DC/DC變換器的PWA模型及預(yù)測(cè)控制*

方 煒，王 青，劉曉東

(安徽工業(yè)大學(xué) 電氣信息學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000)

隨著新一代功率集成電子器件的不斷出現(xiàn)，開(kāi)關(guān)功率變換器越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于人們的日常生活。目前大多數(shù)的研究工作是通過(guò)提出新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和先進(jìn)的控制策略來(lái)提高功率變換器的各種性能。但是相當(dāng)一部分控制算法依然基于較早提出的狀態(tài)空間平均法建立的系統(tǒng)模型。由于這種小信號(hào)建模的方法忽略了功率變換器中開(kāi)關(guān)器件的離散動(dòng)作，因而存在很大的局限性[1-2]。

事實(shí)上，由于開(kāi)關(guān)器件的離散動(dòng)作和連續(xù)動(dòng)態(tài)特性的相互作用，功率變換器是一個(gè)典型的混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。因此，如何利用混雜系統(tǒng)理論對(duì)DC/DC功率變換器進(jìn)行研究，已引起國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者的廣泛關(guān)注。參考文獻(xiàn)[3]利用周期性切換模型分析了DC/DC功率變換器的混雜動(dòng)態(tài)特征，并研究了系統(tǒng)的能控性、能觀性和能達(dá)性；參考文獻(xiàn)[4]研究了Boost功率變換器的混雜控制問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)混雜控制律調(diào)節(jié)變換器的輸出電壓；參考文獻(xiàn)[5]基于滑模觀測(cè)器建立了DC-DC變換器的混雜系統(tǒng)狀態(tài)模型，基于混雜系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了預(yù)測(cè)控制器；參考文獻(xiàn)[6]運(yùn)用混雜系統(tǒng)相關(guān)理論，研究二階DC-DC變換器的統(tǒng)一混雜系統(tǒng)模型，基于Lyapunov直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，進(jìn)而提出了一種新型的類(lèi)滑?？刂撇呗浴?/p>

模型預(yù)測(cè)控制 MPC（Model Predictive Control）利用內(nèi)部模型預(yù)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出，同時(shí)應(yīng)用有限時(shí)域的滾動(dòng)計(jì)算和反饋校正對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，以確定在預(yù)測(cè)控制時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)控制序列，具有控制效果好、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[7]。

本文利用混雜系統(tǒng)理論對(duì)DC/DC功率變換器進(jìn)行建模分析。首先，利用變換器的υ步離散法，得到輸入控制變量與狀態(tài)變量之間的直接映射關(guān)系，研究和分析開(kāi)關(guān)動(dòng)態(tài)與連續(xù)動(dòng)態(tài)（狀態(tài)變量）之間的相互作用，進(jìn)而建立能夠準(zhǔn)確反應(yīng)開(kāi)關(guān)變換器混雜動(dòng)態(tài)特征的分段仿射模型（PWA）。在此模型的基礎(chǔ)之上，結(jié)合非線性預(yù)測(cè)控制，通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)模型的推導(dǎo)以及反饋校正環(huán)節(jié)的合理設(shè)計(jì)得到最優(yōu)占空比序列，設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器。最后以Buck變換器為例，驗(yàn)證模型建立的正確性以及控制器設(shè)計(jì)的有效性。

1 DC/DC變換器的PWA模型

1.1 Buck變換器的數(shù)學(xué)模型

DC/DC功率變換器是一種典型的切換系統(tǒng)。其工作過(guò)程是在多個(gè)線性系統(tǒng)之間進(jìn)行周期性的切換。以Buck變換器為例建立數(shù)學(xué)模型，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

假設(shè)變換器工作在電流連續(xù)狀態(tài)，那么它有兩個(gè)工作模態(tài)。狀態(tài)變量 x(t)=[il(t)vc(t)]T，il(t)是電感電流，vc(t)是電容電壓，d(k)是第k個(gè)周期的占空比信號(hào)。Buck變換器的狀態(tài)空間方程為：

其中：

由以上分析可以看出：在電流連續(xù)模態(tài)下的變換器，由于開(kāi)關(guān)管Q1存在兩種不同的工作模態(tài)，從而使得Buck變換器呈現(xiàn)混雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。整個(gè)工作過(guò)程是在兩個(gè)子系統(tǒng)之間進(jìn)行切換,系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和模式不再固定，不能用統(tǒng)一的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)模型來(lái)描述，因而其控制的實(shí)現(xiàn)也變得復(fù)雜。

