允許缺貨條件下最優(yōu)廣告與訂貨策略的聯(lián)合確定

丁 虹

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥230061）

1 引言

易腐品是指在存儲(chǔ)過(guò)程中容易發(fā)生腐爛、性能衰退和分解的變質(zhì)類物品，如水果、海鮮、蔬菜、化學(xué)藥品等。在現(xiàn)實(shí)生活中，廣告宣傳是銷售易腐商品時(shí)所采用的重要營(yíng)銷手段之一，銷售商可通過(guò)廣告宣傳讓顧客充分了解銷售商品的品質(zhì)、價(jià)格、折扣等一系列信息，從而激發(fā)潛在客戶購(gòu)買其銷售商品的欲望，進(jìn)而達(dá)到提高商品銷售量的目的。但也并非投入廣告的強(qiáng)度越大越好，一方面廣告投入費(fèi)用多了，增加的利潤(rùn)不一定能補(bǔ)償廣告投入的費(fèi)用，另一方面，由于潛在客戶畢竟是有限的，當(dāng)廣告投入到一定程度之后，再投入廣告，需求也不會(huì)有明顯的增加了；在考慮廣告投入強(qiáng)度問(wèn)題的同時(shí)，銷售商還將面臨著進(jìn)貨策略問(wèn)題，若進(jìn)貨少了，會(huì)造成廣告宣傳帶來(lái)的顧客的流失；而進(jìn)貨多了，將導(dǎo)致資金積壓以及庫(kù)存費(fèi)用的增大。因此，開(kāi)展易腐商品廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定，對(duì)銷售商的經(jīng)營(yíng)決策具有重要的實(shí)際價(jià)值。

近些年來(lái)，相關(guān)的研究文獻(xiàn)也不斷涌現(xiàn)。文獻(xiàn)［1］考慮了廣告對(duì)需求的影響，并確定了最優(yōu)廣告投入和訂貨策略。之后文獻(xiàn)［2］發(fā)展了文獻(xiàn)［1］的研究，考慮了品牌廣告與地方廣告聯(lián)合作用下的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)［3］研究了廣告費(fèi)用與數(shù)量折扣聯(lián)合考慮下的供應(yīng)鏈問(wèn)題，在以上這些文獻(xiàn)中，都只考慮到廣告費(fèi)用對(duì)于需求的影響，而在現(xiàn)實(shí)生活中，正如文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］的討論，需求量與庫(kù)存水平也是相關(guān)的。文獻(xiàn)［6］研究了需求既依賴于廣告投入費(fèi)用又依賴于庫(kù)存水平時(shí)，變質(zhì)率為常數(shù)的易腐品在固定訂貨周期下不允許缺貨條件下的庫(kù)存模型。而在以往的研究文獻(xiàn)［4，5，7，8，9］中研究了缺貨情況下全部延期和部分延期交貨的情況，均發(fā)現(xiàn)允許缺貨情況下銷售商獲取了更多的利潤(rùn)?？紤]到這個(gè)問(wèn)題，本文在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，研究了允許缺貨條件下易腐商品廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定問(wèn)題。

2 問(wèn)題的提出

假定1：零售商所面臨的單位時(shí)間需求量由三方面所決定，第一方面是固定的需求率D0，第二方面是廣告所引起的需求率D1（t），第三方面是由庫(kù)存所引起的需求量D2（t）。即：

假定2：零售商在單位時(shí)間內(nèi)投入廣告費(fèi)用相同，且設(shè)為u（決策變量）。利用文獻(xiàn)［6］中的假設(shè)，單位時(shí)間投入廣告費(fèi)用u時(shí)，任意時(shí)刻廣告所引發(fā)的需求率為

假定3：利用文獻(xiàn)［4］中的假設(shè)，單位時(shí)刻庫(kù)存水平所引起的需求量D2（t）＝θI（t）（0≤θ≤1）。

假定5：零售商的訂貨周期為內(nèi)生變量，設(shè)為T。

3 模型1

這個(gè)模型討論允許缺貨情況下全部延期交貨的情況，這里我們假定單位時(shí)間單位物品的缺貨成本為c2。當(dāng)庫(kù)存量為正的時(shí)候，需求量與廣告投入費(fèi)用、庫(kù)存水平有關(guān)，當(dāng)庫(kù)存量為負(fù)的時(shí)候，需求量只與廣告投入費(fèi)用有關(guān)。

