16階非交換2群的子群結(jié)構(gòu)

王亮亮

（呂梁學院，山西 離石033000）

1 預備知識

眾所周知，關(guān)于子群及其個數(shù)的研究在有限群論的研究中是十分重要的.本文主要研究了16階非交換2群的子群結(jié)構(gòu).而對于交換的情形，由于子群結(jié)構(gòu)較為簡單，不再研究.本文用到的符號都是標準的，均來自文獻[1].下面分別用Cn，D2n，Q2n，SD2n和表示n階循環(huán)群，2n階二面體群，2n階廣義四元數(shù)群，2n階半二面體群，m個n階循環(huán)群的直積.設(shè)A，B≤G，若G＝AB且[A，B]＝1，則稱G為A，B的中心積，記作G＝A＊B.文中總假設(shè)A∩B≠1.接下來，給出定理證明中需要用到的一些引理和定理[2～3].

引理1.1 設(shè)G是二元生成的非交換p群且G＝〈a，b〉，則G的極大子群分別是K＝〈Φ（G），a〉與M＝〈Φ（G），bas〉，其中s＝0，1，…，p－1.

引理1.2 設(shè)G是三元生成的非交換p群且G＝〈a，b，d〉.則G的極大子群分別是K＝〈Φ（G），a，d〉，Ks＝〈Φ（G），as，d〉以及Kxy＝〈Φ（G），adx，bdy〉，（s，x，y＝0，1，…，p－1）

引理1.3 設(shè)G為8階非交換2群，則G是以下互不同構(gòu)的群之一:

（I）D8＝〈a，b｜a4＝b2＝1，b－1ab＝a－1〉；

（II）Q8＝〈a，b｜a4＝1，b2＝a2，b－1ab＝a－1〉；

引理1.4 設(shè)G為16階非交換2群，則G是以下互不同構(gòu)的群之一:

（I）Q16＝〈a，b｜a8＝1，b2＝a4，b－1ab＝a－1〉；

（II）D16＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a－1〉；

（III）SD16＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a3〉；

（IV）G＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a5〉；

（V）G＝〈a，b｜a4＝b4＝1，b－1ab＝a－1〉；

（VI）G＝〈a，b，c｜a4＝b2＝c2＝1，[a，b]＝c，[c，a]＝[c，b]＝1〉；

（VII）D8×C2；

（VIII）Q8×C2；

（IX）G＝〈a，b，c｜a4＝b2＝c2＝1，[b，c]＝a2，[a，b]＝[a，c]＝1〉?D8＊C4.

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)G為16階非交換2群Q16＝〈a，b｜a8＝1，b2＝a4，b－1ab＝a－1〉，則G的子群共有11個.分別為:單位元群1；8階子群有3個:〈a〉，〈a2，b〉，〈a2，ba〉；4階子群有5個:〈a2〉，〈b〉，〈ba〉，〈ba2〉，〈ba3〉；2階子群僅有1個:〈a4〉；群G.

證明 顯然Φ（G）＝〈a2〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個，分別為H1＝〈a〉，H2＝〈a2，b〉，H3＝〈a2，ba〉.

對于H1而言，由于其循環(huán)，因此各階子群均只有1個，即其2階子群為〈a4〉，其4階子群為〈a2〉.

對于H2而言，其定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）4＝1，b2＝（a2）2，b－1a2b＝（a2）－1〉，故 Φ（H2）＝〈（a2）2〉且d（H2）＝2.類似，由引理1.1知，H2的極大子群為M1＝〈a2〉，M2＝〈b〉和M3＝〈ba2〉，其中M1，M2，M3均循環(huán)且為4階子群.進一步，顯然對于群M1，M2，M3而言，其2階子群均為〈a4〉.