1.2 變換器的步離散模型

在建立混雜動(dòng)態(tài)模型時(shí)，最關(guān)鍵的就是如何描述開(kāi)關(guān)動(dòng)態(tài)與連續(xù)動(dòng)態(tài)之間的相互作用。為此，將一個(gè)開(kāi)關(guān)周期 TS細(xì)分為 υ(υ≥2)個(gè)子區(qū)間[8]。 每個(gè)子區(qū)間的周期τS=TS/υ。

為了確定子區(qū)間的類(lèi)型，引入υ個(gè)二元變量并定義如下：σn=1?d(k)≥n/υ，n=0，1，…，υ-1。 它代表開(kāi)關(guān) Q1在nτS時(shí)刻的狀態(tài)。在每個(gè)子區(qū)間開(kāi)關(guān)有兩個(gè)狀態(tài) （開(kāi)通與關(guān)斷）。子區(qū)間可以劃分為三類(lèi)：

(1)在整個(gè)子區(qū)間內(nèi)Q1處于關(guān)斷狀態(tài)；

(2)在整個(gè)子區(qū)間內(nèi)Q1處于導(dǎo)通狀態(tài)；

(3)子區(qū)間處于Q1由導(dǎo)通轉(zhuǎn)向關(guān)斷的過(guò)渡狀態(tài)中。

因此，在第n個(gè)采樣周期中子區(qū)間按以下公式進(jìn)行狀態(tài)更新：

1.3 變換器的PWA模型

通過(guò)以上分析，以υ=3為例得到Buck變換器的PWA模型：

由此υ步離散模型可以得到精確的時(shí)間離散模型，即PWA切換仿射模型，如式(5)所示；建立了占空比控制矢量和狀態(tài)變量之間的準(zhǔn)確映射關(guān)系式，體現(xiàn)了開(kāi)關(guān)動(dòng)作與系統(tǒng)狀態(tài)的直接關(guān)系。

2 模型預(yù)測(cè)控制

2.1 預(yù)測(cè)模型

假設(shè)所有的狀態(tài)可測(cè)，預(yù)測(cè)步長(zhǎng)為Hp,控制步長(zhǎng)為Hu，且Hu≤Hp。為求解預(yù)測(cè)控制問(wèn)題，由迭代模型式(5)來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以得到：

因此，可以得到輸出y的預(yù)測(cè)值：

2.2 誤差反饋校正

由于實(shí)際應(yīng)用中存在模型失配、環(huán)境干擾等不確定因素，當(dāng)k時(shí)刻將控制d(k)作用于控制對(duì)象，利用預(yù)測(cè)模型所計(jì)算出來(lái)的輸出預(yù)測(cè)值y^(k+1)有可能與實(shí)際的輸出值y(k+1)不相符，這時(shí)就需要構(gòu)成預(yù)測(cè)誤差：

并用此誤差對(duì)輸出預(yù)測(cè)進(jìn)行反饋校正：

將其寫(xiě)成矢量形式：

式中，H=[h1h2… hHp]T是誤差加權(quán)矩陣，僅在預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際輸出存在偏差時(shí)才起作用。這一誤差校正的引入，也使得系統(tǒng)成為一個(gè)閉環(huán)負(fù)反饋，提高了系統(tǒng)的性能。

2.3 求解最優(yōu)控制問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō)，控制的目的是在外界擾動(dòng)和環(huán)境干擾等條件下，讓輸出電壓以很小的超調(diào)和調(diào)節(jié)時(shí)間跟蹤期望的輸出電壓值。同時(shí)，在控制過(guò)程中，往往不希望控制作用的增量△d的變化過(guò)于劇烈，這一因素可在優(yōu)化性能指標(biāo)中加入軟約束予以考慮。因此，k時(shí)刻的優(yōu)化性能指標(biāo)可取為：

