基于方位特征集的兩轉(zhuǎn)動(dòng)(0T－2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合及其應(yīng)用

鄧嘉鳴 尹洪波 沈惠平 李 菊 楊廷力

常州大學(xué)，常州，213016

0 引言

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合的理論與方法主要有三種，即基于位移子群的方法、基于螺旋理論的方法及基于方位特征(position and orientation characteristics，POC)集的方法，且人們已運(yùn)用上述三種方法綜合出了較多并聯(lián)機(jī)構(gòu)新機(jī)型。應(yīng)用基于位移子群的方法，文獻(xiàn)［1-4］先后研究了三自由移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)、三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及非對(duì)稱的2T1R和1T2R三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合;李秦川等［5］綜合出4種三移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。應(yīng)用基于螺旋理論的方法，Kong等［6］、Fang等［7］分別對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、4～5個(gè)自由度過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合;黃真及其團(tuán)隊(duì)對(duì)3～5個(gè)自由度對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了綜合，并得到了30多種可實(shí)現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)［8-9］。應(yīng)用基于方位特征的方法，楊廷力及其團(tuán)隊(duì)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行了系統(tǒng)研究，沈惠平等［10-11］分別對(duì)三平移與六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合，分別得到26種與10種機(jī)型;羅玉峰等［12-13］分別對(duì)兩平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)與三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合，分別得到27種與43種機(jī)型;文獻(xiàn)［14］綜合出了43種三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)、31種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)、22種五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以及8種六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，主要應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)、衛(wèi)星天線的方位跟蹤系統(tǒng)、攝像機(jī)定位系統(tǒng)以及醫(yī)療器械等方面，因而具有重要的實(shí)用價(jià)值，但目前對(duì)兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合研究較少。高峰等［15］利用GF集理論進(jìn)行型綜合，列出了以符號(hào)組合形式表示的26種兩支路結(jié)構(gòu)的機(jī)型，給出了4種機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)圖;曾達(dá)幸等［16］根據(jù)運(yùn)動(dòng)綜合法思想，提出了一種轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)型綜合方法，并綜合出多種兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu);東昕［17］基于現(xiàn)有的三種兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Omni－WristⅢ機(jī)構(gòu)、球面5R 機(jī)構(gòu)、3－RSR＆1－SS機(jī)構(gòu))，提出了兩種新型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并從中優(yōu)選出一種能滿足噴泉運(yùn)動(dòng)要求的構(gòu)型。

本文應(yīng)用基于POC集的機(jī)構(gòu)型綜合方法，對(duì)兩轉(zhuǎn)動(dòng)(0T－2R)輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)綜合，得到了14種機(jī)型，其中，6種機(jī)型為本方法綜合得到，然后按它們的結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行了初步分類，并將優(yōu)選的一種兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于太陽能二軸跟蹤機(jī)構(gòu)的研制。

1 兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合及其結(jié)構(gòu)分析

基于POC集的并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合理論與方法詳見文獻(xiàn)［14］，這里只給出主要步驟。

1.1 確定期望得到的機(jī)構(gòu)的POC集Mpa

Mpa的表達(dá)式如下:

其中，t0表示不存在有限移動(dòng)，r2表示存在兩個(gè)有限轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 支路結(jié)構(gòu)的綜合

(1)支路的POC集。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程:

式中，Mbj為當(dāng)其他支路不在時(shí)，第j條SOC支路末端構(gòu)件的POC集。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集是各支路POC集的交集，于是，支路的POC集可取為

(2)支路的結(jié)構(gòu)類型。滿足上述POC集的簡(jiǎn)單支路(SOC)與復(fù)合支路(HSOC)的結(jié)構(gòu)類型如表1所示。

1.3 支路組合方案

利用表1中的SOC支路和HSOC支路，可綜合出表2所示的組合方案。

現(xiàn)以表2中C3支路的組合方案為例，綜合1個(gè)兩轉(zhuǎn)動(dòng)(0T－2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。C3支路的組合方案為