對于H3而言，其定義關(guān)系為〈a2，ba｜（a2）4＝1，（ab）2＝（a2）2，（ba）－1a2（ba）＝（a2）－1〉.故 Φ（H3）＝〈（a2）2〉且d（H3）＝2.類似，由引理1.1知，H3的極大子群為N1＝〈a2〉，和N3＝〈ba3〉，其中N1，N2，N3循環(huán)且均為4階子群，進而，對于群N1，N2，N3而言，其2階子群均為〈a4〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.2 設(shè)G為16階非交換2群D16＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a－1〉，則G的子群共有19個.分別為:單位元群1；8階子群有3個:〈a〉，〈a2，b〉，〈a2，ba〉；4階子群有5個:〈a2〉，〈a4，b〉，〈a4，ba〉，〈a4，ba2〉，〈a4，ba3〉；2階子群有9個:〈a4〉，〈b〉，〈ba〉，〈ba2〉，〈ba3〉，〈ba4〉，〈ba5〉，〈ba6〉，〈ba－1〉；群G.

證明 顯然Φ（G）＝〈a2〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個，H1＝〈a〉，H2＝〈a2，b〉，H3＝〈a2，ba〉.

對于H1而言，由于其循環(huán)，因此各階子群均只有1個，即其2階子群為〈a4〉，其4階子群為〈a2〉.

對于H2而言，其定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）4＝b2＝1，b－1a2b＝（a2）－1〉，故 Φ（H2）＝〈（a2）2〉且d（H2）＝2.類似地，由引理1.1知，H2的極大子群為M1＝〈a2〉，M2＝〈a4，b〉和M3＝〈a4，ba2〉，其中M1循環(huán)，M2，M3交換且均為4階子群.進而，不難知，H2的2階子群為〈a4〉，〈b〉，〈ba2〉，〈ba4〉，〈ba6〉，

對于H3而言，其定義關(guān)系為〈a2，ba｜（a2）4＝（ba）2＝1，（ba）－1a2（ba）＝（a2）－1〉，故 Φ（H3）＝〈（a2）2〉且d（H3）＝2.類似，由引理1.1知，H3的極大子群為N1＝〈a2〉，和N3＝〈a4，ba3〉，其中N1循環(huán)，N2，N3交換且均為4階子群.進而，不難知，H3的2階子群為〈a4〉，〈ba〉，〈ba3〉，〈ba5〉，〈ba－1〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.3 設(shè)G為16階非交換2群SD16＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a3〉，則G的子群共有15個，分別為:單位元群1；8階子群有3個:〈a〉，〈a2，b〉，〈a2，ba〉；4階子群有5個:〈a2〉，〈a4，b〉，〈ba〉，〈a4，ba2〉，〈ba3〉；2階子群有5個:〈a4〉，〈b〉，〈ba2〉，〈ba4〉，〈ba6〉；群G.

證明 易知Φ（G）＝〈a2〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個:H1＝〈a〉，H2＝〈a2，b〉，H3＝〈a2，ba〉.

對于H1而言，由于其循環(huán)，因此各階子群均只有1個，即其2階子群為〈a4〉，其4階子群為〈a2〉.

對于H2而言，其定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）4＝b2＝1，b－1a2b＝（a2）－1〉，故Φ（H2）＝〈（a2）2〉且d（H2）＝2.類似，由引理1.1知，H2的極大子群為M1＝〈a2〉，M2＝〈a4，b〉和M3＝〈a4，ba2〉，其中M1循環(huán)，M2，M3交換且均為4階子群.進而，不難知，H2的2階子群為〈a4〉，〈b〉，〈ba2〉，〈ba4〉，〈ba6〉.

對于H3而言，其定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）4＝1，b2＝（a2）2，b－1a2b＝（a2）－1〉，故Φ（H3）＝〈（a2）2〉且d（H3）＝2.類似地，由引理1.1知，H3的極大子群為N1＝〈a2〉，和N3＝〈ba3〉，其中N1，N2，N3循環(huán)且均為4階子群.進而，對于群N1，N2，N3而言，其2階子群均為〈a4〉

綜上可知，該定理得證.

