一個(gè)矩陣多項(xiàng)式求逆問題的推廣

袁 力,姜 琴

(1.鄖陽師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰 442000; 2.鄖陽師范高等專科學(xué)校 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖北 十堰 442000)

一個(gè)矩陣多項(xiàng)式求逆問題的推廣

袁 力1,姜 琴2

(1.鄖陽師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰 442000; 2.鄖陽師范高等?？茖W(xué)校 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖北 十堰 442000)

矩陣求逆是高等代數(shù)研究的重要問題，建立在此基礎(chǔ)上的矩陣多項(xiàng)式求逆問題，因其復(fù)雜靈活的形式而成為一個(gè)研究難點(diǎn).從一個(gè)二次矩陣多項(xiàng)式的求逆問題出發(fā)，運(yùn)用逆矩陣定義、多項(xiàng)式互素、線性方程組理論給出了該問題的三種解法，并通過第三種方法進(jìn)一步推得了此類矩陣多項(xiàng)式的求逆公式.

矩陣多項(xiàng)式；逆矩陣；多項(xiàng)式互素

0 引言

判斷一個(gè)矩陣是否可逆以及如何求其逆在高等代數(shù)的教材中已經(jīng)有了初步的介紹，但由于矩陣展現(xiàn)形式眾多，不同特點(diǎn)矩陣逆的求法至今仍是一個(gè)研究熱點(diǎn).2002年黃光鑫從伴隨矩陣角度出發(fā)得到了一種求可逆陣的新方法.[1]2005鄧義華給出了循環(huán)矩陣求逆的兩個(gè)簡便方法.[2]2008年邵逸民對幾類特殊矩陣的可逆性及其逆矩陣進(jìn)行了研究并得到了一些有價(jià)值的結(jié)論.[3]2011年徐蘭對矩陣求逆的方法進(jìn)行了歸納，并給出了十四種逆矩陣的求法，是此類問題的一次較為系統(tǒng)的總結(jié).[4]

1 主要結(jié)論

矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣是逆矩陣問題的最直接延伸，也是高等代數(shù)中一類常見且非常重要的問題，但直接運(yùn)用上述逆矩陣的求法來解決矩陣多項(xiàng)式的求逆問題往往很繁瑣并且需要一定的變換技巧，那么如何才能更有效地解決此類問題呢？下面我們從一個(gè)矩陣多項(xiàng)式的求逆問題出發(fā)，來對此類問題的有效解法展開討論.

例1 設(shè)A為n階方陣，且A3=2E，B=A2-2A+2E，求B-1.

解：方法一:因B=A2-2A+2E=A2-2A+A3=A(A+2E)(A-E),由A3=2E可得

(1)

又因?yàn)锳3+8E=10E,則(A+2E)(A2-2A+4E)=10E.

(2)

再由E=A3-E=(A-E)(A2+A+E)，

可得(A-E)-1=A2+A+E.

(3)

由(1)、(2)、(3)式可得

B-1=[A(A+2E)(A-E)]-1

=(A-E)-1(A+2E)-1A-1

方法一通過對矩陣多項(xiàng)式B進(jìn)行因式分解，然后運(yùn)用逆矩陣的定義分別求出每一個(gè)因子的逆，進(jìn)而獲得B-1.但并不是所有多項(xiàng)式都能在定義的數(shù)域上進(jìn)行因式分解，即使能夠進(jìn)行，用定義來求每一因子的逆也不是一件容易的事情，所以方法一只適用于特定條件下矩陣多項(xiàng)式的求逆問題.

由文獻(xiàn)[5-6]所得的結(jié)論，可以給出例1的另一種解法.

定理1 設(shè)A為n階矩陣，C為復(fù)數(shù)域，f(x),g(x)∈C[x]且f(A)=0,則g(A)可逆的充分條件是(f(x),g(x))=1;若存在u(x),v(x)∈C[x],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,則g(A)-1=v(A).

上述結(jié)論提供了一種判斷矩陣多項(xiàng)式是否可逆及求逆的方法，下面利用該定理對例1進(jìn)行求解.

