歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽?？平M試題的最優(yōu)分類*

王積建 ，陳笑緣，茹永梅

（1．浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325027；2．浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310053）

截止2011年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已成功舉辦了 20年．由于賽題質(zhì)量是競賽成功舉辦的關(guān)鍵因素之一，所以通過對賽題質(zhì)量進(jìn)行綜合評價和分析，篩選出優(yōu)質(zhì)賽題，提煉出影響賽題質(zhì)量的指標(biāo)體系，對于指導(dǎo)今后的命題工作具有十分重要的意義．

針對全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題質(zhì)量的綜合評價問題，在過去20年間從來沒有研究過． 本課題組受全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會委托，對專科組的24個賽題進(jìn)行了質(zhì)量評價．首先建立了綜合評價指標(biāo)體系，然后通過向有關(guān)專家和競賽指導(dǎo)老師、參賽學(xué)生發(fā)放問卷，獲得評價指標(biāo)的相對重要性數(shù)據(jù)和賽題質(zhì)量分?jǐn)?shù)．最后通過建立綜合評價模型，得到了24個賽題的綜合評價值及其排序． 但由于這些排序結(jié)果并不能直接顯示哪些賽題屬于“優(yōu)”，哪些賽題屬于“良”，也就無法將這些賽題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貧w類，因而無法概括提取優(yōu)質(zhì)賽題的特征． 鑒于此，本文在綜合評價的基礎(chǔ)上，使用費(fèi)歇爾（Fisher）最優(yōu)分割法對這些賽題進(jìn)行最優(yōu)分類，為總結(jié)提煉優(yōu)質(zhì)賽題的特征做準(zhǔn)備．

1 費(fèi)歇爾最優(yōu)分割法簡介[1-4]

設(shè)有序樣品依次為 X1,X2,...,Xn（Xi為m維向量）．

用D(i,j)表示這一類的直徑，常用的直徑有：

當(dāng)1m=時，也可以定義直徑為：

其中X%G是該類數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)或眾數(shù)．

2）定義分類的損失函數(shù)．用 b(n,k)表示將n個有序樣品分為k類的某一種分法．常記分法b(n,k)為：

定義上述分類法的損失函數(shù)為

4）最優(yōu)解的求法．首先找分點(diǎn)jk，使得（6）式達(dá)到極小，即

然后找分點(diǎn)jk-1，使它滿足

5）分類數(shù)k的確定方法

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 分類對象

以歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）?？平M試題為分類對象．選取了從1999年專科組獨(dú)立于本科組競賽以來，截止2010年的12年的C、D題，一共24個賽題，以X1～X24表示．

計算出24個賽題的綜合評價值，并按照綜合評價值從大到小排序，結(jié)果如表1的第3、4列所示．綜合評價值越大，表示賽題質(zhì)量越好．

為了使用最優(yōu)分割法對這些賽題進(jìn)行有序分類，將所有賽題按照綜合評價值從大到小的順序重新排列，形成有序樣品 B1～B24，見表2．排序靠前的賽題質(zhì)量較好.

2.2 分類過程和結(jié)果

1）計算直徑．由于樣品指標(biāo)的維數(shù)m=1，所以使用（3）式計算直徑，其中GX%是該類樣品評價值的均值，按照（1）式直徑的計算結(jié)果見表3（使用MATLAB軟件編程計算）．

4）確定最優(yōu)分類.將24個賽題分為7類，結(jié)果見表6．

考慮到本文的研究目的是將這些 24個賽題的質(zhì)量分出等級，以便于能對今后的命題具有指導(dǎo)意義. 若劃分過細(xì)，則不利于提煉類特征. 因此，將其劃分為5個等級，即優(yōu)、較優(yōu)、中、較差、差這5個等級；或者劃分為3個等級，即優(yōu)、中、差這3個等級．

以上3種分類結(jié)果匯總見表2，將其分類結(jié)果標(biāo)示在原賽題上，結(jié)果見表1的第6、7、8列．

表1 所有24個賽題的綜合評價結(jié)果及排序

表2 有序樣品及其綜合評價值

表3 直徑D(i , j)的計算結(jié)果（乘以10000）

表4 最小分類損失函數(shù)L[b*(l , k)]的計算結(jié)果(乘以10000)

表5 與最小分類損失函數(shù)L[b*(l , k)]相對應(yīng)的分點(diǎn)

圖1 損失函數(shù)L[b*(n , k)] (乘以10000)隨k變化的趨勢

表6 將24個賽題分為7類的分類結(jié)果

2.3 分類結(jié)果檢驗(yàn)

以劃分7類為例．令yi=xBi-xBi+1,i=1 ,2,...,23，其中xBi表示有序樣品Bi的綜合評價值，yi表示有序樣品 Bi與的綜合評價值的一階差分值．將yii=1,2,...,23）用圖形表示出來，如圖2所示（橫坐標(biāo)表示B1～B23，縱坐標(biāo)表示一階差分值 yi）．

從圖2可以看出，B1與 B2差距很大，B5與 B6差距很大，B6與B7差距很大，B7與B8差距很大，B10與B11差距很大，B12與B13差距很大，B17與B18差距很大，B19與B20差距很大，B21與B22差距很大，故他們每之間應(yīng)當(dāng)成為分界點(diǎn)，這樣一來就要分為9類．由于分類數(shù)的限制，必須減少2類．

將 B1～B24的綜合評價值用圖形表示出來，如圖3所示（橫坐標(biāo)表示 B1～B24，縱坐標(biāo)表示綜合評價值）．

從圖3可以看出，在B6與B7，B10與B11，B19與B20這三者的落差中，B5與B8之間的落差最大，這里必須截斷，否則類內(nèi)離差平方和必然增大，故將B6B7,B合并為一類可以達(dá)到截斷的目的．而B10與B11、B19與B20可以融入所在類別之中，恰好分為7類．

圖2 B1～B23的一階差分值

圖3 B1～B24的綜合評價值的變化趨勢

綜上所述，最優(yōu)分割法得到的分類結(jié)果是符合實(shí)際的.

[1] 方開泰．有序樣品的一些聚類方法[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1982，5（1）：94-101．

[2] 高惠璇．應(yīng)用多元統(tǒng)計分析[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2005：253-255．

[3] 張世英，黃違洪．最優(yōu)分割法的適用性及一類有序樣品的聚類方法[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1987，10（2）：138-144．

[4] 王鶴春，王家斌．基于主成分分析與最優(yōu)分割理論對實(shí)習(xí)成績綜合評定的研究與分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（12）：21-26．

[5] 彭志行，鮑昌俊，趙楊，等．加權(quán)馬爾可夫鏈在傳染病發(fā)病情況預(yù)測分析中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39（27）：92-99．

[6] 趙欣，鄒良超，倪林．基于有序聚類的模糊加權(quán)馬爾可夫模型在降雨預(yù)測中的應(yīng)用[J]．江西農(nóng)業(yè)學(xué)報，2009，21（2）：110-113．