區(qū)域性橢球元素確定方法的比較

尹偉言，趙 鑫

（1.國家測繪局第一大地測量隊(duì)，陜西 西安 710054；2.國家測繪局測繪標(biāo)準(zhǔn)化研究所，陜西 西安 710054）

在城市獨(dú)立坐標(biāo)系建立過程中有一個重要的問題就是區(qū)域性橢球元素的確定。因?yàn)樵谧鴺?biāo)歸算過程中，地面—橢球面—平面，需要一橢球作為過渡，而選擇與邊長歸算高程基準(zhǔn)面（以下簡稱為投影面）最佳密切吻合的橢球就稱為區(qū)域性橢球，這樣可以在一定程度上減小邊長的投影長度變形。確定區(qū)域性橢球有很多方法，主要有單點(diǎn)法、多點(diǎn)法、定向定位調(diào)整法。文獻(xiàn)［1－3］從理論上對上述方法做了大量研究，本文主要側(cè)重于實(shí)際數(shù)據(jù)的比較與分析，并得出了一些較有意義的結(jié)論。

1 橢球變換方法

1.1 廣義大地坐標(biāo)微分方程

由于橢球的定向和定位的不同，橢球參數(shù)的變化，以及兩坐標(biāo)系統(tǒng)尺度上的差異，使得大地坐標(biāo)發(fā)生了變化，常采用廣義大地坐標(biāo)微分公式［4］表示為

式中：［dX0，dY0，dZ0］T為坐標(biāo)原點(diǎn)的平移量，［da，dα］T為橢球參數(shù)變化量，［εX，εY，εZ］T為坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)參數(shù)，dm為新舊坐標(biāo)系尺度比，系數(shù)A，B，C，D的表達(dá)式參見文獻(xiàn)［5］。

1.2 單點(diǎn)法

使區(qū)域性橢球面和測區(qū)投影面僅在單個位置基準(zhǔn)點(diǎn)上相合的方法，稱為區(qū)域性橢球的單點(diǎn)法［6］。如圖1所示。

圖1中，P0（B0，L0，H0）是位置基準(zhǔn)點(diǎn)，H是投影面的大地高，ζ為高程異常，對于整個測區(qū)一般取同一個概略值。設(shè)國家參考橢球?yàn)镋0橢球，所求得的區(qū)域性橢球?yàn)镋i橢球。

圖1 投影面與區(qū)域性橢球面

單點(diǎn)法包括橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法。具體的理論推導(dǎo)在文獻(xiàn)［6］中已詳細(xì)給出，這里僅歸納這幾種方法確定出的區(qū)域橢球元素以及大地坐標(biāo)變動量公式。

1.2.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法只改變橢球的長半徑a，不改變橢球的扁率。那么由式（1）可得

1）由基準(zhǔn)點(diǎn)上國家參考橢球平均曲率半徑變動量反求橢球長半徑的變動量［1］，這樣所得到的區(qū)域性橢球稱為E1橢球。任意一點(diǎn)大地坐標(biāo)的變動量為

從式（3）可以發(fā)現(xiàn)E1橢球在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處并不與投影面完全貼合。

2）以基準(zhǔn)點(diǎn)上國家參考橢球面與投影面之間的垂向距離H作為長半徑變動量，這樣所得到的區(qū)域性橢球稱為E2橢球。任意一點(diǎn)大地坐標(biāo)的變動量為

從式（4）可以看出，E2橢球在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處與投影面不是完全貼合的，而且除赤道（Bi＝0）外，所確定出的E2橢球面必低于投影面。

1.2.2 橢球平移法

橢球平移法就是僅改變E0橢球的中心位置并不改變其定向和橢球元素。這樣所確定的區(qū)域橢球稱為E3橢球。那么由式（1）可得

采用E0橢球元素，將E0橢球沿著位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的法線方向平移H，并保持基準(zhǔn)點(diǎn)在E0橢球上的大地經(jīng)緯度不變，這樣使E3橢球面與投影面在基準(zhǔn)點(diǎn)處重合。那么，基準(zhǔn)點(diǎn)P0處的大地高變動量為－H，任意一點(diǎn)大地坐標(biāo)的變動量為

在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處［dB0，dL0，dH0］T＝［0，0，－H］T，即E3橢球面與投影面在基準(zhǔn)點(diǎn)處重合，但是其余點(diǎn)的大地經(jīng)度發(fā)生了較大的變化。

