非歐空間中n維Neuberg-Pedoe不等式

楊世國,孫玉婷,卞 革

(1. 合肥師范學(xué)院 教師教育研究中心,合肥 230061;2. 安徽新華學(xué)院,合肥 230088;3. 安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230039)

0 引 言

定義1[11]雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn的n維體積為滿足下式的非負(fù)實(shí)數(shù)V:

(1)

定義2[11]球面空間Sn(1)中n維單形An的n維體積V為滿足下式的最小非負(fù)實(shí)數(shù):

(2)

1 主要結(jié)果

引理1對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,有

(3)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

證明：引用文獻(xiàn)[9]中不等式:

(4)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

由不等式(4)與算術(shù)幾何平均不等式即得不等式(3).

引理2對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,有

(k!Mk)1/k≥(l!Ml)1/l, 1≤k

(5)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

證明：設(shè)單形Bn任意k維子單形的k維體積為Vi(k),其各側(cè)面(k-1維子單形)的k-1維體積為V(i)j(k-1)(j=1,2,…,k+1),應(yīng)用引理1有

即

(6)

即

(k!Mk)1/k≤[(k-1)!Mk-1]1/(k-1).

(7)

由遞推式(7)立即可得不等式(6),易知當(dāng)Bn為正則單形時(shí)式(5)中等號(hào)成立.

引理3[12]對球面空間Sn(1)中n維單形An,有

(k!Nk)1/k≤(l!Nl)1/l, 1≤k

(8)

當(dāng)An為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

在不等式(5)中取l=n,k=1,可得如下n維雙曲單形不等式：

(9)

在不等式(8)中取l=n,k=1,可得如下n維球面單形不等式：

(10)

引理4[9]對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,θ∈(0,1],有

(11)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

引理5[9]對球面空間Sn(1)中n維單形An,θ∈(0,1],有

(12)

當(dāng)An為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

特別地,在引理4中取n=2,對Hn(-1)中2維單形B2(三角形),有

(13)

在引理5中取n=2,對Sn(1)中2維單形A2(三角形),有

(14)

引理6對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,θ∈(0,1],γ∈[2,n],有

(15)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

證明：

其中:

Γ1={(i1,i2,i3);bi1,bi2,bi3為Bn一個(gè)2維子單形(三角形)的三邊};

Γ2={(ip,iq);bip與biq不同為An一個(gè)2維子單形(三角形)的二邊}.

設(shè)集合S的元素?cái)?shù)為|S|,則可知

將式(16)右端第一～三項(xiàng)分別記為σ1,σ2,σ3,利用不等式(13)、 算術(shù)-幾何平均不等式及式(9),得

所以

即不等式(15)成立.

引理7對球面空間Sn(1)中n維單形An,θ∈(0,1],有

(20)

當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

引理7的證明方法類似于引理6,故略.

證明: 記

則

其中

)2≥0.

(23)

利用不等式(15),有

(24)

(25)

由式(22)～(25)即知不等式(21)成立,易知當(dāng)Bn為正則單形時(shí)等號(hào)成立.

利用不等式(21)與算術(shù)-幾何平均不等式,可得雙曲空間Hn(-1)中如下一種n維Neuberg-Pedoe不等式:

推論1條件如定理1所設(shè),則有

(26)

定理2中不等式(27)的證法類似于不等式(21)的證法,故略.

利用不等式(26)與算術(shù)-幾何平均不等式,可得球面空間Sn(1)中如下一種n維Neuberg-Pedoe不等式:

推論2條件如定理2所設(shè),則有

不等式(21)和(27)分別視為雙曲空間與球面空間中n維Chiakuei不等式.

[1] Mitrinovic D S,Pecaric J E,Volence V. Recent Advances in Geometric Inequalities [M]. Dordrecht: Kluwer Acadamic Publishers,1989.

[2] 單墫. 幾何不等式在中國 [M]. 南京：江蘇教育出版社,1996.

