基于CATIA的圓柱齒輪建模方法研究

王東峰，孟慶華，趙文禮

(杭州電子科技大學機械工程學院，浙江杭州310018)

0 引言

齒輪機構是在各種機構中應用最為廣泛的一種傳動機構，具有傳遞功率范圍大、傳動效率高、傳動比精確等優(yōu)點，但其自身對制造和安裝的精度要求較高。隨著計算機輔助技術的發(fā)展，不斷有學者利用三維繪圖及仿真分析軟件對齒輪的虛擬建模技術進行研究。針對齒輪的漸開線齒廓建模許多學者提出了描點法、法則曲線法等方法［1，2］，以及對圓柱斜齒輪斜齒也有學者以多種方法建模［3－5］。本文基于動力學分析通過對圓柱齒輪建模方法進行系統(tǒng)研究，并經(jīng)過精度分析提出一種較優(yōu)的圓柱齒輪建模方法。

1 CATIA環(huán)境下齒輪參數(shù)化建模

本文在計算機輔助三維設計應用軟件(Computer Aided Three Dimensional Interface Application，CATIA)環(huán)境下對圓柱齒輪的建模進行研究。對于標準的漸開線圓柱齒輪，只需確定齒數(shù)z、模數(shù)m、螺旋角β以及齒高h，就能確定其它參數(shù)最終得出齒輪的幾何形狀。以下為建模思路過程:(1)利用參數(shù)定義齒輪相關參數(shù);(2)在創(chuàng)成式外形設計模塊下完成漸開線齒廓的繪制;(3)由漸開線齒廓及齒根圓經(jīng)拉伸陣列等操作完成齒輪繪制;(4)利用設計表，生成參數(shù)表格，實現(xiàn)系列化設計。

2 直齒圓柱齒輪建模方法分析

漸開線齒廓繪制質量的好壞直接影響直齒圓柱齒輪建模的建模精度。將漸開線的直角坐標方程轉化為能夠在CATIA下直接定義的參數(shù)方程:

式中，rb為基圓半徑;為圓周率;t為變量系數(shù)。

兩種漸開線建模方法，由漸開線的直角坐標方程得到的參數(shù)方程對漸開線進行建模有兩種途徑:描點法，是指對t取不同數(shù)值以得到有限個漸開線上的離散點，之后將這些點利用CATIA下樣條曲線等曲線工具得到相應齒廓;法則曲線法，以t為自變量，使用法則曲線工具分別繪制x、y關于t的空間曲線，之后將兩條曲線利用混合、投影等工具得到y(tǒng)關于x的曲線既漸開線，最終得到相應齒廓。

2.1 曲率分析

描點法繪制的是有限個離散點，之后利用CATIA中的樣條曲線進行連接。CATIA使用NURBS數(shù)學模型來創(chuàng)建樣條曲線，即由所取點得到控制點并將其連成折線，再用插值算法使用曲線逼近折線多邊形。這種曲線生成方法和漸開線定義方法有本質區(qū)別，在理論上既存在著誤差，選取更多的離散點能使曲線更加接近漸開線，但其始終不是漸開線。分別以兩種途徑對漸開線進行建模，之后進行曲率分析，如圖1、2所示。從曲率梳形狀及具體曲率數(shù)值分析，描點法存在一定誤差，法則曲線法做出的曲線更加符合漸開線定義。

圖1 描點曲線曲率分析

圖2 法則曲線曲率分析

2.2 仿真分析

為了單獨研究漸開線的建模，以上面兩種曲線為齒廓分別建立直齒輪幾何模型。以相同模數(shù)和不同齒數(shù)建立大小齒輪的裝配幾何模型。將裝配模型導入ADAMS中進行動力學分析。

在本文中以45號鋼材料為例進行分析。將齒輪間的接觸算法定義為Impact型:根據(jù)齒輪材料及節(jié)點處曲率半徑取接觸剛度系數(shù)為6.6×104;材料阻尼屬性取為50N·sec/mm;穿透深度取為0.1mm;碰撞指數(shù)取為1.4。將小齒輪定義為驅動輪，為了避免瞬時沖擊用step函數(shù)定義驅動轉速。在大齒輪上加載100N·m的扭矩。之后進行運動仿真，總時長取為0.4s，每個仿真步長取為0.002s。

由仿真得到的兩種模型的被動齒輪角速度及嚙合力如圖3、4所示。

圖3 描點齒輪嚙合力

圖4 法則曲線齒輪嚙合力

從圖線形態(tài)分析，采用法則曲線法建模的齒輪的嚙合力及轉速的峰值明顯小于描點法建立的模型，且波動較小更加符合齒輪嚙合工況。理論嚙合力計算公式為:

式中，T為負載扭矩;R為加載負載齒輪的節(jié)圓半徑。

計算兩個仿真嚙合力的平均值并與理論嚙合力進行比較如表1所示。采用法則曲線法建模的漸開線齒廓精度明顯高于描點法。

表1 嚙合力對比表

3 斜齒圓柱齒輪建模方法分析

斜齒圓柱齒輪和直齒圓柱齒輪的端面漸開線齒廓參數(shù)及建模方法相同，不同之處在于其斜齒的建模。

3.1 3種斜齒建模方法

各種文獻的斜齒建模方法主要有3種:方法一根據(jù)齒厚和螺旋角做出旋轉一定角度的兩端面齒廓，使用CATIA中多截面實體命令生成斜齒;方法二做出分度圓的拉伸圓柱面，將在與齒輪端面垂直面內經(jīng)過基圓圓心的傾斜角度為螺旋角的斜線使用投影(Projection)命令投影在分度圓柱面上，以得到的投影線為脊線使用肋命令掃掠出斜齒;方法三以通過基圓圓心垂直于齒輪端面的直線為軸線作螺旋線。起點為分度圓上任意一點，以斜齒輪厚度為高，螺距由分度圓半徑r和螺旋角β的計算而得，公式為:

或者將方法二中的斜線，通過展開(Develop)命令，展開在分度圓柱面上得到展開線。以螺旋線或者展開線作為中線，掃掠得到斜齒齒廓。

3.2 相關分析

方法一中采用多截面拉伸，由于只有兩個端面齒廓為截面，拉伸引導線為兩齒廓間的連線。此方法做出的斜齒并不是完全與齒根圓相切，而是有一部分斜齒進入了齒根圓內。根據(jù)齒根圓內不存在漸開線可得出這種方法誤差較大。將以此方法建模的齒輪沿軸線垂直方向投影，得到的形狀為雙曲線，與理論的直線有較大偏差。將其裝配模型導入ADAMS中進行分析。定義接觸時斜齒輪的接觸剛度系數(shù)和直齒輪不同。分別進行漸變負載和漸變轉速分析，實際轉速和實際嚙合力均值與理論值相比誤差均在50%以上。

方法二中采用了投影命令，在CATIA中其算法是將投影元素沿特定方向拉伸，直至與被投影元素完全相交以取其交線為投影結果。投影元素與目標元素之間不存在坐標上的對應關系。將方法二中的投影線即斜齒脊線展開在平面內，發(fā)現(xiàn)其并不是直線而是曲率較大的曲線。方法三中以螺旋線為斜齒引導線與斜齒輪的定義相符。CATIA中的線展開命令與投影命令不同，展開算法依據(jù)的是被投影元素和目標元素間的坐標對應關系。展開即是將被投影元素根據(jù)本身的坐標對應關系重新繪制在目標元素的坐標系中。將傾斜角度為螺旋角的斜線展開至分度圓柱面，對應的結果正是以式3中P為節(jié)距的螺旋線的一段。分別以兩種方法建模導入ADAMS中，進行仿真分析。為了更好的定量分析從動轉速，對主動輪施加恒定轉速。兩種模型的嚙合力及從動轉速曲線如圖5、6所示。

圖5 方法二嚙合力及齒輪轉速

圖6 方法三嚙合力及齒輪轉速

用Plot tracking工具計算出各個仿真曲線的均值與理論值對比分析誤差率，將方法三和方法二作對比，如表2所示。從結果曲線的形態(tài)以及均值對比中可得出方法三的建模精度高于方法二。因此以法則曲線法對漸開線齒廓進行建模，再經(jīng)由方法三對輪齒進行軸向建模得到的模型精度最高，此種圓柱齒輪建模方法為最優(yōu)。

表2 方法二方法三對比

對經(jīng)由最優(yōu)方法建模模型的嚙合進行頻域特性分析。驅動及負載情況不變，仿真時間定義為0.4s，仿真步數(shù)定義為1 000。對嚙合力曲線進行快速傅里葉變換，得到如圖7所示的頻域圖，峰值出現(xiàn)在99.37Hz，與理論計算得出的100Hz十分接近。

圖7 嚙合力頻域圖

4 結束語

本文CATIA下的齒輪建模方法進行了研究，在ADAMS下進行動力學仿真分析，提出圓柱齒輪在CATIA下建模的合理方法，從多方面驗證了其可靠性，對于后續(xù)的開發(fā)應用具有一定意義。

［1］ 朱子宏，魏憲軍.基于CATIA的漸開線直齒輪參數(shù)化設計［J］.現(xiàn)代機械，2009，(1):8－9.

［2］ 肖石林，鮑務均.漸開線齒輪在CATIA中的三維參數(shù)化建模與應用［J］.起重運輸機械，2004，(10):19－21.

［3］ 費上寶.基于CATIA的漸開線圓柱齒輪的零件庫的建立［J］.汽車零部件，2011，(5):60－62.

［4］ 李功峰.基于CATIA環(huán)境下的斜齒輪三維參數(shù)建模及參數(shù)化應用［J］.汽車零部件，2011，(4):70－73.

［5］ 王波.基于CATIA環(huán)境下的斜齒輪三維參數(shù)建模及參數(shù)化應用［J］.機械，2004，31(6):33－35.