方法二：設(shè)f(x)=x3-2，g(x)=x2-2x+2,則f(A)=0,利用輾轉(zhuǎn)相除法

可知

(f(x),g(x))=(x3-2,x2-2x+2)=1，

使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

故由定理1可知B=g(A)=A2-2A+2E可逆

對于矩陣多項(xiàng)式的求逆問題,文獻(xiàn)[7-8]也做了一些有益的探索并提出了一些有價(jià)值的結(jié)論:已知n階方陣A滿足n次多項(xiàng)式，若可逆矩陣xA+yE的逆滿足n-1次多項(xiàng)式，可以把xA+yE的逆先設(shè)出來，然后通過逆矩陣的定義結(jié)合待定系數(shù)的方法來確定矩陣多項(xiàng)式的逆；若n階方陣A滿足n次多項(xiàng)式，但是A的k次冪多項(xiàng)式的逆不是n-k次多項(xiàng)式，則需要把A改寫為n-1次多項(xiàng)式，此時(shí)A的k次冪多項(xiàng)式的逆必為n+1-k次多項(xiàng)式．

遺憾的是，上述結(jié)論作者只做了定性的描述,并沒有給出嚴(yán)密的邏輯證明,這給其應(yīng)用帶來了一定的困難.[7-8]下面對上述工作進(jìn)行完善并給予證明，同時(shí)應(yīng)用所得結(jié)果給出例1的第三種解法.

定理2 若n階矩陣A滿足A3-KE=0，矩陣B滿足B=A2+mA+nE,其中m,n,k滿足n3+k2+m3k-3mnk≠0,記d=n3+k2+m3k-3mnk，則B可逆，且有表達(dá)式：

B-1=d-1[(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E].

證明：因A3=KE，則A4-kA=0.

設(shè)B-1=x1A2+x2A+x3E,

由定義可知BB-1=E,

即(A2+mA+nE)(x1A2+x2A+x3E)=E,

利用已知條件化簡，可得

(x3+x2m+x1n)A2+(x1k+x2n+x3m)A+(x1mk+x2k+x3n)E=E.

由等式左右兩邊同次項(xiàng)系數(shù)相等，可得方程組

簡記為AX=B,當(dāng)|A|≠0時(shí)，方程組有唯一解

且|A|=n3+k3+m3k-3mnk=d≠0.

故方程組的解為

由此可得

B-1=d-1[(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E].

定理2提供了一種求一類矩陣多項(xiàng)式逆矩陣的新方法，只要多項(xiàng)式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)滿足定理?xiàng)l件，就可以很方便地判斷其是否可逆并求得逆矩陣.下面運(yùn)用該定理對例1進(jìn)行求解.

方法三：已知m=-2,n=2,k=2，則d=n3+k2+m3k-3mnk=20≠0.

從而

例2 已知n階方陣A滿足A3=5E，B=A2+3A-2E，試討論B是否可逆，若可逆并求B-1.

解：已知m=3,n=-2,k=5，則d=n3+k2+m3k-3mnk=242≠0.

故B可逆且

對于二次矩陣多項(xiàng)式的求逆問題,與前兩種方法繁瑣的變換過程及較為復(fù)雜的計(jì)算相比,只要系數(shù)滿足定理?xiàng)l件,代入求逆公式即可獲得結(jié)果.定理2為此類矩陣多項(xiàng)式求逆提供了一種一般且易于推廣的解決方法.

[1] 黃光鑫.一種關(guān)于求可逆矩陣的新方法[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2002(1):35-36.

[2] 鄧義華.一類矩陣的逆矩陣和特征值問題[J]．洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(2):33-34.

[3] 邵逸民.幾類特殊矩陣的可逆性及其逆矩陣[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008(12):5-6.

[4] 徐 蘭.也談矩陣逆的求法[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào),2011(2):126-127.

[5] 吳華安.矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的求法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004(4):89-91.

[6] 王新哲.關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣求法的一個(gè)注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007(5):170-172.

[7] 趙曉萍. 矩陣多項(xiàng)式的逆[J].吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),1999(3):9-10.

[8] 楊春艷.對矩陣多項(xiàng)式求逆的兩點(diǎn)研究[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2010(8):113-114.

[責(zé)任編輯鄧杰]

AGeneralizationofaMatrixPolynomialInversion

YUAN Li1, JIANG Qin2

(1.Mathematics and Finance-Economics Department of Yunyang Teachers′ College, Shiyan Hubei 4442000; 2. Computer Science Department of Yunyang Teachers′ College, Shiyan Hubei 4442000, China)

An important study of higher algebra is matrix inversion, on the base of which is matrix polynomial inversion, which is a difficulty because of its complex and changeable forms. Starting from a inversion of quadric matrix polynomial, three resolutions are given by the way of the definition of inverse matrix, polynomial coprime and theory on the linear system of equations and the inverse formula of the polynomial matrix is generalized by the third resolution.

matrix polynomial; inverse matrix; polynomial coprime

2012-06-18

湖北省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目“貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用研究”(B20126001)；鄖陽師范高等專科學(xué)校教研基金項(xiàng)目“高等代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的深化與實(shí)踐”(2012007)；鄖陽師范高等專科學(xué)?？蒲谢痦?xiàng)目“貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用”(2011B06)

袁 力(1977—)，男，湖北十堰人.講師，碩士，主要從事代數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)模型研究.

O151

A

1674-5248(2013)05-0015-03