基于地磁梯度的彈丸運(yùn)動(dòng)渦流磁場(chǎng)模型

向 超，卜雄洙，祁克玉

（1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065）

0 引言

利用地磁場(chǎng)來(lái)進(jìn)行導(dǎo)航和姿態(tài)測(cè)試的方法已經(jīng)在航天、航海、機(jī)器人等領(lǐng)域有了長(zhǎng)足的發(fā)展和運(yùn)用［1－3］。目前所有利用地磁來(lái)進(jìn)行彈體姿態(tài)測(cè)量和制導(dǎo)的方法都面臨著背景磁場(chǎng)的干擾問(wèn)題，載體上測(cè)得的地磁場(chǎng)強(qiáng)度的精度對(duì)于導(dǎo)航參數(shù)的計(jì)算影響很大，這導(dǎo)致地磁導(dǎo)航測(cè)姿技術(shù)目前還處于輔助的地位。背景磁場(chǎng)的復(fù)雜性使得載體背景磁場(chǎng)補(bǔ)償成為制約彈上地磁場(chǎng)高精度測(cè)量的瓶頸。如何建立更高效、更精確的載體背景磁場(chǎng)補(bǔ)償方法是當(dāng)前急需解決的問(wèn)題。

就利用地磁參數(shù)來(lái)測(cè)量彈丸姿態(tài)而言，背景磁場(chǎng)的本質(zhì)就是除地磁場(chǎng)分量外的所有干擾磁場(chǎng)。傳統(tǒng)的磁補(bǔ)償方法從地磁傳感器的零位誤差、垂直誤差、靈敏度誤差入手，建立磁傳感器的羅差補(bǔ)償模型，先后出現(xiàn)了泊森（Poisson）公式補(bǔ)償法、橢圓擬合補(bǔ)償法、十二位置補(bǔ)償法、最小二乘補(bǔ)償法等［4］。這些方法只研究了靜態(tài)情況下的載體固定磁場(chǎng)和感應(yīng)磁場(chǎng)的影響，對(duì)動(dòng)態(tài)下的渦流等的影響沒(méi)有進(jìn)行討論，在一定程度上存在局限性，不能滿足旋轉(zhuǎn)彈丸高速飛行過(guò)程中的渦流干擾磁場(chǎng)的補(bǔ)償要求。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基于地磁梯度的彈丸運(yùn)動(dòng)渦流磁場(chǎng)模型。

1 彈丸渦流模型與地磁梯度

1.1 彈丸渦流磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型

彈體的材料多為鐵磁性物質(zhì)，當(dāng)彈體在地磁場(chǎng)空間中做俯仰、偏航和橫滾運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈體外殼形成閉合回路，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，彈體周圍會(huì)產(chǎn)生渦流磁場(chǎng)。彈丸載體在地磁場(chǎng)空間中載體坐標(biāo)系O－xbybzb的定義如圖1所示。

圖1 載體坐標(biāo)系定義Fig.1 Definition of carrier coordinate system

上式中E為渦流磁場(chǎng)模型的渦流參數(shù)矩陣。渦流系數(shù)eij（i＝x，y，z；j＝x，y，z）只與彈體的材料特性、尺寸、磁傳感器安裝位置有關(guān)，只要這些參數(shù)確定，eij就是常數(shù)。從式（1）可以看出，彈丸的背景渦流磁場(chǎng)的大小跟載體坐標(biāo)系三軸上地磁場(chǎng)分量的變化率有關(guān)。

1.2 地磁場(chǎng)梯度模型

地磁場(chǎng)模型是表示地磁場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)的函數(shù)表達(dá)式。人們常用球諧分析方法計(jì)算地磁場(chǎng)的全球模型，例如Taylor多項(xiàng)式模型、Legendre多項(xiàng)式模型、矩諧模型、冠諧模型和Spline函數(shù)模型［6］。根據(jù)地磁場(chǎng)模型的相關(guān)知識(shí)，可知地磁場(chǎng)矢量感應(yīng)強(qiáng)度M在空間中隨緯度方向和高度方向的距離變化而明顯變化，經(jīng)度方向的距離變化沒(méi)有太大的影響，如圖2所示。

