(6)

(7)

當λ2-4AB<0時,方程(1)有解:

(8)

(9)

(10)

當λ2-4AB=0時,方程(1)有解:

(11)

當λ=A=0時,方程(1)有解:

(12)

2.2 復合KdV-Burgers方程的解

復合KdV-Burgers方程為:

ut+αuux+βu2ux+ωuxx-δuxxx=0,

(13)

其中：α,β,ω,δ為常數(shù).文獻[10]中,作者通過改進的Sine-cosine方法和Wu消元法,得到了該方程的顯式行波解和孤立波解.下面使用上面的方法來計算方程(13)的精確解.首先,通過變換u(x,t)=u(ξ),其中ξ=x-Vt,將方程(13)轉(zhuǎn)化為:

(14)

其中C為積分常數(shù).然后平衡最高階導數(shù)項和非線性項有m=1.所以,方程(14)的形式解寫為:

(15)

將式(15)代入方程(14)并使用式(1),可以產(chǎn)生關(guān)于待定常數(shù)的代數(shù)方程組:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

使用符號計算軟件Maple求解式(16)～(22),得：

(23)

因此,將式(23)代入式(15)中,有：

這樣,再由式(5)～(12)就可得方程(13)的精確解.為了方便,這里將λ2-4AB記為Δ,結(jié)果如下:

當Δ>0時,

當Δ<0時,

當Δ=0時,

當λ=A=0時,

3 結(jié)論

本文用(G′/G)-展開法與Riccati方程相結(jié)合的方法,根據(jù)Riccati方程不同情形下的解,獲得了復合KdV-Burgers方程豐富的精確解,包括雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解,有理函數(shù)解,該方法還可以用于其它方程的求解.

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SomeExactSolutionsofCompoundKdV-BurgersEquation

BAI Yu-mei

(College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043,China)

In the present article, some exact solutions of compound KdV-Burgers equation are obtained by using the (G′/G)-expansion method and combining with Riccati equation method, including hyperbolic function solutions and trigonometric function solutions and rational function solutions.Thus,the validity of this method is proved.

Riccati equation；(G′/G)-expansion method；compound KdV-Burgers equation；exact solutions

2013-04-13.

國家自然科學基金項目(10862003).

白玉梅(1972- ),女，碩士，副教授，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)的研究.

O175.2

A

1008-8423(2013)02-0175-04