人字形組合臂架空間壓桿線性穩(wěn)定性分析

周奇才 李文軍 周在磊 熊肖磊

同濟大學，上海，201804

0 引言

大噸位臂架起重機的主臂常采用人字形組合結構，主要有環(huán)軌式起重機、浮式起重機、半潛式起重船三種類型。隨著起升高度的不斷提高和高強度鋼材的應用，臂架穩(wěn)定性問題已經成為限制此類設備性能的重要因素［1-2］。工程設計中常借助有限元軟件進行仿真分析［3-4］，復雜的人字形組合臂架的穩(wěn)定性計算耗時耗力，在臂架設計之初需要簡易算式進行快速準確驗算。目前世界上主要工業(yè)大國的起重機設計規(guī)范和鋼結構規(guī)范對于壓彎構件靜力穩(wěn)定性都給出了校核計算公式，一般思路是將空間格構式壓彎桿等效為實體式壓彎構件，運用換算長細比法進行計算［5-11］，但對于人字形組合臂架的穩(wěn)定性驗算卻無能為力。起重機臂架結構穩(wěn)定性的理論研究基本上集中在單柱臂架(有的帶副臂)方面［1-2，12-15］，而雙柱臂架尤其是人字形組合臂架方面的穩(wěn)定性研究幾乎空白。相對于單柱臂架而言，人字形組合結構大大提高了回轉平面內的整體穩(wěn)定性，所以研究其整體穩(wěn)定性的關鍵在于研究變幅平面內的穩(wěn)定性。線性穩(wěn)定性即一階穩(wěn)定，認為在失穩(wěn)前結構變形忽略不計［16］，著眼于結構的整體穩(wěn)定性，通常運用平衡法或能量法獲得結構線性失穩(wěn)載荷表達式，求解其最小特征值即為結構整體失穩(wěn)載荷，便于簡易計算［17］。線性失穩(wěn)載荷是非線性失穩(wěn)載荷的上限［4，18］，也是非線性穩(wěn)定分析的基礎［19］。李文軍等［20］采用等效實體歐拉公式法和柔度法推導了人字形組合臂架的線性失穩(wěn)載荷算式，算例驗證具有一定的精度，但在回轉平面內將組合臂架單柱頂端的連接簡化為鉸接，忽略了單柱的橫向剪力，同時在變幅平面內將臂架底端的法向鉸約束(旋轉中心線垂直于變幅平面)簡化為斜向鉸約束(旋轉中心線與變幅平面的夾角為銳角，垂直于臂架單柱中心線)，這兩個簡化便于直接運用歐拉公式進行推導，卻使得理論分析與實際不符。

基于上述問題，考慮組合臂架結構的單柱橫向剪力和實際約束條件，對已有的人字形組合臂架線性失穩(wěn)載荷算式［20］進行修正。針對兩種典型桿件截面形式的28種臂架結構，結合 SAP 2000有限元方法對組合結構進行精確模擬，得到結構線性屈曲載荷，檢驗修正算式的準確性。

1 人字形組合臂架線性失穩(wěn)載荷

某公司的大型臂架起重機如圖1所示，人字形組合臂架(簡稱為組合臂架)上端與變幅系統(tǒng)鉸接，下端與平衡梁上的支座鉸接，鉸軸中心線理論上平行于水平面。組合臂架頂部采用剛度較大的結構，將兩個格構柱連接起來;組合臂架底部有相對較短的基礎節(jié)，兩側基礎節(jié)相互平行，之間有橫梁結構，將兩個單柱的載荷傳遞到下端鉸支座上。為了便于理論推導和設計驗算，忽略長度短、剛性大的基礎節(jié)部分，對人字形組合臂架進行理論定義和失穩(wěn)分析。

圖1 某公司大型臂架起重機示意圖

人字形組合臂架是指組合臂架上端最小距離近似為零的人字形空間組合桿系結構，如圖2所示。在組合臂架內側，上端到下端的垂直距離稱為組合臂架的長度LH，下端內側之間的水平距離稱為組合臂架的寬度W，人字形組合壓桿長寬比(簡稱長寬比)為K=LH/W，兩臂架單柱的頂端通過一剛性框架固接。如圖3a所示，文獻［20］在分析組合臂架時，將臂架頂部和根部的銷軸視為傾斜安裝，與臂架單柱中心線垂直，實際上，由于臂架需繞銷軸旋轉變幅，所以銷軸與水平面平行，如圖3b所示，臂架端部鉸約束應為法向鉸約束。結合文獻［21］對輪式起重機主吊臂的力學簡化模型，人字形組合臂架在主視圖平面可視為下端固定、上端自由的組合結構，取長度為L的臂架單柱進行穩(wěn)定性分析(圖2中A向視圖)，由于臂架端部的銷軸水平安裝，對單柱而言，相當于在臂架端部附加了彎矩約束。由于組合臂架的對稱性，結構整體線性失穩(wěn)時單柱也將失穩(wěn)，因此求解整體失穩(wěn)載荷轉化為求解單柱失穩(wěn)載荷問題。