圖2 地磁場(chǎng)強(qiáng)度的梯度變化示意圖Fig.2 Schematic diagram of gradient change of geomagnetic field

如圖2所示建立彈體的相對(duì)高度－緯度坐標(biāo)系，設(shè)彈丸發(fā)射點(diǎn)為A（M0）點(diǎn)，此處的地磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為，在高度－緯度坐標(biāo)系中為原點(diǎn) （0，0）。彈丸在飛行過(guò)程中t時(shí)刻的高度－緯度坐標(biāo)為 （xh，xL），在上述坐標(biāo)系中為B（Mt）點(diǎn)，此時(shí)的地磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為。設(shè)地磁場(chǎng)矢量強(qiáng)度的水平梯度為kL，高度梯度為kh，則t時(shí)刻彈丸所在空間地磁場(chǎng)強(qiáng)度可表示為：

其中空間磁場(chǎng)比較均勻，則kL、kh為常數(shù)。

1.3 與飛機(jī)背景磁場(chǎng)的比較

文獻(xiàn)［7］分析了地磁場(chǎng)梯度對(duì)飛機(jī)磁場(chǎng)求解精度的影響分析。但彈體渦流磁場(chǎng)與飛機(jī)渦流磁場(chǎng)相比存在明顯不同：

1）飛機(jī)的磁背景建模是將地磁場(chǎng)和地磁場(chǎng)帶來(lái)的一系列干擾磁場(chǎng)都視為背景磁場(chǎng)，它提高的是航空磁探測(cè)儀器的精度；彈丸的背景磁場(chǎng)補(bǔ)償是針對(duì)除地磁場(chǎng)以外，彈丸動(dòng)態(tài)飛行過(guò)程中的所有干擾磁場(chǎng)，提高的是彈載地磁場(chǎng)的測(cè)量精度。

2）彈丸的實(shí)際飛行軌跡和特點(diǎn)與飛機(jī)的飛行特點(diǎn)有較大差別，尤其在彈丸進(jìn)行高速旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)下，彈丸背景磁場(chǎng)中的渦流磁場(chǎng)比起飛機(jī)來(lái)說(shuō)要復(fù)雜得多。

3）與飛機(jī)相比，彈丸的制作材料大多是鋼，相對(duì)磁導(dǎo)率能達(dá)到1 000，而非鋁合金之類相對(duì)磁導(dǎo)率較低的材料；同時(shí)用于磁性探測(cè)的飛機(jī)平均速度只有100～200m／s，而彈箭的飛行速度能達(dá)到飛機(jī)速度的5～6倍，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的渦流磁場(chǎng)是飛機(jī)的十倍甚至上百倍，對(duì)地磁場(chǎng)的測(cè)量精度影響較大。

4）飛機(jī)體積比較大，干擾磁場(chǎng)的補(bǔ)償可以通過(guò)在適當(dāng)位置安裝傳感器或補(bǔ)償設(shè)備來(lái)實(shí)現(xiàn)，如遠(yuǎn)離飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)和其他電子設(shè)備；彈丸體積有限，且傳感器安裝在指定的空間位置，因此不能采取飛機(jī)上的補(bǔ)償方法。

因此需要根據(jù)彈丸渦流磁場(chǎng)特點(diǎn)，基于地磁場(chǎng)梯度模型對(duì)彈丸進(jìn)行了優(yōu)化研究。

2 考慮地磁場(chǎng)梯度的渦流優(yōu)化模型

根據(jù)圖1所示的載體坐標(biāo)系和姿態(tài)矩陣變換理論［8］，Bbx、Bby、Bbz可用式（3）來(lái)表示。

其中

式（4）中ψ、θ、γ為載體的姿態(tài)角，I為地磁傾角。對(duì)式（4）等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則地磁場(chǎng)M在載體坐標(biāo)系三軸xb、yb、zb上的分量變化率、、可表示為：