1.2.3 橢球變形法

橢球變形法是同時(shí)改變E0橢球的長半徑和第一偏心率，這樣所確定的區(qū)域性橢球稱為E4橢球。那么由式（1）和e2＝2a－a2可得

不改變E0橢球的定位和定向，將位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的大地高H0變?yōu)镠′0，同時(shí)改變橢球的長半徑和扁率，以保證P0處兩橢球的法線方向重合以及三維直角坐標(biāo)不變。任意一點(diǎn)大地坐標(biāo)的變動量為

在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處［dB0，dL0，dH0］T＝［0，0，－H］T，E4橢球面與投影面在基準(zhǔn)點(diǎn)處重合，由于橢球定位定向沒有改變，所以其它點(diǎn)的經(jīng)緯度變動量相對小一些。

1.3 多點(diǎn)法

使區(qū)域性橢球面與邊長歸算投影面在整個測區(qū)或城市范圍內(nèi)的多個網(wǎng)點(diǎn)上都更加相合的方法，稱為多點(diǎn)法［6］。所得到的橢球稱為E5橢球。

首先在E4橢球元素的基礎(chǔ)上，求得各點(diǎn)基于E4橢球的（Bi，Li，Hi）。在測區(qū)中央及周圍選取m個實(shí)施了水準(zhǔn)測量的GPS點(diǎn)，其水準(zhǔn)高程為hi（i＝1，2，…，m）。再變動E4橢球的長半徑和第一偏心率，使得橢球面和這m個點(diǎn)更加密切吻合，由式（8）可以得到大地高的變動量為

經(jīng)過橢球元素變動后，在這m個點(diǎn)上橢球面與投影面之間的偏差

式中：B＝［－Wi，Nisin2Bi/2］，X＝［da，de2］T，l＝hi－Δh－Hi。

最后得到由多點(diǎn)法所確定出的區(qū)域橢球元素為

式中，a和e2是E4橢球元素。

通過多點(diǎn)法確定的區(qū)域性橢球，在測區(qū)范圍內(nèi)使兩個面的偏離程度進(jìn)一步減小，與投影面吻合的更好。

1.4 定向定位調(diào)整法

定向定位調(diào)整法旨在消除兩個面之間的傾斜，是通過在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處繞地平正北和正東方向的旋轉(zhuǎn)，使得橢球面的法線方向趨于垂線方向［2］。這樣所確定出來的橢球稱為E6橢球。

首先，在E4橢球元素的基礎(chǔ)上，求得各點(diǎn)基于E4橢球的（Bi，Li，Hi）。在P0點(diǎn)上，E4橢球面的法線方向與垂線方向并不一致，其夾角為垂線偏差μ，可分解為子午分量ζ和卯酉分量η。文獻(xiàn)［2］推導(dǎo)出了旋轉(zhuǎn)角的垂線偏差分量與大地高變動量之間的關(guān)系式，為了節(jié)約篇幅，這里不再列出具體推導(dǎo)過程，僅給出結(jié)果表達(dá)式。

大地高的變動量與垂線偏差分量之間的關(guān)系為

式中：。

為了求定垂線偏差，可采用類似于上節(jié)中的多點(diǎn)法，利用測區(qū)中央及周圍的m個實(shí)施了水準(zhǔn)測量的GPS點(diǎn)，求得E4橢球面與投影面之間的偏差，以式（12）為函數(shù)模型，按最小二乘估計(jì)求垂線偏差的兩分量。

確定出垂線偏差后，利用文獻(xiàn)［2］中的式（12）～（14）以及E4橢球元素，可以得到在E6下的大地坐標(biāo)。

利用定向定位法所確定出的橢球面，不僅考慮了位置基準(zhǔn)點(diǎn)處橢球面與投影面之間的垂向偏離，還進(jìn)一步顧及了兩個面之間的傾斜，這樣使得在整個測區(qū)范圍內(nèi)，區(qū)域橢球面與投影面更加密切吻合［1］。

2 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

文獻(xiàn)［1，3］已對單點(diǎn)法和多點(diǎn)法進(jìn)行了數(shù)據(jù)驗(yàn)證的比較分析，所得結(jié)論是：與單點(diǎn)法相比，整個測區(qū)按多點(diǎn)法確定的區(qū)域橢球面更吻合于投影面。而在本文中，筆者將利用實(shí)測數(shù)據(jù)對多點(diǎn)法確定的E5橢球和定向定位調(diào)整法確定的E6橢球進(jìn)行比較與分析。