圖2 人字形組合臂架空間壓桿計算簡圖

圖3 臂架簡化模型對比

1.1 單柱載荷分析

如圖4所示，從實體式人字形結構出發(fā)，進行受力分析。該結構與組合臂架結構約束相同，即下端的兩個鉸點只能繞X軸方向轉動，上端的鉸點只能繞X軸方向轉動和沿Z軸方向移動。

圖4 實體式人字形結構受力簡圖

設作用在頂端的載荷為F，考慮其對兩單柱的橫向剪力，產生單柱的軸向力為FN。兩單柱頂部剛接，主視圖為平面三次超靜定結構，采用柔度法計算［18］，得到單柱軸向力為

式中，β為主視圖內單柱與水平面的夾角，即組合角;L為單柱的長度;E為材料的彈性模量;G為材料的剪切模量;Ih為單柱截面繞y軸的慣性矩;A為單柱的截面積;k為剪應力沿截面分布不均勻系數(shù)，與截面形狀有關，矩形截面k=6/5，圓形截面k=10/9;k/(GA)是主視圖平面內單柱受單位剪力引起的剪切角。

1.2 單柱近似失穩(wěn)載荷

組合臂架在軸向載荷下，容易在變幅平面發(fā)生失穩(wěn)，所以在圖4中A向視圖內對單柱進行失穩(wěn)分析。當β=90°時單柱為兩端鉸接，M0為零;當β=0°時單柱為兩端固定，M0較大。兩端鉸接受壓柱的歐拉公式對單柱穩(wěn)定性分析已不適用，應考慮不同組合角對失穩(wěn)載荷的影響，本文提出了一種近似求解單柱失穩(wěn)載荷的方法:通過算例進行數(shù)值分析，應用有限元方法精確計算法向鉸約束條件下單柱失穩(wěn)載荷，將此載荷與歐拉公式解相除得到比值，再采用非線性擬合技術分析組合角對比值的影響，最后導出法向鉸約束條件下的單柱近似失穩(wěn)載荷算式。

算例1 如圖4所示，單柱長度L=2m，單柱截面為50mm×50mm，材料為Q345。SAP 2000是美國CSI公司出品的結構通用有限元分析程序，它可以通過對特征值方程求解，來確定結構屈曲時的極限載荷和破壞形態(tài)［4］。圖5所示為β=70°時的模型，限制節(jié)點1的 X、Y、RY、RZ自由度(約定X為X向平動自由度，RX為繞X軸旋轉的自由度，其他類似)，限制節(jié)點2和節(jié)點3的X、Y、Z、RY、RZ自由度，在節(jié)點1的－Z向施加單位載荷。線性屈曲分析后，得到第一階屈曲模態(tài)(變幅平面內失穩(wěn))如圖 6所示，屈曲載荷為 Fcr=515 557.802N。將該值代入式(1)，得到單柱失穩(wěn)軸向力為FNcr=274 299.910N。由材料力學可知，對于兩端鉸接的壓桿，壓力F0使其失穩(wěn)的歐拉載荷為FNE=π2EI/L2［2］，則單柱歐拉失穩(wěn)載荷為FNE=257 020.948N。定義單柱的失穩(wěn)載荷與其歐拉失穩(wěn)載荷的比值f(β)為等效約束系數(shù)，則f(β)=FNcr/FNE=1.067 228。同理，運用 SAP 2000計算β角不同時的結構屈曲載荷，代入式(1)得到單柱失穩(wěn)載荷，見表1。

圖5 SAP模型圖(β=70°)

圖6 一階屈曲模態(tài)(β=70°)

表1 算例1失穩(wěn)載荷值

當β接近0°時，結構發(fā)生跳躍失穩(wěn)［17］，這時采用SAP2000進行線性屈曲分析得到的失穩(wěn)載荷并不準確，而實際工程中組合角較大，故從β=10°開始討論。當β=90°時，單柱為兩端鉸接的受壓柱，f(β)應等于1，對表1中求得的f(β)作等比例放大修正。將等效約束系數(shù)修正值和組合角進行非線性擬合，考慮到β的尺度標準問題，取sinβ進行擬合，得到3階多項式為

則實體式單柱的近似失穩(wěn)載荷可按下式計算:

式中，Ib為單柱截面繞X軸的慣性矩。

為了驗證式(3)、式(4)的準確性，取算例2和算例3進行驗證。

算例2 如圖4所示，單柱長度L=10m，單柱截面為φ75mm，材料為Q345。

算例3 如圖4所示，單柱長度L=120m，單柱截面為50mm×50mm，材料為Q345。

SAP線性屈曲分析得到β不同時的結構失穩(wěn)載荷，與式(1)～式(4)計算得到的結果進行對比，見表2和表3。為了直觀地反映法向鉸約束對人字形結構失穩(wěn)載荷的影響，不計等效約束系數(shù)f(β)，計算結構的失穩(wěn)載荷，并統(tǒng)計其誤差列于表2、表3中。

