裂縫與井筒成任意角度的壓裂水平井產(chǎn)能公式

張德良，張芮菡，張烈輝，陳 軍，楊學(xué)鋒，張小濤

1)西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610500;2)中國石油西南油氣田分公司勘探開發(fā)研究院，成都610051

壓裂水平井能大幅提高低滲透致密氣藏的單井產(chǎn)能，因此越來越多地應(yīng)用于低滲透氣田開發(fā)中.近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)壓裂氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)進(jìn)行了深入研究，提出了一系列產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式.Li等［1］利用等值阻力法和壓降疊加原理，推導(dǎo)裂縫水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式;Guo等［2］建立一個(gè)綜合模型來預(yù)測(cè)和優(yōu)化多裂縫壓裂水平井產(chǎn)能，通過耦合儲(chǔ)層和裂縫中的徑向流和線性流，完善了近井地帶滲流特征的刻畫，且計(jì)算精度高;Cipolla等［3-5］運(yùn)用數(shù)值模擬方法，對(duì)致密儲(chǔ)層體積壓裂形成的復(fù)雜縫網(wǎng)模型進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測(cè)及影響因素分析.針對(duì)中國氣藏水平壓裂井開發(fā)情況，孫福街等［6］基于復(fù)位勢(shì)理論和疊加原理計(jì)算氣藏垂直裂縫水平井產(chǎn)能;張德良等［7］利用當(dāng)量井徑概念，確定帶多條橫向裂縫的壓裂水平井產(chǎn)能公式，動(dòng)態(tài)分析裂縫條數(shù)、物性參數(shù)等對(duì)裂縫流量分布的影響.上述模型求解過程中，未考慮裂縫與井筒傾斜角度對(duì)產(chǎn)能的影響，針對(duì)氣井產(chǎn)能計(jì)算，多采用壓力平方形式簡化公式［8］，計(jì)算結(jié)果存在一定誤差.

對(duì)于裂縫與水平井成任意角度時(shí)的產(chǎn)量預(yù)測(cè)，徐嚴(yán)波等［9-10］基于不穩(wěn)定滲流理論，通過離散裂縫網(wǎng)格和勢(shì)疊加原理的方法，建立壓后產(chǎn)能半解析模型.模型中認(rèn)為各微元段產(chǎn)量相等，忽略了微元段裂縫間的相互干擾問題，計(jì)算結(jié)果存在一定誤差.本研究基于文獻(xiàn)［11-12］，運(yùn)用勢(shì)疊加原理和坐標(biāo)變換方法，探討氣藏壓裂水平井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能.采用氣藏?cái)M壓力形式，考慮裂縫與井筒夾角，裂縫半長、導(dǎo)流能力和分布變化對(duì)產(chǎn)能的影響，從而達(dá)到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)氣藏壓裂水平井產(chǎn)能的目的.

1 滲流模型的建立

設(shè)上下邊界封閉的橫向無限大非均質(zhì)氣藏中心有一口壓裂水平井，儲(chǔ)層厚度為h;水平滲透率為Kh;水平井長度為L;裂縫條數(shù)為n且穿過整個(gè)油層厚度;裂縫滲透率為kf，縫寬為w;水平井段沒有進(jìn)行補(bǔ)孔，忽略流體在水平井筒中滲流時(shí)的摩阻損失，則流體會(huì)先由地層流入裂縫，再沿裂縫流入井筒［1］，水平井的產(chǎn)量將等于每條裂縫產(chǎn)量之和.

由復(fù)位勢(shì)理論知，假設(shè)在(x，y)平面上有一條垂直裂縫與x軸平行，裂縫半長為Lf，與x軸距離為y0，裂縫流體地面流量為 Qf(單位:m3/d)(圖1).

圖1 帶一條垂直裂縫的水平井簡圖Fig.1 Skematic diagram of horizontal well with one vertical fracture

由復(fù)位勢(shì)理論可知，在整個(gè)二維平面上所產(chǎn)生的勢(shì)分布為

其中，B為體積系數(shù).

在滲流力學(xué)中，這屬于多條裂縫井的相互干擾問題.為計(jì)算該井產(chǎn)量，設(shè)裂縫條數(shù)為奇數(shù)，每條裂縫縫與水平井所成夾角均為α°，以中間裂縫中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下直角坐標(biāo)系(x，y).利用坐標(biāo)變換(圖2)，使坐標(biāo)系(x'，y')的x'軸與裂縫的延伸方向相同.在圖2中，由(x，y)坐標(biāo)到(x'，y')坐標(biāo)變換滿足

根據(jù)復(fù)位勢(shì)理論，考慮式(1)的適用范圍和條件，在(x'，y')坐標(biāo)系中滿足

圖2 任意角度裂縫分布示意圖Fig.2 Skematic diagram of fractures with random angles

其中，y0'為(x'，y')平面內(nèi)任意一點(diǎn)到x'軸的距離.當(dāng)裂縫等縫長，垂直于井筒等間距排列時(shí)，其分布滿足文獻(xiàn)［6］中等間距和等縫長垂直橫切裂縫水平井的情況.設(shè)所有裂縫底部的壓力都等于井底壓力，其產(chǎn)能方程可推導(dǎo)為