1.4 確定支路在兩平臺(tái)裝配的幾何條件

(1)確定支路末端構(gòu)件的POC集。

支路1:

表1 SOC與HSOC的結(jié)構(gòu)類型

表2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支路組合方案

(續(xù)表2)

其中◇(R11，R12)表示由 R11、R12構(gòu)成的平面，下同。

支路2:

支路3:

(2)建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)POC方程:

(3)確定支路在兩平臺(tái)裝配的幾何條件。為實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的兩維轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)使兩支路POC的交集保留兩個(gè)獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)元素，即裝配的幾何條件為:R11與R12正交，R11∥R23∥R21且R12與R24的軸線重合。

(4)畫出機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖。根據(jù)各支路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征以及支路在兩平臺(tái)裝配的幾何條件，畫出機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖1所示。

1.5 檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)自由度

圖11 -SOC{-}⊕1-SOC{-R(⊥P)∥-}⊕1-SOC{-S-P-S-}

(1)確定第一個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1。第一、二條支路組成的第一個(gè)獨(dú)立回路的ξL1為

式中，dim{}為求維數(shù)的函數(shù)。

第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

(2)第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集為

(4)確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度:

1.6 判斷機(jī)構(gòu)消極運(yùn)動(dòng)副

由消極運(yùn)動(dòng)副的判斷準(zhǔn)則［14］，判斷R24副是否為消極運(yùn)動(dòng)副。

(2)確定新機(jī)構(gòu)的自由度。首先確定由第一條、第二條支路組成的第一個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1:

第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集為

然后再確定第二個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1:

最后可得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度:

(3)判斷消極運(yùn)動(dòng)副。由于新機(jī)構(gòu)的自由度為1，而原機(jī)構(gòu)的自由度為2，則被剛化的運(yùn)動(dòng)副不是消極運(yùn)動(dòng)副。

1.7 選取機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副

基于驅(qū)動(dòng)副判定準(zhǔn)則［14］，判定圖1中機(jī)構(gòu)的P22與P32副可否同時(shí)為驅(qū)動(dòng)副。

第二支路的自由度為3，可在Mb2中任選3個(gè)為獨(dú)立元素，則另外一個(gè)為非獨(dú)立元素;第三支路的自由度為5，可在Mb3中任選5個(gè)為獨(dú)立元素，則另外一個(gè)為非獨(dú)立元素。

(2)確定新機(jī)構(gòu)的自由度。

首先確定的第一條、第二條支路組成的第一個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1。

其中，Mb2取兩個(gè)有限移動(dòng)和一個(gè)有限轉(zhuǎn)動(dòng)為獨(dú)立元素。

第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

第一條、第二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集為

然后，確定第二個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2:

其中，在Mb3中取t3為獨(dú)立元素。

最后確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度:

(3)判定P22與P32副可否同時(shí)為驅(qū)動(dòng)副。

由于新機(jī)構(gòu)的自由度0，按照驅(qū)動(dòng)副判定準(zhǔn)則，圖1所示的機(jī)構(gòu)同一平臺(tái)上的P22與P32副可同時(shí)為驅(qū)動(dòng)副。

1.8 確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(1)支路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

(2)兩平臺(tái)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

動(dòng)平臺(tái)上:R11與R12正交，R11∥R23且R12與R24的軸線重合。

靜平臺(tái)上:R11∥R21。

1.9 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特性分析

取第二個(gè)單開鏈為SOC{－R(R12－R14)－S31－P32－S33－}。需計(jì)入繞R12與R24公共軸線的轉(zhuǎn)動(dòng) R(R12－R14)，其約束度 Δ2為

