非線性擾動薛定諤耦合系統(tǒng)的沖擊波解

徐 惠, 許永紅, 劉曉偉, 溫朝暉

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030; 2. 蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽 蚌埠 233030)

沖擊波理論在量子物理、 光學(xué)、 流體力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 目前已有很多研究結(jié)果[1-4]. 其中, 使用漸近方法求解沖擊波是一種較新的方法, 它改變了以往單純用數(shù)值模擬討論沖擊波的性態(tài), 而是通過解析理論得到?jīng)_擊波的近似表達(dá)式. 其優(yōu)點(diǎn)在于可以通過漸近表達(dá)式進(jìn)一步用解析運(yùn)算工具對沖擊波性態(tài)進(jìn)行更深入的研究[5-7]. 近年來, 許多漸近方法不斷被改進(jìn)[8-10]. 文獻(xiàn)[11-17]應(yīng)用漸近方法討論了一類非線性問題. 本文用一種改進(jìn)的漸近方法討論一類非線性擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng), 并得到了對應(yīng)沖擊波的近似解. 考慮如下非線性擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng):

其中:u(x,t),v(x,t)為對應(yīng)系統(tǒng)的物理場函數(shù);a為正參數(shù);f,g為擾動項(xiàng), 是在相應(yīng)的變化范圍內(nèi)充分光滑的有界函數(shù). 系統(tǒng)(1)-(2)描述了一類光導(dǎo)纖維等方面的沖擊波傳播系統(tǒng)[18]. 本文用一個簡單的方法得到了系統(tǒng)(1)-(2)的漸近解.

先考慮如下典型的Schr?dinger耦合系統(tǒng):

引入行波變換ξ=x+ct, 其中c為波速. 利用G′/G方法[18]可得系統(tǒng)(3)-(4)具有如下的精確沖擊波解:

其中:σ>0為常數(shù);Ci(i=1,2)為任意常數(shù);

(7)

1 擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng)的近似解

由于非線性耦合系統(tǒng)(1)-(2)一般不能得到初等函數(shù)形式的精確解, 因此為了得到擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng)(1)-(2)沖擊波解的近似表示式, 先引入泛函[6]:

(8)

(9)

(10)

由式(9),(10), 有解

(11)

于是, 由式(8),(11), 可構(gòu)造求解u(x,t)的迭代式:

(12)

再由式(2), 可構(gòu)造求解v(x,t)的迭代式:

(13)

由式(5),(6), 選取初始迭代u0(x,t),v0(x,t)為

(14)

從而, 由式(12),(13)和式(5),(6),(14), 可得系統(tǒng)(1)-(2)的一次近似解:

2 應(yīng)用實(shí)例

為簡單, 考慮一個特殊的擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng), 其擾動項(xiàng)為f(u,v)=εsinu,g(u,v)=εcosv, 其中ε為小參數(shù). 此時(shí)系統(tǒng)(1)-(2)為

由式(5),(6),(14), 選取初始近似u0(x,t),v0(x,t)為

其中B(x,t)由式(7)表示.

由式(12),(13)和式(17),(18), 可得系統(tǒng)(15)-(16)的一次近似解和二次近似解:

繼續(xù)利用同樣的方法可得擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng)(15)-(16)的更高次近似的沖擊波解un app(x,t),vn app(x,t)(n=3,4,…). 也可證明非線性擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng)(15)-(16)的沖擊波解有如下估計(jì)式[19]:u(x,t)=un app(x,t)+O(εn+1),v(x,t)=vn app(x,t)+O(εn+1), 0<ε?1. 因此, 利用本文提出的漸近方法得到的沖擊波近似解具有較好的精確度.

綜上所述, 由于沖擊波理論來源于一類復(fù)雜的自然現(xiàn)象, 因此需要簡化它為基本模型. 本文利用變分迭代理論用一個簡單而有效的方法得到了非線性擾動Schr?dinger耦合系統(tǒng)的沖擊波漸近解. 由漸近方法求解模型的近似解, 不同于單純模擬得到的數(shù)值解. 由于漸近解具有解析形式的結(jié)構(gòu), 因此它還可以進(jìn)行微分、 積分等解析運(yùn)算, 從而進(jìn)一步了解相應(yīng)沖擊波解的更深層性態(tài).

[1] Sirendaoreji J S. Auxiliary Equation Method for Solving Nonlinear Partial Differential Equations [J]. Phys Lett A, 2003, 309(5/6): 387-396.

[2] McPhaden M J, ZHANG Dong-xiao. Slowdown of the Meridional Overturning Circulation in the Upper Pacific Ocean [J]. Nature, 2002, 415: 603-608.