其中，Qi是加權(quán)系數(shù)，Ri分別表示對(duì)跟蹤誤差及控制作用變化的抑制。

式(11)可以改寫(xiě)為：

由△D(k)opt=min J求未來(lái)輸入增量的最優(yōu)集合：

由以上分析可知，相應(yīng)的滾動(dòng)策略中僅利用這個(gè)解第一步，假設(shè)裝置的輸入個(gè)數(shù)為l，因此：

式中，Il是 l×l的單位矩陣。

由以上分析可知，預(yù)測(cè)控制的控制策略是在實(shí)施△d(k)之后，采集k+1時(shí)刻的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行新一輪的預(yù)測(cè)、校正、優(yōu)化。由此可以看出，優(yōu)化過(guò)程不是一次離線進(jìn)行的，而是反復(fù)在線進(jìn)行的，其優(yōu)化目標(biāo)也是隨著時(shí)間推移的，即在每一時(shí)刻都提出一個(gè)立足于該時(shí)刻的局部?jī)?yōu)化目標(biāo)，而不是采用不變的全局優(yōu)化目標(biāo)。

3 Simulink仿真

仿真環(huán)境為Microsoft Windows XP Professional系統(tǒng)，Matlab7.1軟件仿真平臺(tái)。

負(fù)載瞬態(tài)性能是衡量DC/DC變換器的一個(gè)重要性能指標(biāo)。以Buck電路為例進(jìn)行仿真。假設(shè)在電流連續(xù)模態(tài)下主電路輸入電壓Vg=5 V，參考電壓2.5 V，開(kāi)關(guān)頻率fS=400 kHz， 電容電感參數(shù)分別為：C=200μF，L=1μH，子區(qū)間為 3，預(yù)測(cè)步長(zhǎng)和控制步長(zhǎng)分別為：Hu=Hp=2。將仿真結(jié)果與峰值電流模式相比較如下。

(1)負(fù)躍變情況(10 A→5 A)

圖2(a)是預(yù)測(cè)控制和峰值控制下輸出電壓變化的仿真波形圖。在0.001 s時(shí)刻負(fù)載電流由10 A到5 A時(shí)，由于電感電流不能突變，輸出電壓即刻增加。由圖2(b)可知，每個(gè)開(kāi)關(guān)周期占空比信號(hào)的數(shù)值是離散的、成周期性變化的，在預(yù)測(cè)控制的作用下，每個(gè)周期對(duì)電感電流和輸出電壓進(jìn)行一次采樣并結(jié)合前一時(shí)刻的占空比計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻要施加到系統(tǒng)上的最優(yōu)控制占空比信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)的作用。這樣，輸出電壓即可在很短的時(shí)間內(nèi)調(diào)節(jié)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)跟隨參考電壓，調(diào)節(jié)時(shí)間 35μs，超調(diào)量 95.3 mV，而峰值電流模式的調(diào)節(jié)時(shí)間為 188μs。

(2)正躍變情況(5 A→10 A)

為進(jìn)一步對(duì)兩種算法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)負(fù)載電流正躍變進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

由圖3知，預(yù)測(cè)控制的調(diào)節(jié)時(shí)間35μs，欠調(diào)量為96 mV，而峰值電流模式的調(diào)節(jié)時(shí)間為150μs。欠調(diào)量為110 mV。

以上分析可知，分段仿射模型實(shí)現(xiàn)了控制變量（占空比）與狀態(tài)矢量（輸出電壓）的直接控制變化離散關(guān)系，預(yù)測(cè)控制算法通過(guò)最優(yōu)占空比離散的、周期性變化的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)在線優(yōu)化控制。兩者的結(jié)合對(duì)電路的輸出電壓進(jìn)行控制，使在負(fù)載跳變時(shí)，對(duì)輸出的電壓影響很小，可以很快地調(diào)節(jié)電壓，恢復(fù)穩(wěn)態(tài)。因此，DC/DC變換器在預(yù)測(cè)控制策略下，具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)特性。

本文從混雜系統(tǒng)理論角度出發(fā)，考慮開(kāi)關(guān)變換器的開(kāi)關(guān)切換特性，對(duì)DC/DC變換器進(jìn)行了建模和仿真分析。首先分析了變換器的混雜特性，為了得到狀態(tài)變量和控制矢量之間的直接映射關(guān)系，利用υ步離散法，得到了相對(duì)精確的模型，即PWA模型。隨后提出了系統(tǒng)的優(yōu)化性能指標(biāo)并基于PWA模型設(shè)計(jì)了預(yù)測(cè)控制器。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在純阻性負(fù)載擾動(dòng)的情況下，預(yù)測(cè)控制的效果相對(duì)峰值電流模式有一定的優(yōu)勢(shì)，它能快速地調(diào)節(jié)電壓恢復(fù)穩(wěn)態(tài)值。系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，進(jìn)而驗(yàn)證了模型的正確性和控制算法的有效性。

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