由BKC的判定方法可知，該機(jī)構(gòu)包含兩個(gè)BKC，其耦合度為

(2)自由度類型。基于自由度類型判定準(zhǔn)則，該機(jī)構(gòu)具有部分自由度。

(3)運(yùn)動(dòng)輸入－輸出解耦性。基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的解耦原理，已知該機(jī)構(gòu)具有部分自由度，因此具有運(yùn)動(dòng)輸入－輸出解耦性。

2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)類型的分類

按照上述綜合方法，選取表2中其他組合方案，已綜合出了14種機(jī)型，如表3所示。進(jìn)一步，按支路類型、是否含有復(fù)雜支路、是否具有解耦性、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，以及轉(zhuǎn)動(dòng)輸出類型，對(duì)表3中的機(jī)構(gòu)進(jìn)行分類，以供設(shè)計(jì)人員參考與選用。

表3 兩轉(zhuǎn)動(dòng)(0T－2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(1)是否含有相同支路的并聯(lián)機(jī)構(gòu):①無所有支路相同的并聯(lián)機(jī)構(gòu);②兩條支路相同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如表3中B1、B2所示機(jī)構(gòu);③支鏈結(jié)構(gòu)不同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。如表3中C1～C12所示的機(jī)構(gòu)。

(2)含有復(fù)雜支路的并聯(lián)機(jī)構(gòu):表3中C6、C11、C12所示的機(jī)構(gòu)。

(3)具有運(yùn)動(dòng)解耦性的機(jī)構(gòu):表3中B2、C1～C8、C10～C12所示的機(jī)構(gòu)。

(4)基于耦合度的運(yùn)動(dòng)(動(dòng)力)學(xué)復(fù)雜性。已計(jì)算所綜合出的14種并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度值均為0，因此，可直接得到其運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)解析式，其分析過程較為簡(jiǎn)單。

(5)轉(zhuǎn)動(dòng)輸出類型。根據(jù)文獻(xiàn)［18-20］，兩轉(zhuǎn)動(dòng)輸出機(jī)構(gòu)分為純球面轉(zhuǎn)動(dòng)、非球面轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情況，因此，表3中，作純球面轉(zhuǎn)動(dòng)的有 B1、C9，其他均為非球面轉(zhuǎn)動(dòng)，這有利于不同類型應(yīng)用場(chǎng)合時(shí)選用。

3 優(yōu)選機(jī)型的設(shè)計(jì)與應(yīng)用

已綜合出的 14 種機(jī)型(表 3)中，B1、B2、C1、C2、C9、C10、C11、C12已有相應(yīng)文獻(xiàn)報(bào)道，而 C3，C4，…，C8這6種機(jī)型為作者按照上述理論方法新綜合得到，這些新機(jī)型為二自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)、衛(wèi)星天線的方位跟蹤系統(tǒng)、攝像機(jī)定位系統(tǒng)等提供了侯選設(shè)計(jì)方案。筆者已將C3機(jī)型用于太陽能二軸跟蹤機(jī)構(gòu)，其機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖2所示，并已對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析，包括機(jī)構(gòu)工作空間、機(jī)構(gòu)誤差分析，并運(yùn)用遺傳算法對(duì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，其工作空間如圖3所示，其樣機(jī)研制在進(jìn)行中。

圖2 二自由度太陽能跟蹤機(jī)構(gòu)

圖3 二軸跟蹤機(jī)構(gòu)的工作空間

5 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論，對(duì)兩轉(zhuǎn)動(dòng)(0T－2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合，得到了14種機(jī)型，其中8種機(jī)型已有文獻(xiàn)報(bào)道，而6種機(jī)型為筆者按照上述理論方法綜合得到，這些機(jī)型為二自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)、衛(wèi)星天線的方位跟蹤系統(tǒng)、攝像機(jī)定位系統(tǒng)的實(shí)用與設(shè)計(jì)等提供了優(yōu)選設(shè)計(jì)方案。

(2)該方法運(yùn)算規(guī)則少、數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)單，幾何與物理意義明確，適用于所有無過約束和一般過約束機(jī)構(gòu)。

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