脈沖成形網(wǎng)絡(luò)負(fù)載電磁參數(shù)靜態(tài)分析

楊玉東，王建新

(1. 淮陰工學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院， 江蘇 淮安 223001；2.南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

脈沖成形網(wǎng)絡(luò)(Pulsed Forming Network, PFN)是脈沖功率電源組成的一部分，其主要功能包括能量傳輸、脈沖整形、功率匹配和調(diào)節(jié)[1-3]。從脈沖成形網(wǎng)絡(luò)角度來看，軌道和電樞是其負(fù)載，軌道的電感梯度與電阻梯度是負(fù)載的兩個重要參數(shù)，它們的大小與電磁發(fā)射效率緊密相關(guān)。對負(fù)載特性的研究國內(nèi)外有眾多文獻(xiàn)涉及[4-6], 它們針對不同的研究目的對負(fù)載做不同的等效，文獻(xiàn)[4]分析了軌道和電樞中的熱能損耗，主要考慮軌道和電樞的電阻分布；文獻(xiàn)[5]研究了分布式饋電裝置對系統(tǒng)效率的影響，把軌道中的電阻線性化處理；文獻(xiàn)[6]分析了電路參數(shù)與發(fā)射效率之間的關(guān)系，把軌道的電感梯度和電阻梯度當(dāng)作一個定值。上述文獻(xiàn)都是從“路”的宏觀角度來對待負(fù)載特性的，實(shí)際上在電磁發(fā)射過程中，軌道的電感和電阻隨著頻率變化也會呈現(xiàn)非線性變化。另外高電壓、大電流通過軌道和電樞，其內(nèi)部的溫度、電流密度和電磁場的分布都是不均勻的，這些變化僅靠宏觀的電路分析顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠, 對軌道和電樞中物理變化參數(shù)求解繼續(xù)沿襲傳統(tǒng)的“路”的模型顯得誤差過大。為了解電流幅度、頻率的變化對負(fù)載參數(shù)的影響，考慮引入“場”分析方法，以得到較為精確的負(fù)載變化模型。

筆者首先建立軌道的二維模型，采用有限元法對軌道中電磁場參數(shù)進(jìn)行求解，然后通過計(jì)算軌道中的磁能和熱損耗分別計(jì)算軌道的電感梯度和電阻梯度隨頻率變化情況，再通過與經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行比較，尋求獲得較高電感梯度的方法。

1 理論和控制方程

從電源角度來看脈沖成形網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載是軌道和電樞，電路結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中PFN為脈沖成形網(wǎng)絡(luò)，負(fù)責(zé)給負(fù)載提供電能；軌道和電樞為負(fù)載，均采用電導(dǎo)率較高的金屬(或合金)加工而成，軌道采用高強(qiáng)度絕緣材料進(jìn)行封裝加固做成炮膛，要求軌道和電樞接觸面盡可能光滑，電樞與軌道間有一定的機(jī)械過盈力以保證彼此之間接觸良好。軌道和電樞在頻率變化的激勵電流作用下，會呈現(xiàn)自感效應(yīng)、渦流效應(yīng)、頻率趨膚效應(yīng)、鄰近效應(yīng)等電磁現(xiàn)象。

軌道的電感梯度和電阻梯度反映的是單位長度軌道所呈現(xiàn)的電感和電阻，如果軌道材料均勻、形狀尺寸規(guī)則，則軌道的電感梯度和電阻梯度與軌道的長度無關(guān)，因此軌道的模型可以簡化為二維模型，如圖2所示，圖中二維區(qū)域即為軌道的軸向橫截面，設(shè)軌道的尺寸和材料如下：軌道寬w=10 mm，高h(yuǎn)=20 mm，軌道間距為s=20 mm，軌道材料為銅。負(fù)載的激勵電流從軌道的一端加入，流經(jīng)電樞后從軌道的另一端流出，軌道和電樞采用銅、鋁合金等良導(dǎo)體金屬材料，在電流傳導(dǎo)過程中無自由電荷積聚，因此可以不計(jì)位移電流。軌道電磁參數(shù)分析基于Maxwell的電磁場理論。脈沖成形網(wǎng)絡(luò)輸出的大多為脈沖電流，由傅里葉分析可知非周期信號可以分解為不同幅度和頻率正弦波信號的無限疊加，因此激勵電流在負(fù)載中形成的電磁場可以用正弦渦流場進(jìn)行處理。

麥克斯韋方程組渦流場的微分形式為：

(1)

×H=J

(2)

電磁場的本構(gòu)關(guān)系為：

B=μH

(3)

J=σE

(4)

上述各式中，H、B、E、J、σ、μ分別為磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、電流密度、電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。在渦流場中各點(diǎn)場量應(yīng)滿足電磁場的基本方程組。本節(jié)考察二維電磁場，即考察軌道橫截面中場參數(shù)分布情況，設(shè)軌道所在的橫截面為xy, 激勵電流流向?yàn)閦方向，即垂直于紙面方向，選取矢量磁位A作為未知函數(shù)進(jìn)行求解。引入矢量磁位A的旋度，即：