其中，i和j為裂縫條數(shù);ψe為氣藏原始地層擬壓力(單位:MPa2/(mPa·s));ψwf為裂縫底部擬壓力(單位:MPa2/(mPa·s));Re為供給半徑(單位:m);Qscfi為第i條裂縫地面產(chǎn)量(單位:m3/d);T為地下溫度(單位:K);Kh為儲(chǔ)層滲透率(單位:μm2);Kf為裂縫滲透率(單位:μm2);w為裂縫寬度(單位:m);h為儲(chǔ)層厚度(單位:m);rw為井筒半徑(單位:m);β為轉(zhuǎn)換系數(shù)，β=0.271 4;d為裂縫間距(單位:m)，d=L/n(n為奇數(shù)時(shí))，d=L/2n(n為偶數(shù)時(shí)).

當(dāng)裂縫不等長，間距不相等，與水平井筒呈任意角α排列時(shí)，依據(jù)復(fù)位勢(shì)理論和疊加原理，結(jié)合式(3)，可得平面上任意一點(diǎn)在(x'，y')坐標(biāo)系內(nèi)的勢(shì)分布為

考察在(x'，y')坐標(biāo)系內(nèi)在軸上無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)(0，Re)，其在(x，y)坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為(-Resin α，Recos α).其中，Re為供給邊界，則供給邊界的勢(shì)為

整理式(6)可得

對(duì)任意裂縫i，由式(5)任意一點(diǎn)勢(shì)分布得裂縫右翼尖端的勢(shì)為

將式(2)代入式(9)，整理可得

其中，lfri為第i條裂縫右翼長度(單位:m);xi為第i條裂縫在(x，y)坐標(biāo)系內(nèi)的起裂點(diǎn)位置.同理可得裂縫左翼尖端的勢(shì)為

其中，lfli為第i條裂縫左翼長度.

在實(shí)際情況中，裂縫并不一定與水平井筒對(duì)稱，根據(jù)疊加原理，取裂縫左右兩翼尖端的平均勢(shì)作為尖端的勢(shì)［10］:

雖然裂縫與水平井筒成一夾角，但裂縫內(nèi)的流體從裂縫邊緣向井筒周圍聚集，若忽略重力影響，仍可看成是厚度為 w，流動(dòng)半徑為［(lfli+lfri)h/π］1/2，邊界壓力為 pfi的平面徑向流［9］.

不考慮裂縫表皮因子造成的壓降，則式(13)成立.假設(shè)所有裂縫底部的壓力都等于井底壓力，同時(shí)結(jié)合擬壓力函數(shù)的定義和真實(shí)氣體的狀態(tài)方程，

其產(chǎn)能公式可推導(dǎo)為

其中，

2 模型求解

在模型推導(dǎo)過程中，采用氣體擬壓力形式，求解時(shí)需要根據(jù)氣藏的實(shí)際物性參數(shù)建立擬壓力與壓力插值表，以便進(jìn)行擬壓力與壓力的轉(zhuǎn)換.

設(shè)有n條裂縫，分別給出各條裂縫在水平井筒上的起裂點(diǎn)位置坐標(biāo)(xi，0)和裂縫長度lfi.這樣就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有n個(gè)未知數(shù)和n個(gè)方程的方程組，所以此方程組可以封閉求解.采用高斯全選主元法對(duì)上式進(jìn)行封閉求解，求出每條裂縫產(chǎn)量Qscfi.在水平井筒不補(bǔ)孔的情況下，壓裂水平井的產(chǎn)量就等于每條裂縫產(chǎn)量之和.其水平壓裂氣井總產(chǎn)量Qsc為

3 實(shí)例計(jì)算及分析

3.1 計(jì)算結(jié)果

用Visual Basic 6.0編制模型及求解程序，用于中國西南部某氣藏壓裂水平井產(chǎn)能研究.

計(jì)算參數(shù)為:氣層厚度8 m，氣體黏度0.022 mPa·s，水平滲透率 0.5×10-3μm2，氣體壓縮因子 0.957，地層壓力 27.75 MPa，井底壓力 23.56 MPa，供給半徑800 m，裂縫滲透率30 μm2，地層溫度353 K，裂縫寬度0.005 m，井筒半徑0.05 m，井筒長度400 m，裂縫傾斜角60°，裂縫半長50 m.

圖3為壓開3條裂縫，且傾角為60°的水平井在不同水平段長度下每條裂縫產(chǎn)氣量的比較(按裂縫位置排列)，可以看出，端部裂縫的產(chǎn)氣量高于中部裂縫產(chǎn)氣量，裂縫產(chǎn)量由兩端向中部遞減.這主要是由多條裂縫干擾所致.為獲得單井開采的最大經(jīng)濟(jì)效益，壓裂施工中可適當(dāng)縮短中部裂縫長度，增加端部縫長.