[3] YANG Lu,ZHANG Jing-zhong. A Generalization to Several Dimensionals of the Neuberg-Pedoe Inequality with Applications [J]. Acta Math Sinica,1981,24(3): 401-408. (楊路,張景中. Neuberg-Pedoe不等式的高維推廣及應(yīng)用 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1981,24(3): 401-408.)

[4] YANG Lu,ZHANG Jing-zhong. A Generalization to Several Dimensions of the Neuberg-Pedoe Inequality with Applications [J]. Bull Australian Math Sco,1983,27: 203-214.

[5] SU Hua-ming. Two Inequalities for Simplexes [J]. Science Bulletin,1987,32(1): 1-3. (蘇化明. 關(guān)于單形的兩個(gè)不等式 [J]. 科學(xué)通報(bào),1987,32(1): 1-3.)

[6] LENG Gang-song,TANG Li-hua. Some Generalizations to Several Dimensions of the Pedoe Inequality with Application [J]. Acta Math Sinica,1997,40(1): 14-21. (冷崗松,唐立華. 再論P(yáng)edoe不等式的高維推廣及應(yīng)用 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,40(1): 14-21.)

[7] LI Xiao-yan,ZHANG Yao. The Newk-nType Neuberg-Pedoe Inequalities [J]. Taiwanese J Math,2008,12(5): 1177-1189.

[8] LI Xiao-yan,ZHANG Yao. Inequalities for Volumes and Midians of Two Simplexes [J]. Appl Math Letters,2010,23(2): 170-182.

[9] 張晗方. 幾何不等式導(dǎo)引 [M]. 北京：中國科學(xué)文化出版社,2003: 390-397.

[10] YANG Ding-hua. Some Inequalities about Higher Dimension of Non-Euclid Geometric [J]. Science in China Ser A: Mathematics,2006,36(12): 1327-1342. (楊定華. 高維非Euclid幾何的幾個(gè)不等式 [J]. 中國科學(xué)A輯: 數(shù)學(xué),2006,36(12): 1327-1342.)

[11] ZHANG Han-fang. A Class of Geometric Inequalities of Finite Points Sets on a Sphere in the Space of Constant Curvature [J]. Acta Math Sinica,1999,42(5): 859-862. (張晗方. 常曲率空間中共球有限點(diǎn)集的一類幾何不等式 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,42(5): 859-862.)

[12] ZHANG Han-fang. A Class of Geometric Inequalities in Spherical Space [J]. Journal of Mathematical Research and Exposition,2006,26(1): 171-178. (張晗方. 球面空間中的一類幾何不等式 [J]. 數(shù)學(xué)研究與評論,2006,26(1): 171-178.)

[13] YANG Shi-guo,QIAN Di,PAN Juan-juan,et al. Neuberg-Pedoe Inequality in the Spherical Space [J]. Acta Mathematica Scientia,2011,31(5): 1282-1289. (楊世國,錢娣,潘娟娟， 等. 關(guān)于球面空間中Neuberg-Pedoe不等式 [J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2011,31(5): 1282-1289.)

[14] YANG Shi-guo,WANG Wen,PAN Juan-juan,et al. Then-Dimensional Pedoe Inequality in Hyperbolic Space with Applications [J]. Advances in Mathematics,2012,41(3)：347-355. (楊世國,王文,潘娟娟， 等. 關(guān)于雙曲空間中n維Pedoe不等式及應(yīng)用 [J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展,2012,41(3)：347-355.)

[15] YANG Shi-guo,WANG Wen. Generalization ofn-Dimensional Pedoe Inequalities in Euclidean Space and Application [J]. Journal of Jilin University: Science Edition,2011,49(3): 405-408. (楊世國,王文. 歐氏空間中n維Pedoe不等式的推廣及應(yīng)用 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2011,49(3): 405-408.)

[16] YANG Shi-guo. Some Inequalities for Twon-Dimensional Simplexes [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition,2006,33(3): 247-249. (楊世國. 涉及兩個(gè)n維單形的不等式 [J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2006,33(3): 247-249.)