定理2.4 設(shè)G＝〈a，b｜a8＝b2＝1，b－1ab＝a5〉，則G的子群共有11個，分別為:單位元群1；8階子群有3個:〈a〉，〈a2，b〉，〈ba〉；4階子群有5個:〈a2〉，〈a2b〉和〈a4〉×〈b〉；2階子群有3個:〈a4〉，〈a4b〉和〈b〉；群G.

證明 易知Φ（G）＝〈a2〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個:H1＝〈a〉，H2＝〈a2，b〉，H3＝〈a2，ba〉.注意到（ba）2＝a－2，因此H3＝〈ba〉.

對于H1而言，由于其循環(huán)，因此各階子群均只有1個，即其2階子群為〈a4〉，其4階子群為〈a2〉.

對于H2而言，其定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）4＝b2＝1，b－1a2b＝a2〉，即H2的8階交換群〈a2〉×〈b〉?C4×C2，不難知H2的4階交換群有3個:〈a2〉，〈a2b〉和〈a4〉×〈b〉；H2的2階交換群也有3個:〈a4〉，〈a4b〉和〈b〉.

對于H3而言，其定義關(guān)系為〈a2，ba｜（a2）4＝1，（ba）2＝a－2，（ba）－1a2（ba）＝a2〉，即H3亦為8階循環(huán)群〈ba〉.因而其各階子群唯一，即其2階子群為〈a4〉，其4階子群為〈a2〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.5 設(shè)G＝〈a，b｜a4＝b4＝1，b－1ab＝a－1〉，則G的子群共有15個:單位元群1；8階子群有3個:〈a，b2〉，〈a2，b〉，〈a2，ba〉；4階子群有7個:〈a〉，〈ab2〉，〈b〉，〈ba2〉，〈ba〉，〈ba3〉，〈a2〉×〈b2〉；2階子群有3個:〈a2〉，〈b2〉，〈a2b2〉；群G.

證明 易知Φ（G）＝〈a2，b2〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個:H1＝〈a，b2〉，H2＝〈a2，b〉，H3＝〈a2，b2，ba〉，注意到（ba）2＝baba＝b2b－1aba＝b2a－1a＝b2，因此H3＝〈a2，ba〉.

對于H1而言，由于（b2）－1ab2＝b－1b－1abb＝b－1a－1b＝（b－1ab）－1＝a，因此H1的定義關(guān)系為〈a，b2｜a4＝（b2）2＝1，（b2）－1ab2＝a〉，即H1＝〈a〉×〈b2〉?C4×C2，因而易知H1的2階子群有3個:〈a2〉，〈b2〉，〈a2b2〉；H1的4階子群有3個:〈a〉，〈ab2〉，〈a2〉×〈b2〉.對于H2而言，由于b－1a2b＝a－2＝a2，因此H2的定義關(guān)系為〈a2，b｜（a2）2＝b4＝1，b－1a2b＝a2〉，即H2＝〈b〉×〈a2〉?C4×C2，易知H2的2階子群有3個:〈a2〉，〈b2〉，〈a2b2〉；H2的4階子群有3個:〈b〉，〈ba2〉，〈a2〉×〈b2〉；對于H3而言，由于（ba）－1a2（ba）＝a－1b－1aba＝a2，因此，H3的定義關(guān)系為〈a2，ba｜（a2）2＝（ba）4＝1，（ba）－1a2（ba）＝a2〉，即H3＝〈ba〉×〈ab2〉?C4×C2，從而易知H3的2階子群有3個:〈a2〉，〈（ba）2〉，〈a2（ba）2〉，又注意到baba＝b2b－1aba＝b2a－1a＝b2，因此，〈（ba）2〉＝〈b2〉，〈a2（ba）2〉＝〈a2b2〉H3的4階子群有3個:〈ba〉，〈ba3〉，〈（ba）2〉×〈a2〉＝〈a2〉×〈b2〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.6 設(shè)G＝〈a，b，c｜a4＝b2＝c2＝1，[a，b]＝c，[c，a]＝[c，b]＝1〉，則G的子群共有23個:單位元群1；8階子群有3個:〈a〉×〈c〉，〈a2〉×〈c〉×〈b〉，〈ba〉×〈c〉；4階子群有11個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉，〈a2〉×〈b〉，〈b〉×〈c〉，〈a2b〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bc〉，〈b〉×〈ac〉，〈c〉×〈ab〉，〈ba〉，〈bac〉；2階子群有七個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉，〈b〉，〈a2b〉，〈bc〉，〈a2bc〉，〈ba〉；群G.

