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    平方差公式與完全平方公式的一場爭論

    2013-11-26 05:37:22趙國瑞
    關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式別吵平方差

    趙國瑞

    在整式乘法的王國有兩兄弟:平方差公式和完全平方公式.一天,兩人閑來無事聚到一起,突然冒出了一起行走江湖的念頭.兩人談得很興奮,但到最后卻為誰來做“老大”發(fā)生了爭執(zhí).兩人互不相讓,各執(zhí)一詞,都認(rèn)為自己做“老大”是理所當(dāng)然的.他們爭得面紅耳赤,不可開交.最后沒辦法,只好去找乘法公式大伯來評判.大伯聽明白兩人的來意后皺了皺眉頭,大聲說道:“既然你們都認(rèn)為自己該做‘老大,那么你們分別說說自己有什么過人之處吧.”

    平方差公式首先站起來說道:“我的形象好呀,你看,我的左邊是兩個二項(xiàng)式的積,在這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù),右邊是完全相同項(xiàng)的平方減去符號相反項(xiàng)的平方.”

    完全平方公式毫不示弱:“我的形象不比你遜色,我的左邊是一個二項(xiàng)式的完全平方,右邊是一個二次三項(xiàng)式,其中(首末)兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的平方,中間一項(xiàng)是二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍.”

    乘法公式大伯說:“別吵!別吵!光形象好還不夠,要有真本事才行!”

    平方差公式說:“這個我可不含糊,只要符合‘兩數(shù)和與兩數(shù)差相乘的形式,就可用我平方差公式解決.如計(jì)算(xy+1)(xy-1)直接運(yùn)用平方差公式,得(xy+1)(xy-1)=(xy)2-12=x2y2-1.”

    完全平方公式說:“只要符合‘兩數(shù)和(或差)的平方的形式,就可用我完全平方公式搞定,如計(jì)算(4x-3y)2,直接運(yùn)用完全平方公式,得(4x-3y)2=(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2.”

    ……

    平方差公式與完全平方公式爭論不休.

    乘法公式大伯:“別爭了,其實(shí)你們本是一家人,都可由公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(*)得到.在公式(*)中,若令p=y,q=-y,就得到平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2;在公式(*)中,若令p=q=y,就得到兩數(shù)和的平方公式(x+y)2=2x+2xy+y2,若令p=q=-y,就得到兩數(shù)差的平方公式(x-y)2=x2-2xy+y2.

    有些問題單獨(dú)用你們兩個公式都可以解決,如x+y=5,且x-y=1,則xy=_____.

    解法1:由完全平方公式,得(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2.

    ∴(x+y)2-(x-y)2=4xy,即52-12=4xy.∴xy=6.

    解法2:在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,令a=x+y,b=x-y,得2x·2y=(x+y)2-(x-y)2,即4xy=52-12.∴xy=6.

    有些問題需要你們兩個公式合作才能解決,如計(jì)算[(x+2)(x-2)]2,先由平方差公式,得 (x2-22)2=(x2-4)2.再由完全平方公式,得(x2)2-2·x2·4+42=x4-82+16.

    再如計(jì)算:(2x+y+z)(2x-y-z),先由平方差公式,得[(2x+(y+z)][(2x)-(y+z)]=(2x)2-(y+z)2.再由完全平方公式,得4x2-(y2+2yz+z2)=4x2-y2-2yz-z2.

    乘法公式大伯接著說道:“你們兩個都有各自的特點(diǎn),是乘法公式的重要組成部分,你們應(yīng)該取長補(bǔ)短,齊心協(xié)力為數(shù)學(xué)王國作貢獻(xiàn),我勸你們不要再爭什么‘老大了!”

    平方差公式和完全平方公式深深地向乘法公式鞠了一躬,齊聲說道:“謝謝大伯的點(diǎn)撥!”兩兄弟握手言和,重歸于好,各自充滿信心地朝著自己的工作崗位走去……

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