本次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自某市B級GPS控制網(wǎng)成果，共135個點(diǎn)，均勻分布整個市，如圖2所示。

圖2 GPS點(diǎn)位分布圖

在測區(qū)中央選取一個基準(zhǔn)點(diǎn)P0＝（31°25′38.851 20″，120°44′45.660 33″，12.862m），P0正常高為3.771m，那么P0處高程異常值為9.091m。投影面的大地高H＝－48.033m，由P0的大地坐標(biāo)，通過式（11）和式（12）可以算出E4橢球元素為

在E4橢球的基礎(chǔ)上，按照多點(diǎn)法確定出E5橢球元素，根據(jù)式（14）和式（15）解算出E5橢球元素相對于E4橢球元素的增量為

在E4橢球的基礎(chǔ)上，按照定向定位調(diào)整法確定出E6橢球，E6橢球與E4橢球具有相同的橢球元素，區(qū)別是定向定位不同。根據(jù)式（16）解算出垂線偏差兩個分量為

確定E5和E6橢球的最終目的均為：使得在整個測區(qū)范圍內(nèi)，區(qū)域橢球面與投影面更加密切吻合。表1列出其中10個點(diǎn)分別基于E5橢球和E6橢球下投影面與橢球面之間的距離。

表1 E5和E6橢球面與投影面之間的距離（10為基準(zhǔn)點(diǎn)P0） m

圖3更加直觀形象地表示出135個GPS網(wǎng)點(diǎn)的E5和E6橢球面與投影面之間的距離。

圖3 E5和E6橢球面與投影面之間的距離

根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)和圖3可以發(fā)現(xiàn)：

1）E5橢球面與投影面之間的距離最大為2.088m，最小為0.019m，在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處距離為0.166m，投影面與橢球面之間的距離偏大，平均在分米級；

2）E6橢球面與投影面之間的距離最大為0.216m，最小為0m，在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處距離為0m，投影面和橢球面之間的距離普遍很小，平均在厘米級；

3）通過比較E5和E6橢球，可以得出這樣的結(jié)論：采用定向定位調(diào)整法確定的E6橢球面與投影面更加密切吻合，優(yōu)于采用多點(diǎn)法確定的E5橢球面。

3 結(jié) 論

1）本文介紹了目前常用的3種橢球變換理論與方法，對各種方法的特點(diǎn)進(jìn)行分析，歸納了E1－E6橢球元素及大地坐標(biāo)變動量的公式，方便各類工程的使用。

2）利用某市B級GPS控制網(wǎng)數(shù)據(jù)對多點(diǎn)法確定的E5橢球和定向定位調(diào)整法確定的E6橢球進(jìn)行比較與分析，從表1和圖3中可以發(fā)現(xiàn)E6橢球面與投影面更加密切吻合，優(yōu)于E5橢球。

3）對于面積較小的測區(qū)而言，可以采用單點(diǎn)法確定區(qū)域橢球；但是對于大面積測區(qū)，離基準(zhǔn)點(diǎn)越遠(yuǎn)，橢球面與投影面之間的傾斜越嚴(yán)重，因此，建議采用E6橢球作為區(qū)域橢球。

［1］施一民.單點(diǎn)和多點(diǎn)法確定區(qū)域性橢球空間位置及元素［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，32（5）：648－651.

［2］施一民，周擁軍.用定向定位調(diào)整法確定區(qū)域性橢球面［J］.測繪學(xué)報(bào)，2002，31（2）：118－122.

［3］施一民，張文卿.區(qū)域性橢球元素的最佳確定［J］.測繪工程，2000，9（3）：27－29.

［4］暢開獅.建立城市獨(dú)立坐標(biāo)系相關(guān)問題的探討［J］.城市勘測，2008（1）：86－90.

［5］孔祥元.控制測量學(xué)（下冊）［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2010：166－178.

［6］施一民.現(xiàn)代大地控制測量［M］.北京：測繪出版社，2008：218－228.

［7］丁士俊，暢開獅，高順義.獨(dú)立網(wǎng)橢球變換與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的研究［J］.測繪通報(bào)，2008（8）：4－6.

［8］李世安，劉經(jīng)南，施闖.應(yīng)用GPS建立區(qū)域獨(dú)立坐標(biāo)系中橢球變換的研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2005，30（10）：888－891.