證明 顯然Φ（G）＝〈a2，c〉且d（G）＝2.由引理1.1知，G的極大子群有3個，即8階子群有3個:H1＝〈a2，c，a〉＝〈a，c〉，又注意到[c，a]＝1，因此H2＝〈a〉×〈c〉?C4×C2，H2＝〈a2，c，b〉，又注意到[c，a]＝[c，b]＝1，因此H2＝〈a2〉×〈c〉×〈b〉?C2×C2×C2，H2＝〈a2，c，ba〉.

由于（ba）2＝baba＝aa－1b－1aba＝a2c，因此H3＝〈ba〉×〈c〉?C4×C2，由于H1，H2，H3均為交換群，因此容易得:H1的2階子群有3個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；H1的4階子群有3個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉；H2的2階子群有7個:〈a2〉，〈b〉，〈c〉，〈a2b〉，〈a2c〉，〈bc〉，〈a2bc〉；H2的4階子群亦有7個:〈a2〉×〈c〉，〈a2〉×〈b〉，〈b〉×〈c〉，〈a2b〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bc〉，〈b〉×〈ac〉，〈c〉×〈ab〉；H3的2階子群有3個:〈（ba）2〉＝〈a2c〉，〈c〉，〈a2〉；H3的4階子群有3個:〈ba〉，〈bac〉，〈（ba）2〉×〈c〉＝〈a2〉×〈c〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.7 設(shè)

則G的子群共有35個:單位元群1；8階子群有7個:〈a〉×〈c〉，〈a2〉×〈b〉×〈c〉，〈a2〉×〈ba〉×〈c〉，〈a，b〉，〈a，bc〉，〈ac，b〉，〈ac，bc〉；4階子群有15個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉，〈a2〉×〈b〉，〈b〉×〈c〉，〈a2b〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bc〉，〈b〉×〈a2c〉，〈c〉×〈a2b〉，〈a2〉×〈ba〉，〈ba〉×〈c〉，〈ba3〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bac〉，〈ba〉×〈a2c〉，〈c〉×〈ba3〉；2階子群有11個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉，〈b〉，〈a2b〉，〈bc〉，〈a2bc〉，〈ba〉，〈ba3〉，〈bac〉，〈ba3c〉；群G.

證明 顯然此時Φ（G）＝〈a2〉且d（G）＝3.由引理1.2知，G有7個極大子群，即有7個8階子群:K1＝〈a，c〉，K2＝〈a2，b，c〉，K3＝〈a2，ba，c〉，K4＝〈a，b〉，K5＝〈a，bc〉，K6＝〈ac，b〉，K7＝〈ac，bc〉.注意到[c，a]＝1，因此K1交換，且K1＝〈a〉×〈c〉?C4×C2.由于[a2，b]＝[a2，c]＝[b，c]＝1，因此K2交換，且K2＝〈a2〉×〈b〉×〈c〉?C2×C2×C2.類似，由于[a2，ba]＝[a2，c]＝[ba，c]＝1，因此可得K3交換，且K3＝〈a2〉×〈ba〉×〈c〉?C2×C2×C2.

由于K1，K2，K3交換，因此易知K1的4階子群有3個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉.K1的2階子群有3個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；K2的4階子群有7個:〈a2〉×〈b〉，〈a2〉×〈c〉，〈b〉×〈c〉，〈a2b〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bc〉，〈b〉×〈a2c〉，〈c〉×〈a2b〉；K2的2階子群有7個:〈a2〉，〈b〉，〈c〉，〈a2b〉，〈a2c〉，〈bc〉，〈a2bc〉；K3的4階子群有7個:〈a2〉×〈ba〉，〈a2〉×〈c〉，〈ba〉×〈c〉，〈ba3〉×〈a2c〉，〈a2〉×〈bac〉，〈ba〉×〈a2c〉，〈c〉×〈ba3〉；K3的2階子群有7個:〈a2〉，〈ba〉，〈c〉，〈ba3〉，〈a2c〉，〈bac〉，〈ba3c〉.

