多級混合式行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性分析

□譚昕

江漢大學(xué) 機(jī)電與建筑工程學(xué)院 武漢 430056

海上鉆井平臺(tái)的重要部件之一是升降機(jī)構(gòu)中的大傳動(dòng)比、多級混合式行星齒輪減速箱，該減速箱傳遞的扭矩在百萬?！っ滓陨?，工作壽命通常為數(shù)百小時(shí)，它的動(dòng)態(tài)特性對整個(gè)升降機(jī)構(gòu)的工作壽命和穩(wěn)定性有著重要的影響。本文通過有限元方法在ADAMS環(huán)境中構(gòu)建了多級混合式行星齒輪減速箱的多體動(dòng)力學(xué)模型，并將柔性體零件（如齒圈、太陽輪、行星輪等）的變形影響考慮其中，通過仿真分析，研究了齒輪箱主要零部件的靜態(tài)強(qiáng)度和嚙合過程中的動(dòng)態(tài)嚙合力，為該型齒輪箱的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有效的分析依據(jù)。

1 行星齒輪系統(tǒng)的有限元建模方法

如圖1所示為某型海上石油鉆井平臺(tái)升降機(jī)構(gòu)中多級混合式行星齒輪減速箱的傳統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖，其中包含的各級齒輪的參數(shù)見表1。

本文運(yùn)用20節(jié)點(diǎn)的3D六面體單元對彈性體齒圈進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，并把輪齒間的接觸方式視作線接觸，接觸線上各有限單元具有獨(dú)立的剛度系數(shù)K（Mi），把接觸點(diǎn)上的當(dāng)量法向變形量 δe（Mi）作為輪齒的輪廓變形量。行星輪和太陽輪由于直徑較小，其相應(yīng)的彈性變形遠(yuǎn)比齒圈的變形小，故而將行星輪和太陽輪視作剛體，并用下標(biāo)j來表示行星輪的動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)。單個(gè)行星輪系的參照系設(shè)置如圖2所示。

根據(jù)圖2所示參照系確定各行星輪的旋量計(jì)算公式為［1］：

▲圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

式中：Oj表示第j個(gè)行星輪的回轉(zhuǎn)中心；｛τj｝表示第j個(gè)行星輪的旋量，表示｛τj｝的平動(dòng)分量；ωj表示｛τj｝ 的轉(zhuǎn)動(dòng)分量；Sj、Tj、Zj分別代表行星輪動(dòng)系的 3 個(gè)坐標(biāo)方向；vj、wj、uj分別表示 3 個(gè)平動(dòng)自由度；φj、ψj、θj分別表示3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。圖3所示為有限單元?jiǎng)澐值哪Ｐ汀?/p>

如圖3所示，齒圈有限元模型所包含的每一個(gè)3D Brick單元之間的矩形結(jié)合面在有限單元發(fā)生變形時(shí)仍被視作始終保持平直，根據(jù)式（1），此時(shí)每個(gè)結(jié)合面的旋量公式可表達(dá)為［2］：

▲圖2 行星輪系的參照系設(shè)置

▲圖3 有限單元?jiǎng)澐帜Ｐ?/p>

表1 行星齒輪傳動(dòng)鏈的幾何參數(shù)

式中：Nck表示結(jié)合面的中心節(jié)點(diǎn)。

被視作彈性體的輪齒在發(fā)生相互接觸時(shí)，接觸線上的有限單元采取統(tǒng)一的計(jì)算公式來計(jì)算嚙合時(shí)各單元的變形和載荷。若以xfi表示齒圈上第i個(gè)有限單元的位移向量，則齒圈的線性動(dòng)力學(xué)方程可以表示為［3］：

式中：ffi表示該有限單元體上承受的外載荷；Mffi表示有限單元體的質(zhì)量矩陣；Kffi表示有限單元體的剛度矩陣；Cffi表示有限單元體的阻尼矩陣，三者之間的關(guān)系為：

如果有限單元體是固結(jié)于參照系的，則xfi沒有剛體自由度，此時(shí)Kffi和Mffi都是正定的，只有動(dòng)系中的有限單元具有剛體自由度。用向量xri表示輪齒宏觀運(yùn)動(dòng)中的小位移，在二維模型中，xri有3個(gè)分量，在圖2所示參照系中，由于每個(gè)齒輪的平動(dòng)被約束了，則只有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θi，因此可得到如下矩陣方程：

式（5）可通過線性迭代方法計(jì)算，計(jì)算結(jié)果用于確定齒圈的變形，方程計(jì)算出的接觸力也可用于后續(xù)齒面變形量和應(yīng)力的計(jì)算。將該計(jì)算步驟進(jìn)行循環(huán)，可以計(jì)算出接觸區(qū)全部有限單元體的變形量及應(yīng)力。

第一級行星傳動(dòng)中太陽輪與行星輪之間的嚙合剛度變化可以從有限單元分析中獲得。設(shè)太陽輪傳遞的扭矩為Ts，傳遞誤差函數(shù)為us=rsθs，則嚙合剛度可表示為Ks=Ts/（rsus），在一個(gè)嚙合周期內(nèi)將上述計(jì)算步驟循環(huán)若干次，則嚙合剛度變化曲線如圖4所示。