圖3 不同水平段長度下裂縫產(chǎn)量分布Fig.3 Gas productivity distribution of each fracture under different horizontal lengths

3.2 影響因素

壓開3條裂縫，裂縫半長50 m，井筒長度400 m情況下，裂縫等傾斜角度等間距排列.針對(duì)圖4不同裂縫傾斜角度的情況(圖4)，對(duì)水平井產(chǎn)氣量進(jìn)行對(duì)比分析可見，0°時(shí)產(chǎn)氣量最低，90°時(shí)產(chǎn)氣量最高，水平井水力壓裂作業(yè)，壓開垂直裂縫的增產(chǎn)效果最好.

圖4 不同裂縫傾角下水平井產(chǎn)氣量Fig.4 Gas productivity of a horizontal well with differentangles between fracture and horizontal wellbore

假定人工水力壓裂裂縫半長為50 m，裂縫傾角均為60°，水平段長度400 m.在不同裂縫條數(shù)下，水平井產(chǎn)氣量和產(chǎn)量增長率如圖5.隨著裂縫條數(shù)增加，水平井產(chǎn)量增大，但增長幅度不斷減小，超過某一范圍后，增量變化細(xì)微.同時(shí)，裂縫條數(shù)增加，施工成本和難度也相應(yīng)增大.本研究認(rèn)為，在水平段長度一定情況下，綜合考慮經(jīng)濟(jì)效益和施工成本，水平井水力壓裂裂縫條數(shù)最優(yōu)值以3～5條為宜.

圖5 裂縫條數(shù)與產(chǎn)量關(guān)系曲線Fig.5 Gas productivity of horizontal well under different fracture numbers

圖6 水平段長度與產(chǎn)氣量的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between horizontal well length and gas production

圖6為壓開3條裂縫下，水平井產(chǎn)氣量隨井筒長度變化關(guān)系圖.在裂縫條數(shù)一定時(shí)，一方面，為減小裂縫間干擾，增加氣井的產(chǎn)量，需有較長的水平段;另一方面，水平段長度的增加，單位長度的產(chǎn)量反而降低.水平段長度的增加會(huì)大幅增加成本，這又要求盡可能減少水平段長度.綜合兩者存在一個(gè)最優(yōu)值范圍，使經(jīng)濟(jì)效益最高.本實(shí)例中壓開3條裂縫，水平段長取300～500 m為宜.

在裂縫半長為50 m和100 m，且其他計(jì)算參數(shù)保持不變，由縫長對(duì)不同滲透率氣藏單井產(chǎn)能增加倍數(shù)曲線(圖7)可見，儲(chǔ)層滲透率越高，縫長倍增后的增產(chǎn)效果越差.取裂縫導(dǎo)流能力分別為0.15 μm2·m和0.3 μm2·m，保持其他參數(shù)不變，分析導(dǎo)流能力對(duì)不同氣藏滲透率下單井產(chǎn)能增加倍數(shù)曲線(圖7)，儲(chǔ)層滲透率越低，裂縫導(dǎo)流能力倍增之后，增產(chǎn)效果越差.因此，對(duì)于低滲透儲(chǔ)層，為提高壓裂效果，應(yīng)以增加裂縫長度為主;對(duì)于高滲透地層，提高裂縫導(dǎo)流能力是提高壓裂效果的主要途徑［13］.

圖7 縫長和導(dǎo)流能力對(duì)增產(chǎn)效果的影響Fig.7 Effects of fracture length and conductivity on the stimulation

不同裂縫位置分布如圖8，在均勻分布、裂縫在水平井端部密集和在中間部分密集3種情況下，水平井產(chǎn)量為:4.554×104、4.968×104和3.942×104m3/d.由此可知，為獲得單井最大產(chǎn)量，壓裂裂縫在端部的間距應(yīng)小于中部裂縫的間距.

圖8 裂縫位置分布圖Fig.8 Skematica diagram of different fracture locations

結(jié) 語

綜上研究可知:① 壓裂水平井裂縫產(chǎn)量是非均勻的，呈近似對(duì)稱分布，且端部縫產(chǎn)量高于中部裂縫產(chǎn)量.同時(shí)，裂縫分布對(duì)產(chǎn)能存在影響，為獲得單井最大產(chǎn)量，端部縫間距應(yīng)小于中部縫間距;②隨著壓開裂縫傾斜角度的增加，水平井產(chǎn)氣量也變大.0°時(shí)產(chǎn)量最低，90°時(shí)產(chǎn)量最大，因此，水平井水力壓裂，壓開垂直裂縫的增產(chǎn)效果最好;③隨裂縫條數(shù)增加，水平井產(chǎn)量增大，但增幅不斷減小，裂縫條數(shù)存在最優(yōu)值，本實(shí)例認(rèn)為取3～5條為宜;④水平段長度增加，水平井產(chǎn)氣量增大，單位水平段產(chǎn)量不斷減小.為減少成本，獲得最大單井效益，本實(shí)例水平段長度取300～500 m;⑤低滲透氣藏，提高壓裂效果，以增加裂縫長度為主，提高裂縫導(dǎo)流能力對(duì)其影響不大.

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