雙邊群Smash余積的半單性

李德勝， 陳全國,王頂國

(1. 魯東大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 山東 煙臺 264025;2. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆 伊寧 835000；3. 曲阜師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 曲阜 273165)

0 引言及預(yù)備知識

作為Hopf代數(shù)的推廣,Virelizier[1]建立了Hopf群余代數(shù). 目前,Hopf代數(shù)中的許多經(jīng)典結(jié)果已經(jīng)推廣到Hopf群余代數(shù)上[2-6]. 作為群Smash余積的推廣,本文引入雙邊群Smash余積的概念,刻畫雙邊群Smash余積的半單性.

假設(shè)k是一個域,π是一個群,其單位元為e. 所有代數(shù)及余代數(shù)均在k上討論. ?k簡記為?. 給定一個向量空間V,用l(或idV)表示V上的恒等映射. Hopfπ-余代數(shù)的概念及性質(zhì)可參考文獻[1-8].

如果H滿足下列條件,則H=({Hα}α∈π,{mα}α∈π,{1α}α∈π,Δ,ε)稱為Hopfπ-余代數(shù),這里εH:He→k(余單位)和Δ={Δα,β:Hα,β→Hα?Hβ}α,β∈π(余乘法)均是k-線性映射：

1) 對任意的α∈π,(Hα,mα,1α)為結(jié)合代數(shù);

2) 余乘法滿足: ① 對任意的α,β,γ∈π(Δα,β?idHγ)°Δαβ,γ=(idHα?Δβ,γ)°Δα,βγ;② 對任意的α,β∈π,Δα,β均是代數(shù)同態(tài);

3) 余單位是代數(shù)同態(tài);

4) 存在一簇k-線性映射S={Sα:Hα→Hα-1}α∈π滿足：對任意h∈He,

mα°(Sα-1?l)°Δα-1,α(h)=εH(h)1α=mα°(l?Sα-1)°Δα,α-1(h).

1)d[0,αβ]?d[1,αβ](1,α)?d[1,αβ](2,β)=d[0,β][0,α]?d[0,β][1,α]?d[1,β];

2)εH([d1,e])d[0,e]=d;

3)εD(d[0,α])d[1,α]=εD(d)1α;

4)d[0,α]1?d[0,α]2?d[1,α]=d1[0,α]?d2[0,α]?d1[1,α]d2[1,α].

類似地,可以定義左π-H-余模余代數(shù).

1 主要結(jié)果

定義1設(shè)(C,lρC)和(D,rρD)分別是左π-H-余模余代數(shù)和右π-H-余模余代數(shù),定義C,H和D的雙邊π-Smash余積C×H×D如下：對所有的c∈C,h∈Hαβ,g∈He及d∈D,一簇向量空間C?H?D={C?Hα?D}α∈π,其余乘法及余單位分別為

Δα,β(c?h?d)=c1?c2(-1,α)h(1,α)?d1[0,β]?c2(0,α)?h(2,β)d1[1,β]?d2,

ε(c?g?d)=εC(c)εH(g)εD(d).

定理1C×H×D是π-余代數(shù).

證明: 結(jié)合π-余代數(shù)的定義,容易驗證結(jié)論成立.

下面假設(shè)C和D均為Hopf代數(shù),其對極分別為SC和SD. 通過計算可得:

定理2設(shè)C為左π-H-余模余代數(shù)和左π-H-余模代數(shù),D為右π-H-余模余代數(shù)和右π-H-余模代數(shù). 雙邊π-Smash余積C×H×D成為Hopfπ-余代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的h∈Hα,c∈C,d∈D,

hc(-1,α)?c(0,α)=c(-1,α)h?c(0,α),hd[1,α]?d[0,α]=d[1,α]h?d[0,α],

定義2設(shè)C和D分別是左π-H-余模余代數(shù)和右π-H-余模余代數(shù). 對任意的m∈M,如果一簇向量空間M={Mα}α∈π滿足下列條件,則稱M為左(C,H,D)-余模:

3)M是左π-H-余模,其余模結(jié)構(gòu)映射為:Mρ={Mρα,β:Mαβ→Hα?Mβ}α,β∈π,Mρα,β(m)=m〈-1,α〉?m〈0,α〉;

4) 對任意的α,β∈π,m∈Mαβ,

設(shè)(C,H,D)M和C×H×DM分別表示左(C,H,D)-余模范疇和左C×H×D-余模范疇. 于是,可建立范疇(C,H,D)M和范疇C×H×DM間的關(guān)系如下:

定理3范疇(C,H,D)M和C×H×DM同構(gòu).

利用定義2中條件4)和5)易得:

引理1設(shè)M為左(C,H,D)-余模,則下列等式成立:

通過計算可得:

由引理1和引理2可得:

則對任意的n∈Nα,有

推論1設(shè)H是一個余半單Hopfπ-余代數(shù),M={Mα}α∈π∈C×HM. 如果N={Nα}α∈π是M的C×H-子余模,且作為左C-余模Ne是Me的直和項,則N視為C×H-余模,也是M的直和項.

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[3] Zunino M. Yetter-Drinfel’d Modules for Crossed Structures [J]. Journal of Pure and Applied Algebra,2004,193(1/2/3): 313-343.

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[8] CHEN Quan-guo,TANG Jian-gang. A Maschke-Type Theorem for Weakπ-Entwined Modules [J]. Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(4): 603-606. (陳全國,湯建鋼. 弱π-纏繞模的Maschke型定理 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版,2012,50(4): 603-606.)