2 多級混合式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真方法

▲圖4 嚙合剛度變化曲線

對于多級齒輪傳動(dòng)，通常把可視為剛體的部件，如軸、軸承等，放在Pro/E等通用三維建模軟件中直接進(jìn)行數(shù)字化建模。而視作彈性體的部件，如太陽輪、齒圈和齒輪箱體等，則在Pro/E中建模后，以IGES格式文件導(dǎo)入ANSYS軟件中，用3D 20節(jié)點(diǎn)Brick單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，添加材料屬性后，獲得有限元模型。該有限元模型可導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)的位置矩陣、剛度矩陣，再將這些矩陣數(shù)據(jù)導(dǎo)入ADAMS軟件中。在ADAMS軟件中，將Pro/E生成的剛體部件和有限元生成的彈性體部件裝配成三維剛-柔混合多體動(dòng)力學(xué)模型，再將力約束、位移約束等邊界條件施加于這個(gè)混合多體動(dòng)力學(xué)模型［4］。整個(gè)建模流程如圖5所示，獲得的齒輪箱三維裝配體模型如圖6所示。

ADAMS軟件自帶了一些計(jì)算函數(shù)，本文選擇實(shí)體-實(shí)體函數(shù)來仿真接觸部件間的沖擊過程，該函數(shù)表示如下：［5］

式中：Step（q，q0-q，1，q0，0）表示跳躍函數(shù)；q0表示接觸部件之間的初始距離；q表示兩部件在傳動(dòng)過程中的實(shí)際距離；q0-q表示每個(gè)部件的變形量，當(dāng)q≥q0,意味著沒有沖擊發(fā)生，此時(shí)式（6）的值為 0；當(dāng) q＜q0，則意味著碰撞發(fā)生了。

仿真中各部件的材料取為鋼材，泊松比為0.29，彈性模量為207 GPa。 多級混合式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的最大輸入角速度選為1 164 r/min，最大輸入扭矩為691 N·m，最大輸出角速度為0.207 r/min。用ADAMS軟件中的跳躍函數(shù) Step （x，Begin，Initial Value，End，F(xiàn)inal Value）來仿真外載荷加載過程，在0.2 s內(nèi)，輸入軸由0加速至1 164 r/min。

3 仿真結(jié)果分析

▲圖5 多體動(dòng)力學(xué)模型建模流程

▲圖6 齒輪箱的三維裝配體模型

▲圖7 系統(tǒng)輸入、輸出角速度曲線

▲圖8 輸入軸齒輪嚙合力波動(dòng)曲線

▲圖9 輸出軸齒輪嚙合力波動(dòng)曲線

如圖7所示，在0.2～0.8 s內(nèi)，輸入軸的角速度幾乎恒定，其均值為1 164 r/min，而相應(yīng)的輸出軸轉(zhuǎn)速為0.207 r/min，這說明在該時(shí)間范圍內(nèi)，整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)按照給定傳動(dòng)比穩(wěn)定運(yùn)行。

圖8、圖9所示為作用于輸入和輸出軸齒輪上的嚙合力。 在0～0.2 s內(nèi)，傳動(dòng)鏈處于加速狀態(tài)，因此作用在齒輪上的嚙合力在逐漸增加；在0.2～0.4 s內(nèi)，傳動(dòng)鏈的加速過程結(jié)束，系統(tǒng)輸出端扭矩比啟動(dòng)時(shí)增大了，因此嚙合力的波動(dòng)也隨之明顯增大；0.4 s之后，嚙合力的波動(dòng)基本上保持恒定。

輸入端齒輪的嚙合力波動(dòng)要比輸出端大，這是因?yàn)檩斎攵溯S、齒輪強(qiáng)度較低，且其模態(tài)較豐富，易于產(chǎn)生變形，從而引起嚙合力的波動(dòng)。

▲圖10 輸出端行星架和齒圈的應(yīng)力圖

如圖10所示，輸出端行星架的最大應(yīng)力為332.9 MPa，而齒圈的最大應(yīng)力為463.5 MPa。從圖中可以看出，齒圈的最大應(yīng)力出現(xiàn)在螺栓連接孔處。由于這些部件的制造材料為中碳鋼，其屈服許用應(yīng)力為560 MPa，因此傳動(dòng)部件都是安全的。

4 結(jié)論

本文介紹了一種用于海上鉆井平臺(tái)升降機(jī)構(gòu)減速箱的有限元建模與動(dòng)態(tài)仿真方法，前者用于建立多級混合式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的剛-柔多體模型，而后者則在ADAMS環(huán)境下完成，仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)的主要振動(dòng)源是輸入、輸出軸上齒輪的嚙合力波動(dòng)，而系統(tǒng)主要承載部件的靜、動(dòng)態(tài)強(qiáng)度是足夠的。

［1］ 李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［2］ 王建軍.計(jì)入內(nèi)齒圈彈性的直齒行星傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究［D］.天津：天津大學(xué),2006.

［3］ 孫濤,沈允文,孫智民.行星齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型與方程［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38（3）：6-10.

［4］ 余偉煒,高炳軍.ANSYS在機(jī)械與化工裝備中的應(yīng)用［M］.北京:中國水利水電出版社,2006.

［5］ 徐亮，楊文濤.ADAMS建模與分析實(shí)例［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2008.