[3] PAN Liu-xian， ZUO Wei-ming， YAN Jia-ren. The Theory of the Perturbation for Landau-Ginzburg-Higgs Equation [J]. Acta Phys Sin, 2005, 54(1): 1-5. (潘留仙, 左偉明, 顏家壬. Landau-Ginzburg-Higgs方程的微擾理論 [J]. 物理學(xué)報(bào), 2005, 54(1): 1-5.)

[4] FENG Guo-lin, DAI Xing-gang, WANG Ai-hui, et al. On Numerical Predictability in the Chaos System [J]. Acta Phys Sin, 2001, 50(4): 606-611. (封國林, 戴興剛, 王愛慧, 等. 混沌系統(tǒng)中可預(yù)報(bào)性的研究 [J]. 物理學(xué)報(bào), 2001, 50(4): 606-611.)

[5] LIAO Shi-jun. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method [M]. New York: CRC Press Co, 2004.

[6] 何吉?dú)g. 工程和科學(xué)計(jì)算中的近似非線性分析方法 [M]. 鄭州: 河南科學(xué)技術(shù)出版社, 2002.

[7] HE Ji-huan, WU Xu-hong. Construction of Solitary Solution and Compacton-Like Solution by Variational Iteration Method [J]. Chaos Solitions & Fractals, 2006, 29(1): 108-113.

[8] Bartier J P. Global Behavior of Solutions of a Reaction-Diffusion Equation with Gradient Absorption in Unbounded Domains [J]. Asymptotic Anal, 2006, 46(3/4): 325-347.

[9] Libre J, Silva P R, Teixeira M A. Regularization of Discontinuous Vector Fields on R3via Singular Perturbation [J]. J Dyn Differ Equations, 2007, 19(2): 309-331.

[10] Guarguaglini F R, Natalini R. Fast Reaction Limit and Large Time Behavior of Solutions to a Nonlinear Model of Sulphation Phenomena [J]. Commun Partial Differ Equations, 2007, 32(2): 163-189.

[11] XU Hui, CHEN Li-hua, MO Jia-qi. Matched Asymptotic Solution to a Class of Singularly Perturbed Thin Plate Bending Problem [J]. Acta Phys Sin, 2011, 60(10): 100201. (徐惠, 陳麗華, 莫嘉琪. 一類奇攝動薄板彎曲問題的匹配漸近解 [J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(10): 100201.)

[12] XU Hui, WEN Zhao-hui, MO Jia-qi. Interior Shock Layer Solution with for a Class of Reaction Diffusion Equations [J]. J of Lanzhou University: Natural Sciences, 2010, 46(5): 93-95. (徐惠, 溫朝暉, 莫嘉琪. 一類反應(yīng)擴(kuò)散方程內(nèi)部沖擊層解 [J]. 蘭州大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 46(5): 93-95.)

[13] XU Yong-hong, WEN Zhao-hui, XU Hui, et al. Solitary Wave Solution for Physical Model of Disturbed Benjamin Equation [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(4): 659-663. (許永紅, 溫朝暉, 徐惠, 等. 擾動Benjamin方程物理模型的孤波解 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2011, 49(4): 659-663.)

[14] XU Hui, XU Yong-hong, LIU Xiao-wei. Asymptotic Solution of Differential Equation in the Transmission Wave of a Laser Pulse Amplifier [J]. J of Anhui Normal University: Natural Science, 2010, 33(6): 551-553. (徐惠, 許永紅, 劉曉偉. 激光脈沖放大傳輸波中微分方程的奇攝動漸近解 [J]. 安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 33(6): 551-553.)

[15] MO Jia-qi. Homotopic Mapping Solving Method for Gain Fluency of a Laser Pulse Amplifier [J]. Science in China: Ser G, 2009, 52(7): 1007-1010.

[16] MO Jia-qi, LIN Su-rong. The Homotopic Mapping Solution for the Solitary Wave for a Generalized Nonlinear Evolution Equation [J]. Chin Phys B, 2009, 18(9): 3628-3631.

[17] MO Jia-qi. Solution of Travelling Wave for Nonlinear Disturbed Long-Wave System [J]. Commun Theor Phys, 2011, 55(3): 387-390.

[18] LI Bang-qing, MA Yu-lan, WANG Cong, et al. Folded Soliton with Periodic Vibration for a Nonlinear Coupled Schr?dinger System [J]. Acta Phys Sin, 2011, 60(6): 060203. (李幫慶, 馬玉蘭, 王聰, 等. 耦合Schr?dinger系統(tǒng)的周期振蕩折疊孤子 [J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(6): 060203.)

[19] Barbu L, Morosanu G. Singularly Perturbed Boundary-Value Problems [M]. Basel: Birkh?user Verlag AG, 2007.