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    希爾伯特空間H中兩種維數(shù)的比較

    2013-08-15 00:55:54吳亞敏
    關(guān)鍵詞:歐幾里得希爾伯特次方

    吳亞敏

    (鄂東職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖北 黃岡438000)

    0 引言

    希爾伯特空間H(Hilbert space)由大衛(wèi)·希爾伯特提出,是一個(gè)完備的內(nèi)積空間.它是有限n維歐幾里得空間Rn向無(wú)窮維空間的推廣,又稱(chēng)為無(wú)窮維歐幾里得空間,也是巴拿赫空間B(Banach space)的特例.巴拿赫空間B是一個(gè)完備的賦范線(xiàn)性空間.

    希爾伯特空間H首先是一個(gè)內(nèi)積空間,其上有距離和角度的概念,以及由此引伸而來(lái)的正交性和垂直性概念和結(jié)果;其次希爾伯特空間H還是一個(gè)完備的空間,其上所有的柯西列等價(jià)于收斂列,從而微積分的大部分概念和結(jié)果都可以推廣到希爾伯特空間H中.希爾伯特空間H為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換提供了一種有效的表達(dá)式,這也是泛函分析研究的基本對(duì)象之一,并且成為量子力學(xué),積分方程,正交級(jí)數(shù)理論等方面研究問(wèn)題的重要工具.

    對(duì)于一個(gè)希爾伯特空間H來(lái)說(shuō),維數(shù)的概念可以有兩種涵義.由于希爾伯特空間H是一個(gè)由向量組成的線(xiàn)性空間,它有一個(gè)線(xiàn)性維數(shù),又由于希爾伯特空間H還是一個(gè)由向量組成的內(nèi)積空間,它又有一個(gè)正交維數(shù).統(tǒng)一理解和比較這兩個(gè)概念,必須明確希爾伯特空間H的所有基(basis)有共同的基數(shù)(cardinal number),然后把所有基的這個(gè)共同的基數(shù)定義為相應(yīng)的維數(shù).這兩個(gè)概念的區(qū)別在于基的定義不同[1].希爾伯特空間H的Hamel基(也叫做線(xiàn)性基)指的是希爾伯特空間H的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)子集(如果一個(gè)無(wú)窮集的每一個(gè)有限子集都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,而且每一個(gè)向量是任一Hamel基中有限個(gè)向量的線(xiàn)性組合,那么這個(gè)無(wú)窮集稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的).希爾伯特空間H的Schauder基(也叫正交基)指的是希爾伯特空間H的一個(gè)極大標(biāo)準(zhǔn)正交子基(對(duì)線(xiàn)性理論來(lái)說(shuō),有限項(xiàng)展開(kāi)式的合適的類(lèi)比是希爾伯特空間中常用的富里葉展開(kāi)式).

    1 主要結(jié)果

    定理1 如果一個(gè)希爾伯特空間H的線(xiàn)性維或正交維中有一個(gè)為有限的,那么另一個(gè)也是有限的,且兩者相等.

    證明 若希爾伯特空間H的線(xiàn)性維或正交維中有一個(gè)是有限的,則希爾伯特空間H一定是有限的n維歐幾里得空間Rn,而有限的n維歐幾里得空間Rn中極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組與極大標(biāo)準(zhǔn)正交基可以相同,因此希爾伯特空間H線(xiàn)性維數(shù)與正交維數(shù)相等,都是有限的n維.

    推論n維希爾伯特空間H與n維歐幾里得空間Rn同構(gòu)[2].

    定理2 如果一個(gè)希爾伯特空間H正交維是無(wú)窮的,那么其線(xiàn)性維大于或等于(2的次方).

    證明 主要依據(jù)是集合論中一個(gè)有著若干應(yīng)用的奇妙結(jié)論:存在一個(gè)以正整數(shù)集的無(wú)窮子集為元素的具有基數(shù)為(2的0次方)的集類(lèi){Jt},使當(dāng)s≠t時(shí)均有Js∩Jt有限.下面介紹這種集類(lèi)的構(gòu)造法:由于正整數(shù)與有理數(shù)之間有著一一對(duì)應(yīng),只須證明具有上述性質(zhì)的諸有理數(shù)集的存在性即可.這又只須對(duì)每一實(shí)數(shù)t,令Jt表示以t為其唯一聚點(diǎn)的無(wú)窮有理數(shù)集即可.

    現(xiàn)在假設(shè){e1,,e2,e3…}是希爾伯特空間H的一個(gè)可數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正交集,又令(富里葉展開(kāi)式)是一個(gè)任意向量,它使得對(duì)一切n都有ξn≠0.如果{Jt}是如上所述的一個(gè)正整數(shù)集類(lèi),記,可以肯定,向量集{ft}線(xiàn)性無(wú)關(guān).事實(shí)上,設(shè)有諸f的一個(gè)有限線(xiàn)性組合為0,即,由于對(duì)每一個(gè)i≠1,集Jt1含有無(wú)窮多個(gè)不屬于Jti的整數(shù),得知Jt1至少含有一個(gè)整數(shù),如n,不屬于任一Jt1(i≠1),由此推知α1ξn=0,由ξn≠0,得α1=0.同理可證對(duì)每一個(gè)i=1,2,…,n,都有αi=0.

    推論1 希爾伯特空間H的線(xiàn)性維數(shù)大于或等于正交維數(shù).

    推論2 無(wú)窮維希爾伯特空間H有一正交子集與正整數(shù)集同構(gòu).

    推論3 無(wú)窮維希爾伯特空間H有一線(xiàn)性無(wú)關(guān)子集與實(shí)數(shù)集同構(gòu).

    2 例證

    例1:每一個(gè)無(wú)窮維希爾伯特空間H包含L2(0.1),f(t)表示區(qū)間[0,t]上的特征函數(shù),0<t≤1,形成具有基數(shù)為(2的次方)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)集.

    例2:每一個(gè)無(wú)窮維希爾伯特空間H包含l2,向量g(t)=(1,t,t2,…),0<t<1,構(gòu)成具有基數(shù)為(2的次方)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)集.

    上面一系列結(jié)果說(shuō)明在希爾伯特空間H中,正交維數(shù)比線(xiàn)性維數(shù)更為基礎(chǔ)更為重要,因此在希爾伯特空間H等理論文獻(xiàn)[3]中的“維數(shù)”一般總是指正交維數(shù).無(wú)窮維希爾伯特空間H是最接近于n維歐幾里得空間Rn的無(wú)窮維空間.

    [1]李梧齡.組合希爾伯特空間和代數(shù)——量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[J].自然雜志,1987(6):9-14

    [2]鄭利凱.希爾伯特空間上的L測(cè)度和L積分[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,29(2):136-139

    [3]馬吉溥.Hilbert空間中子空間的維數(shù)與B(H)中算子的指標(biāo)[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊),1996,13(1):1-8

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