對于K4，K5，K6，K7而言，分析各自定義關(guān)系易知均同構(gòu)于D8，因此，通過計算有K4有5個2階子群:〈a2〉，〈a2b〉，〈b〉，〈ba〉，〈ba3〉；3個4階子群:〈a〉，〈a2〉×〈b〉，〈a2〉×〈ba〉；K5有5個2階子群:〈a2〉，〈a2bc〉，〈bc〉，〈bca〉，〈bca3〉；3個4階子群:〈a〉，〈a2〉×〈bc〉，〈a2〉×〈bca〉；K6有5個2階子群:〈（ac）2〉×〈a2〉，〈a2b〉，〈b〉，〈bac〉，〈ba3c〉；3個4階子群:〈ac〉，〈a2〉×〈b〉，〈a2〉×〈bac〉；K7有5個2階子群:〈a2〉，〈a2bc〉，〈bc〉，〈bca〉，〈bca3〉；3個4階子群:〈ac〉，〈a2〉×〈bc〉，〈a2〉×〈bca〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.8 設(shè)

則G的子群共有19個:單位元群1；8階子群有7個:〈a，c〉，〈b，c〉，〈ba，c〉，〈a，b〉，〈a，bc〉，〈ac，b〉，〈ac，bc〉；4階子群有7個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉，〈b〉，〈bc〉，〈ba〉，〈bac〉；2階子群有3個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；群G.

證明 顯然此時d（G）＝3且Φ（G）＝〈a2〉.由引理1.2知，G有7個極大子群，即有7個8階子群:K1＝〈a，c〉，K2＝〈a2，b，c〉＝〈b，c〉，K3＝〈ba，c〉，K4＝〈a，b〉，K5＝〈a，bc〉，K6＝〈ac，b〉，K7＝〈ac，bc〉.因為[a，b]＝a2，[c，a]＝[c，b]＝1，所以不難知K1，K2，K3交換，K4，K5，K6，K7非交換.下面逐一來分析Ki，其中i＝1，2，…，7的子群結(jié)構(gòu).

對于Ki，其中i＝1，2，3而言，顯然Ki?C4×C2，K1的4階子群有3個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉，其2階子群亦有3個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；K2的4階子群有3個:〈b〉，〈bc〉，〈b2〉×〈c〉＝〈a2〉×〈c〉，2階子群亦有3個:〈b2〉＝〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；K3的4階子群有3個:〈ba〉，〈bac〉，〈（ba）2〉×〈c〉＝〈a2〉×〈c〉，其2階子群亦有3個:〈（ba）2〉＝〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉.

對于K4，K5，K6，K7而言，分析定義關(guān)系易知均同構(gòu)于Q8.因此易知K4有1個2階子群〈a2〉，3個4階子群〈a〉，〈b〉，〈ba〉；K5有1個2階子群〈a2〉，3個4階子群〈a〉，〈bc〉，〈bca〉；K6有1個2階子群〈（ac）2〉＝〈a2〉，3個4階子群〈ac〉，〈b〉，〈bac〉；K7有1個2階子群〈（ac）2〉＝〈a2〉，3個4階子群〈ac〉，〈bc〉，〈bcac〉＝〈bac2〉＝〈ba〉.

綜上可知，該定理得證.

定理2.9 設(shè)G＝〈a，b，c｜a4＝b2＝c2＝1，[b，c]＝a2，[a，b]＝[a，c]＝1〉?D8×C4，則G的子群共有23個:單位元群1；8階子群有7個:〈a〉×〈c〉，〈b，c〉，〈ba，c〉，〈a〉×〈b〉，〈a，bc〉＝〈a〉×〈bca〉，〈ac，b〉，〈ac，bc〉；4階子群有7個:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉，〈bc〉，〈ba〉，〈a2〉×〈b〉，〈a2〉×〈bca〉；2階子群有7個:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉，〈b〉，〈a2b〉，〈bca〉，〈bca3〉；群G.