將式（5）代入渦流干擾背景場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型式（1），有

式（2）左右兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)有

式（7）中VL為t時(shí)刻彈丸緯度方向速度；Vh為t時(shí)刻彈丸高度方向速度。將上式代入式（6），則有

式（8）為考慮了地磁場(chǎng)梯度的影響后渦流磁場(chǎng)模型的完整表達(dá)式，其中、kL、kh為彈丸飛行區(qū)域的地磁場(chǎng)要素，可根據(jù)地磁場(chǎng)模型（IGRF等）得到；E為彈體的渦流系數(shù)矩陣，與彈體材料的電磁特性和尺寸結(jié)構(gòu)有關(guān)，對(duì)于確定的彈丸是常系數(shù)矩陣；xL、xh為彈體飛行距離，與射程有關(guān)；VL、Vh、θ、ψ、γ為彈體實(shí)際飛行特征參數(shù)。從式（8）可以看出，在地磁要素不變的情況下，地磁梯度對(duì)渦流磁場(chǎng)的影響隨著彈體線速度和姿態(tài)變化率的增大而增大；在飛行線速度和姿態(tài)相同的情況下，地磁梯度對(duì)渦流磁場(chǎng)的影響隨著射程的增大而增加。

對(duì)于常規(guī)武器彈丸背景渦流磁場(chǎng)的研究，由于常規(guī)武器火炮彈丸的射程一般都在幾十公里以內(nèi)，彈丸飛行過(guò)程通常伴隨較高的自轉(zhuǎn)角速度［9］，如榴彈炮等。根據(jù)地磁場(chǎng)模型IGRF，在這個(gè)地域范圍內(nèi)，地磁場(chǎng)矢量的梯度很小，地磁場(chǎng)矢量強(qiáng)度變化率不超過(guò)10－5%。這種情況下認(rèn)為飛行范圍類地磁場(chǎng)矢量強(qiáng)度不變，即＝kL＝kh＝0，此時(shí)有＝E·［f′xf′yf′z］T。此時(shí)渦流背景磁場(chǎng)只與每個(gè)時(shí)刻彈丸的姿態(tài)角和角速度有關(guān)。對(duì)于戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈等大射程彈丸，其飛行過(guò)程跨越的地理區(qū)域比較大，一般可達(dá)幾百到幾千公里，此時(shí)地磁梯度的變化就比較明顯，不能將 Mt′簡(jiǎn)單地忽略為零，必須按照式（8）來(lái)計(jì)算。由于此類彈丸的飛行特點(diǎn)是姿態(tài)比較穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)很大的自轉(zhuǎn)角速度，所以這種情況下的彈丸載體渦流干擾磁場(chǎng)主要是受地磁場(chǎng)梯度的影響。

3 誤差分析與數(shù)值分析

3.1 地磁梯度對(duì)渦流磁場(chǎng)補(bǔ)償精度和姿態(tài)角測(cè)量精度的影響

利用測(cè)量地磁場(chǎng)在彈體坐標(biāo)系內(nèi)三軸分量來(lái)解算姿態(tài)角時(shí)，渦流干擾背景磁場(chǎng)會(huì)引起傳感器測(cè)量誤差ΔB，進(jìn)而照成姿態(tài)角的測(cè)量誤差。在只考慮渦流磁場(chǎng)干擾的情況下，載體上磁傳感器的檢測(cè)到的周圍磁場(chǎng)可表示為：

在利用磁傳感器的輸出進(jìn)行姿態(tài)角的解算前，必須通過(guò)補(bǔ)償，將中渦流干擾磁場(chǎng)去掉。定義渦流磁場(chǎng)的補(bǔ)償效率為：

根據(jù)函數(shù)誤差傳遞理論［9］和地磁測(cè)姿原理，當(dāng)已知轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉角θ時(shí)，其余兩角ψ、γ的測(cè)量誤差為