因此，我們可以得到庫(kù)存模型：

解微分方程得：

則得到零售商每次訂貨的訂貨量：

同時(shí)，可以得知一個(gè)周期內(nèi)總銷售量：

以及一個(gè)周期內(nèi)總庫(kù)存費(fèi)用為

其中：c1為單位時(shí)間單位商品的庫(kù)存費(fèi)用；

一個(gè)周期內(nèi)總的缺貨成本：

其中c2為單位時(shí)間單位商品的缺貨費(fèi)用；

此時(shí)，可以得到一個(gè)周期內(nèi)零售商的利潤(rùn)函數(shù)為：

其中：c為單位商品的進(jìn)價(jià)，p為單位商品的零售價(jià)格，A為訂購(gòu)費(fèi)；

一個(gè)周期內(nèi)利潤(rùn)達(dá)到最大的必要條件為

算例分析

為了方便后期算例的比較，我們與文獻(xiàn)［6］中的算例的參數(shù)賦值保持一致，分別為c＝20元／單位，p＝50元／單位，D0＝15單位／單位每小時(shí)，α＝0.2，β＝1.5，A＝300元／次k＝0.5，λ＝0.01，θ＝0.01，c1＝1元／單位時(shí)間單位物品，并設(shè)c2＝5元／單位物品單位時(shí)間，可得最優(yōu)廣告投入費(fèi)用u＝13.5424元，最優(yōu)訂貨量Q＝299.5223單位物品，庫(kù)存為零的時(shí)刻t1＝12.4543，一個(gè)周期的最優(yōu)利潤(rùn)π＝5879.90元。

通過(guò)表1，我們可以分析參數(shù)λ和θ對(duì)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零時(shí)刻與最優(yōu)利潤(rùn)的影響。在計(jì)算的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)庫(kù)存引起需求因子θ過(guò)大時(shí)，達(dá)到最優(yōu)利潤(rùn)時(shí)是不允許缺貨的情況（這與實(shí)際情況相符），所以在這里我們只需分析θ較小的情況。隨著變質(zhì)率λ的逐漸增加，最優(yōu)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零的時(shí)刻及一個(gè)周期零售商的利潤(rùn)隨之減少；隨著庫(kù)存引發(fā)需求系數(shù)θ的逐漸增加，最優(yōu)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零的時(shí)刻以及一個(gè)周期零售商的利潤(rùn)隨之增加。

研究表1，在變質(zhì)率λ較小的情況下，庫(kù)存引起需求因子θ對(duì)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)的影響較大，因?yàn)樵讦耍?.01，θ＝0.04時(shí)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)分別是λ＝0.01，θ＝0.01時(shí)的1.379倍和1.288倍，而在λ＝0.04，θ＝0.04時(shí)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)分別是λ＝0.04，θ＝0.01時(shí)的1.329倍和1.250倍。而在庫(kù)存引起需求因子θ較小的情況下，變質(zhì)率λ對(duì)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)的影響較小，因?yàn)棣龋?.01，λ＝0.04時(shí)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)分別是θ＝0.01，λ＝0.01時(shí)的0.779倍和0.8227倍，而在θ＝0.04，λ＝0.04時(shí)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)分別是θ＝0.04，λ＝0.01時(shí)的0.750倍和0.799倍。

表1 參數(shù)λ和θ對(duì)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零時(shí)刻與最優(yōu)利潤(rùn)的影響

4 模型2

這個(gè)模型討論允許缺貨，但部分延期交貨的情況，這里我們假定單位物品的機(jī)會(huì)損失成本為c3。在一定條件下，需求等待的數(shù)量是依賴于已經(jīng)等待的數(shù)量，也就是說(shuō)如果太多顧客都在等待，他也許就不會(huì)等待。