B=×A

(5)

根據(jù)矢量運(yùn)算法則和庫倫規(guī)范，經(jīng)整理得：

(6)

寫為時諧場的形式為：

(7)

式中:Js為源電流密度，Js=-σφ；Je為渦流密度，Je=-σ?A/?t。上式即為求解渦流場參數(shù)的控制方程，加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件即構(gòu)成二維平面定解問題。當(dāng)求得矢量磁位后即可計(jì)算出B和J的分布。求解區(qū)域二維網(wǎng)格如圖3所示。

2 算法分析

2.1 二維有限元算法分析

設(shè)矢量磁位A只有z軸方向分量，即：

A=ezAz

(8)

此時電流密度也只有z軸方向分量，可寫為：

J=ezAz

(9)

因此式(7)寫成二維偏微分方程形式為：

(10)

式中:Jsz為源電流密度的z向分量，S為求解區(qū)域。

求解區(qū)域可分為渦流區(qū)S1和空氣區(qū)S2兩部分。用有限元法分析的方法之一是根據(jù)具體的物理問題構(gòu)造一個泛函，在定義域內(nèi)進(jìn)行剖分插值, 把泛函的變分問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值的問題, 從而得到電磁場定解問題的數(shù)值解。式(10)所對應(yīng)的泛函為：

(11)

式中，F(xiàn)(az)對Az的變分δF(Az)取極小值的解就是所要求的物理解。

2.2 邊界條件

上述求解區(qū)域S包含渦流區(qū)S1和空氣區(qū)S2。如圖3所示，在區(qū)域S1內(nèi)磁導(dǎo)率為4π×107H/m，電導(dǎo)率為1.7×10-8Ω·m；在區(qū)域S2內(nèi)磁導(dǎo)率為1 H/m，電導(dǎo)率為0。渦流區(qū)的邊界條件為連續(xù)條件。對于空氣區(qū)的邊界條件設(shè)置，常規(guī)分析需要設(shè)置Mur或PML吸收邊界條件，使場在截?cái)噙吔鐭o反射，但該問題中軌道間距遠(yuǎn)小于求解區(qū)域尺寸，軌道中電流方向相反，在邊界處產(chǎn)生的場相互抵消，可以認(rèn)為邊界上場值為0，即：

ΓS2∶Az=0

(12)

后續(xù)仿真結(jié)果與文獻(xiàn)資料比較證明了該近似方法的可行性。編程即可解得計(jì)算區(qū)域內(nèi)Az的分布情況。

2.3 軌道電感梯度求解

設(shè)激勵電流的方向?yàn)閦方向，由于求解軌道的電感梯度與激勵電流幅度無關(guān)，因此為了求解方便，設(shè)置流入流出兩軌道的電流最大值分別為-1 A和1 A，相位為0，激勵頻率范圍設(shè)定為20 Hz～20 kHz。編程求解得到軌道內(nèi)各點(diǎn)的磁矢位Az，就可以求出各節(jié)點(diǎn)的H、B的值，再相應(yīng)地求解其他需要的參數(shù)。

上述二維有限元方法求解得到軌道橫截面及周圍空間中的場參數(shù)分布，沿軌道方向單位長度內(nèi)軌道及周圍空間儲存的平均電磁能量WAV可表示為[7]：

(13)

式中:V為二維計(jì)算區(qū)域在軌道方向單位長度的體積，平均電磁能量WAV與軌道電流的最大值Im、電感量L的關(guān)系為：

(14)

則電感梯度為：

(15)

式中:l為單位軌道長度。

3 求解結(jié)果與分析

3.1 電磁效應(yīng)分析

圖4和圖5分別是激勵電流頻率為200 Hz和20 kHz時的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度分布圖。圖中軌道內(nèi)部電流密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度從內(nèi)至外逐漸增強(qiáng)，且分布不均勻，兩軌道的相鄰一側(cè)密度較大。當(dāng)電流頻率為200 Hz時，軌道橫截面中心電流密度為9.7×103A/m2，磁感應(yīng)強(qiáng)度為4×10-8T，最外層邊界處的電流密度為1.0×104A/m2，磁感應(yīng)強(qiáng)度為4×10-5T；當(dāng)頻率達(dá)到20 kHz時電流密度分布在軌道的最外層邊緣附近，其內(nèi)部的電流密度幾乎為零，在軌道內(nèi)側(cè)邊緣和拐角處磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到了6.8×10-5T，電流密度達(dá)到了1.36×105A/m2，這是受趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)共同作用的結(jié)果。此時激勵電流的幅度僅為1 A，而實(shí)際電磁發(fā)射器的激勵電流最大值可以達(dá)到105～106A數(shù)量級，在軌道的內(nèi)側(cè)和拐角處的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流密度將是一個非常大的值，高的電流密度將使軌道內(nèi)側(cè)的熱損耗急劇增加，甚至能達(dá)到其材料的熔點(diǎn)引起軌道內(nèi)側(cè)表面熔解和汽化，進(jìn)而破壞軌道的平滑度使得軌道變得凹凸不平導(dǎo)致無法再使用。