3.2 數(shù)值仿真分析

地球表面任一點(diǎn)的地球磁場(chǎng)參數(shù)都可由地磁場(chǎng)模型IGRF11計(jì)算得到［10］，利用IGRF11模型和MATLAB軟件仿真分析地磁梯度對(duì)渦流磁場(chǎng)補(bǔ)償精度和姿態(tài)角測(cè)量精度的影響。以射程在500km以內(nèi)，彈道高度在1萬(wàn)m以下的彈體為例，如圖3所示以南京地區(qū)東經(jīng)119°、北緯32°為彈丸發(fā)射點(diǎn)O，以初始射角60°發(fā)射，20s到達(dá)高空1萬(wàn)m處的A點(diǎn)，之后經(jīng)過(guò)300s平飛到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)D點(diǎn)，途經(jīng)B、C兩點(diǎn)。

圖3 仿真彈道平面示意圖Fig.3 Plan sketch of the simulation trajectory

在仿真中，彈丸滾轉(zhuǎn)角速度為10r／s，偏航角30°不變，俯仰角OA段為60°，OE段保持0°不變。根據(jù)IGRF11地磁場(chǎng)模型，得到發(fā)射點(diǎn)O點(diǎn)處地磁矢量強(qiáng)度為49 549nT，計(jì)算得到 A、B、C、D四點(diǎn)處的地磁矢量強(qiáng)度水平梯度和垂直梯度如表1所示。

表1 測(cè)量點(diǎn)地磁場(chǎng)梯度Tab.1 Magnetic field gradient at measuring point

表2給出了利用MATLAB仿真的考慮地磁場(chǎng)梯度和不考慮地磁場(chǎng)梯度情況下的渦流磁場(chǎng)的補(bǔ)償效率和經(jīng)過(guò)渦流補(bǔ)償后的姿態(tài)角結(jié)算誤差。姿態(tài)角解算是利用已知的俯仰角θ和磁傳感器輸出來(lái)計(jì)算其余兩角ψ、γ。

表2 數(shù)值仿真結(jié)果Tab.2 Magnetic field gradient at measuring point

從表2可以看出考慮地磁場(chǎng)梯度以后的渦流補(bǔ)償效率和姿態(tài)角解算精度明顯高于不考慮地磁場(chǎng)梯度時(shí)的結(jié)果。在同樣的仿真條件下（線速度和姿態(tài)變化率相同），隨著彈丸跨越地域范圍的增加（飛行緯度和高度的增加），地磁場(chǎng)梯度對(duì)渦流磁場(chǎng)的影響也會(huì)增大，渦流補(bǔ)償效率和姿態(tài)角精度會(huì)降低。當(dāng)彈丸飛行跨度達(dá)到幾千公里時(shí)，地磁場(chǎng)梯度的影響將會(huì)導(dǎo)致地磁定姿方法的可靠性大大降低。在工程運(yùn)用中，需要根據(jù)實(shí)際情況，利用地磁場(chǎng)梯度模型和優(yōu)化的渦流磁場(chǎng)模型提高地磁定姿的可靠性。

4 結(jié)論

本文提出了考慮地磁場(chǎng)梯度下的彈體運(yùn)動(dòng)渦流磁場(chǎng)模型。該優(yōu)化模型結(jié)合彈體渦流磁場(chǎng)與地磁梯度的特點(diǎn)，闡明了運(yùn)動(dòng)渦流磁場(chǎng)與彈體飛行參數(shù)、地磁場(chǎng)矢量強(qiáng)度和地磁梯度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，完整地體現(xiàn)了影響彈體渦流磁場(chǎng)的因素。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，不考慮地磁場(chǎng)梯度會(huì)造成渦流補(bǔ)償效率和姿態(tài)角解算精度的降低，且隨著彈體飛行跨越地理范圍的增大，其誤差也增大。本文提出的模型有效可靠，可用于彈體背景磁場(chǎng)的補(bǔ)償研究。實(shí)際工程運(yùn)用中，需根據(jù)具體情況，利用優(yōu)化的渦流磁場(chǎng)梯度模型來(lái)提高地磁定姿的可靠性。

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