證明 顯然此時d（G）＝3且Φ（G）＝〈a2〉.由引理1.2知，G有7個極大子群，即有7個8階子群:K1＝〈a，c〉，K2＝〈b，c〉，K3＝〈ba，c〉，K4＝〈a，b〉，K5＝〈a，bc〉，K6＝〈ac，b〉，K7＝〈ac，bc〉.由于[c，a]＝1，因此K1為8階交換子群.即K1＝〈a〉×〈c〉?C4×C2.因而K1有3個4階子群:〈a〉，〈ac〉，〈a2〉×〈c〉；有3個2階子群:〈a2〉，〈c〉，〈a2c〉；對于K2而言，其有如下定義關(guān)系:〈b，c｜b2＝c2＝1，[b，c]＝a2〉，注意到d（K2）＝2且Φ（K2）＝〈a2〉，因此由引理1.1知，K2有3個極大子群，即有3個4階子群:K21＝〈a2，b〉，K22＝〈a2，c〉和K23＝〈a2，bc〉.由于（bc）2＝bcbc＝b－1c－1bc＝a2且[a，b]＝[a，c]＝1，因此K21，K22交換但不循環(huán)，K23為4階循環(huán)群.從而易得K2的2階子群分別為:〈a2〉，〈b〉，〈a2b〉，〈c〉，〈a2c〉.對于K3而言，其有如下定義關(guān)系:〈ba，c｜（ba）4＝c2＝1，[ba，c]＝（ba）2〉，即K3?D8，因此計算知，K3有五個2階子群:〈（ba）2〉＝〈a2〉，〈a2c〉，〈c〉，〈cba〉，〈cba3〉；3個4階子群:〈ba〉，〈a2〉×〈c〉，〈a2〉×〈cba〉.對于K4而言，注意到[a，b]＝1，因此K4為8階交換子群.即K4＝〈a〉×〈b〉?C4×C2.因而K4有3個4階子群:〈a〉，〈ab〉，〈a2〉×〈b〉；有3個2階子群:〈a2〉，〈b〉，〈a2b〉.對于K5而言，由于（bc）2＝bcbc＝b－1c－1bc＝a2，因此其有如下定義關(guān)系:〈a，bc｜a4＝1，（bc）2＝a2，[bc，a]＝1〉，即K5亦為8階交換群.因此K5的4階子群為〈a〉，〈bc〉，〈a2〉×〈bca〉.K5的2階子群為〈a2〉，〈bca〉，〈bca3〉.對于K6而言，由于（ac）2＝a2且[ac，b]＝a2＝（ac）2，K6有如下定義關(guān)系:〈ac，b｜（ac）4＝b2＝1，[ac，b]＝（ac）2〉，即K6?D8.因此K6有5個2階子群:〈（ac）2〉＝〈a2〉，〈a2b〉，〈b〉，〈bac〉，〈bca3〉；3個4階子群:〈ac〉，〈a2，b〉，〈a2，bac〉.

對于K7而言，由于（ac）4＝a2，（bc）2＝a2，[ac，bc]＝a2，因此K7有如下定義關(guān)系:〈ac，bc｜（ac）4＝1，（bc）2＝（ac）2，[ac，bc]＝（ac）2〉，即K7?D8.因此K7有1個2階子群〈（ac）2〉＝〈a2〉，3個4階子群〈ac〉，〈bc〉，〈bcac〉＝〈ba〉.

綜上可知，該定理得證.

[1]徐明曜.《有限群導引》（上冊）[M].第二版.北京:科學出版社，1999

[2]孫秀娟.指數(shù)為p2的子群均交換的有限p群[D].臨汾:山西師范大學，2006

[3]徐明曜，曲海鵬.有限p群[M].北京:北京大學出版社，2010