考慮這種情況，利用文獻(xiàn)［8］的假設(shè)，我們可以得到庫(kù)存模型：

解微分方程得：

則得到零售商每次訂貨的訂貨量：

同時(shí)，可以得知一個(gè)周期內(nèi)總銷售量：

以及一個(gè)周期內(nèi)總庫(kù)存費(fèi)用為

一個(gè)周期內(nèi)總的缺貨成本：

以及一個(gè)周期內(nèi)總的機(jī)會(huì)損失成本：

此時(shí)，可以得到一個(gè)周期內(nèi)零售商的利潤(rùn)函數(shù)為：

一個(gè)周期內(nèi)利潤(rùn)達(dá)到最大的必要條件為

算例分析

為了研究延期交貨參數(shù)δ對(duì)最優(yōu)廣告投入、訂貨量、庫(kù)存為零時(shí)刻以及最優(yōu)利潤(rùn)的影響，我們考慮了δ＝0.01，0.02，0.03，0.04；p ＝40，45，50；c2＝4，4.5，5不同情況下的結(jié)果，結(jié)果見(jiàn)表23。

由表2－3，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，廣告投入費(fèi)用以及最優(yōu)利潤(rùn)隨之減少；（2）在銷售價(jià)格較小時(shí)，延期交貨參數(shù)δ對(duì)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)的影響較大；（3）在缺貨成本較小時(shí)，延期交貨參數(shù)δ對(duì)最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤(rùn)的影響較大。

表2 延期交貨參數(shù)δ和銷售價(jià)格p對(duì)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零時(shí)刻與最優(yōu)利潤(rùn)的影響

表3 延期交貨參數(shù)δ和缺貨成本c2對(duì)廣告投入費(fèi)用、訂貨量、庫(kù)存為零時(shí)刻與最優(yōu)利潤(rùn)的影響

5 三個(gè)模型的比較

本文列出表4用以比較這篇論文以及文獻(xiàn)［6］的三個(gè)模型。研究表4，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，最優(yōu)廣告投入費(fèi)用以及最優(yōu)利潤(rùn)逐漸減少；

（2）在延期交貨參數(shù)δ較小的情況下，δ對(duì)最優(yōu)廣告投入與最優(yōu)利潤(rùn)的影響更明顯；

（3）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，允許缺貨并部分延期情況下的廣告投入費(fèi)用和最優(yōu)利潤(rùn)趨向于不允許缺貨時(shí)的結(jié)果。

表4 模型1、模型2以及文獻(xiàn)［6］中的模型的比較

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)允許缺貨條件下易腐商品廣告費(fèi)用與訂貨策略進(jìn)行研究，主要得到以下有意義的結(jié)論：

（1）在允許缺貨并全部延期交貨的情況下，零售商在銷售多種商品時(shí)，對(duì)于變質(zhì)率較小或變質(zhì)率由于某些原因變小的物品，我們通過(guò)調(diào)整貨架位置以及擺放方式來(lái)提高庫(kù)存引起需求因子θ，同時(shí)忽略變質(zhì)率較大的物品以便增加總利潤(rùn)。

（2）在允許缺貨并部分延期的情況下，當(dāng)銷售價(jià)格或缺貨成本較小的時(shí)候，我們應(yīng)關(guān)注延期交貨參數(shù)，以便使得利潤(rùn)穩(wěn)定化。在有條件的情況下，我們可以提高延期交貨參數(shù)，以使利潤(rùn)較大幅度提高。

（3）與文獻(xiàn)［6］不允許缺貨相比，允許缺貨并全部延期交貨情況下零售商投入廣告費(fèi)用將增多，同時(shí)所獲得的利潤(rùn)也將增大。而對(duì)于部分延期的情況，要看延期交貨參數(shù)δ的大小，當(dāng)δ足夠大的情況下，零售商絕不會(huì)允許缺貨情況出現(xiàn)，因?yàn)槔麧?rùn)會(huì)降低。而在δ較小的情況下，零售商可以通過(guò)允許缺貨使自己獲得更多的利潤(rùn)同時(shí)也說(shuō)明了研究允許缺貨情況下易腐商品廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

［1］周永務(wù)，楊善林.Newsboy型商品最優(yōu)廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002，22（11）：59－63.

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