表2 算例2計算結果及誤差

表3 算例3計算結果及誤差

由表2和表3可知，算式的計算結果與仿真值相近，誤差在3.5%以內。但是若不考慮法向鉸約束的影響，即不計等效約束系數(shù)，尤其在組合角較小時，誤差明顯增大，這說明式(3)、式(4)基本消除了法向鉸約束的影響。

當單柱為格構柱時，需要考慮剪力的不利影響，參照文獻［21］對FNE作如下修正:

式中，Ad為弦桿的截面面積;Ap為直腹桿的截面面積;Aq為斜腹桿的截面面積。

圖7 十字形腹桿體系

1.3 組合結構失穩(wěn)載荷

根據式(1)～式(6)，推導出格構式人字形組合結構線性失穩(wěn)載荷的算式:

2 算例計算與結果分析

2.1 算例計算

算例4 如圖2和圖7所示。W=18.4m，標準節(jié)節(jié)數(shù)n=12，14，…，38，共14種不同長度的空間組合結構。十字型腹桿體系，弦桿截面φ400mm×20mm，直腹桿截面 φ121mm×8mm，斜腹桿截面φ152mm×10mm，材料均為 Q345，a=1.7m，Lo=3a，Lo'=5.7m，b=2.1m，w=1.6m。

算例5 弦桿截面400mm×400(18)mm，直腹桿截面120mm×120(8)mm，斜腹桿截面150mm×150(10)mm，其他參數(shù)與算例4相同。使用式(7)計算算例4、算例5結構的失穩(wěn)載荷Fcr值，見表4和表5。

2.2 仿真實驗

運用SAP 2000建立算例4、算例5的有限元模型，圖8為n=12時模型圖。分別將節(jié)點2、3(下端標準節(jié)底端平面中心)和相應底部標準節(jié)底端平面所有節(jié)點的6個自由度束縛在一起，模擬剛性基礎節(jié)，限制節(jié)點 2、3 的 X、Y、Z、RY、RZ;將節(jié)點1(組合結構兩個單柱幾何中心線交點)和頂部標準節(jié)頂端平面所有節(jié)點的6個自由度束縛在一起，模擬剛性框架;限制節(jié)點1的X、Y、RY、RZ。釋放所有腹桿端彎矩M3(繞桿件自身3軸彎矩)［4］模擬鉸接。在節(jié)點1的－Z向施加單位載荷。屈曲分析得到第一階屈曲模態(tài)(變幅平面內失穩(wěn))如圖 9所示，屈曲載荷值為303 429 040N。同樣地，仿真計算不同標準節(jié)數(shù)時的結構屈曲載荷值Fc'r，按 e=(Fcr－Fc'r)/Fc'r計算修正算式誤差，見表4和表5。

圖8 SAP模型圖(n=12)

圖9 一階屈曲模態(tài)(n=12)

表4 算例4失穩(wěn)載荷值對比

表5 算例5失穩(wěn)載荷值對比

2.3 結果分析

根據表4、表5計算結果，繪制出本文和文獻［20］不同長寬比時線性失穩(wěn)載荷計算誤差，見圖10?？紤]組合臂架結構的單柱橫向剪力和實際法向約束后，修正算式計算精度有了顯著的提高。隨著臂長的增大，長寬比K增大，在K=2.743和K=4.620兩處本文誤差出現(xiàn)了波動，但精度仍高于文獻［20］;當K＞3(大型人字形組合臂架的長寬比均在此范圍)時，誤差基本呈減小趨勢，并保持在－3.2%以內;當K＜3時，誤差陡增，文獻［20］最大誤差為－11.758%，而本文最大誤差為－9.037%。

圖10 長寬比不同時的計算誤差

3 結論

(1)在結構小變形假設下，考慮組合臂架的單柱橫向剪力和端部法向約束，修正了人字形組合臂架空間壓桿的線性失穩(wěn)載荷算式，在長寬比K為1.790～5.865大范圍內計算精度得到了顯著提高。

(2)實際工程中需要考慮結構變形、材料塑性等非線性因素，才能較為準確地求解出臂架的失穩(wěn)載荷，簡易算式計算的線性失穩(wěn)載荷是結構失穩(wěn)載荷的上限，為非線性分析提供了依據。

(3)由于組合臂架的對稱性，認為結構整體失穩(wěn)時單柱發(fā)生失穩(wěn)，屬于特征值失穩(wěn)的范疇，沒有考慮局部桿件失穩(wěn)的發(fā)生，關于整體失穩(wěn)與局部失穩(wěn)的關系將在后續(xù)研究中展開討論。

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