圖6是在軌道尺寸一定情況下(參數(shù)如圖2所示)，根據(jù)式(15)求得的電感梯度隨頻率變化分布情況，結(jié)果與文獻(xiàn)[8,9]中電感梯度變化的趨勢是一致的。

由圖6可以看出，頻率對電感梯度影響較大。低頻(0～1 kHz)電流激勵下電感梯度在0.69～0.65 μH/m范圍內(nèi)變化，且隨著激勵電流頻率的升高電感梯度持續(xù)下降，當(dāng)頻率為8 kHz時電感梯度下降為0.6 μH/m。上述電感梯度的變化原因也可用電流的趨膚效應(yīng)來解釋，當(dāng)頻率增加時電流趨向于導(dǎo)體的表面流動，內(nèi)部的磁場減弱，磁場僅圍繞在導(dǎo)體的表面使得電感量減小。由前述可知電感梯度下降會造成電磁發(fā)射系統(tǒng)效率的降低，因此可以得出如下結(jié)論：要提高電感梯度，激勵電流應(yīng)該是平穩(wěn)無變化的，即恒流激勵可使得電感梯度為最大，此時電樞受力均勻、速度增加平穩(wěn)。但是恒流激勵會造成軌道電感儲能過大，同樣會降低電磁發(fā)射系統(tǒng)的效率。因此在脈沖成形網(wǎng)絡(luò)電路設(shè)計(jì)時需要考慮激勵電流波形的變化，既要得到能夠保持較高電感梯度所需要的恒定電流，又要設(shè)法使末電流盡可能地降低以便減少電感儲能。

3.2 軌道電感梯度與幾何尺寸的關(guān)系

Asghar Keshtkar 等人提出了一種電感梯度的智能估算公式 (IEM)[6-10]，該方法適用于頻率較低的情況，而電磁發(fā)射系統(tǒng)中的激勵電流頻率是變化的，因此IEM近似估計(jì)式在頻率變化時會存在誤差。本文采取有限元計(jì)算方法(FEM)，為了與IEM進(jìn)行比較，激勵電流取較低的頻率200 Hz。以下是分別采用FEM和IEM方法得到的電感梯度和軌道尺寸的關(guān)系。電感梯度與軌道的幾何關(guān)系如圖7所示。

圖7中計(jì)算的軌道參數(shù)與圖2參數(shù)相同，變化的分別是寬度、高度和間距。由圖7可看出，軌道的電感梯度與軌道的尺寸有關(guān)系。在軌道高度和間距不變情況下，軌道的電感梯度隨著寬度增加而減小；在軌道寬度和間距不變情況下，軌道的電感梯度隨著高度增加而減小；在軌道寬度和高度不變情況下，軌道的電感梯度隨著軌道間距增加而增加。因此為了獲得較高的電感梯度，可以通過減小軌道的寬度和高度、增大軌道間距來獲得。當(dāng)然軌道的高度和寬度不能無限制地減小，考慮到軌道在通過極大激勵電流時會受到極大的電磁力，為了有足夠的強(qiáng)度，軌道的高度和寬度有一定的限制。另外考慮軌道是電樞滑動的載體，軌道的尺寸還要取決于電樞的尺寸。雖然增加軌道間距也可以增加軌道的電感梯度，考慮到電樞與發(fā)射體的尺寸，軌道的間距也不可能做得過大。本文采用FEM方法對軌道電感梯度計(jì)算，與此同時計(jì)算過程也與IEM方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明兩種方法在結(jié)果上十分接近，因此在低頻電流作用下，可以采用IEM方法進(jìn)行電感梯度的估算，同時通過此例也證明了有限元法計(jì)算電感梯度等負(fù)載參數(shù)的有效性。

4 結(jié) 論

本文主要分析了脈沖成形網(wǎng)絡(luò)負(fù)載靜態(tài)參數(shù)的分布情況。首先推導(dǎo)了軌道的二維渦流場參數(shù)求解方程, 建立了軌道的二維有限元模型，求解渦流場中的矢量磁位，再通過計(jì)算渦流場的能量求解出軌道的電感梯度隨頻率變化的分布，同時計(jì)算出軌道中磁感應(yīng)強(qiáng)度、電流密度隨頻率變化的分布。接著分析了電感梯度與軌道幾何尺寸的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果與工程經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了比較，分析得到如下結(jié)論：軌道的電感梯度隨著頻率增加而減小，在較低頻率范圍內(nèi)，計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式相吻合。 為提高電感梯度，驅(qū)動電流的波形需要盡可能保持平穩(wěn)。 適當(dāng)減小軌道的寬度、高度，增加軌道間距，可增加軌道的電感梯度，便于提高電磁發(fā)射效率。

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