二維四向雙正交小波包

庫(kù)福立,王剛,王亞玲

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊,830054)

0 引言

小波分析是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興數(shù)學(xué)分支,它是Fourier分析劃時(shí)代發(fā)展的結(jié)果,在信號(hào)分析、圖像處理、模式識(shí)別、語(yǔ)言合成、方程求解和分形力學(xué)等領(lǐng)域都取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的重要成果.然而L2(R)中函數(shù)生成的正交小波包具有很差的頻域局部化,小波包的這些優(yōu)良性質(zhì)在圖像壓縮、編碼理論等方面得到廣泛應(yīng)用.于是由Coifman和Meyer在文獻(xiàn)[1-2]中引入一元正交小波包的概念,目的是進(jìn)一步分解小波;而崔錦泰和李淳把正交小波包推廣到非正交小波包;Daubechies和Cohen在文獻(xiàn)[3]中引入雙正交小波包的概念;冷勁松和程正興[4]給出多尺度多重雙正交小波包;陳清江和程正興[5-6]給出了高維向量值雙正交小波包.然而,在現(xiàn)代科技中,高維的小波應(yīng)用十分廣泛,相應(yīng)的高維小波研究也尤其重要.楊守志教授在文獻(xiàn)[7]中給出雙向小波函數(shù)和尺度函數(shù)的概念,本文中推廣一元雙正交雙向小波包的概念,給出雙向雙正交小波包的定義及其構(gòu)造;討論二元雙向雙正交小波包的性質(zhì),并得到相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便,我們引入記號(hào):?f(x1,x2),g(x1,x2)∈L2(R2),內(nèi)積定義如下:

(1)

(2)

定義張量積設(shè)F和G是兩個(gè)一元函數(shù)空間.F的基底是{fk(x)}j∈Z,G的基底是{gk(y)}j∈Z,把以{fk(x)gk(y)}k∈Z為基底的二元函數(shù)空間H稱(chēng)為空間F和G的張量積空間,并表示為:

H=F?G

(3)

對(duì)于二元函數(shù)我們有:

φ(x,y)=φ(x)φ(y)

(4)

2 二維四向多分辨分析

定義2.1設(shè)φ(x1,x2)∈L2(R2),我們定義子空間序列{Vj}j∈Z?L2(R2):

Vj=ClosL2(R2)〈2jφ(2jx1-k1,2jx2-k2),2jφ(2jx1-k1,k2-2jx2),2jφ(k1-2jx1,2jx2-k2),2jφ(k1-2jx1,k2-2jx2):k1,k2∈Z〉

(5)

生成L2(R2)中的一個(gè)多分辨分析(MRA){Vj}j∈Z,當(dāng)且僅當(dāng)(5)式定義的{Vj}j∈Z滿(mǎn)足:

(ⅰ)…?V-1?V0?V1?…;

(ⅳ)f(x1,x2)∈Vj?f(2x1,2x2)∈Vj+1;

(ⅴ)存在L2(R2)中的一個(gè)函數(shù)φ(x1,x2),使集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈Z}是V0的Riesz基.于是,我們可得找到兩個(gè)常數(shù)0

(6)

定義2.2由文獻(xiàn)[7]中給出雙向單小波的定義,現(xiàn)在利用兩個(gè)一元雙向單小波φ(x)和φ(y)通過(guò)它們的張量積構(gòu)造二維空間上的二維四向雙向小波.設(shè)雙向細(xì)分函數(shù)φ(x)和φ(y)分別滿(mǎn)足細(xì)分方程:

(7)

(8)

令φ(x,y)=φ(x)φ(y),則可以得到:

(9)

(10)

(11)

(12)

對(duì)(10)和(11)式變形得:

(13)

(14)

(15)

分別對(duì)(13～15)作Fourier變換得:

(16)

(17)

(18)

令:

φ(x1,x2)=[φ(x1,x2),φ(x1,-x2),φ(-x1,x2),φ(-x1,-x2)]T

(19)

(20)

于是我們得到式(19)和式(20)的加細(xì)面具符號(hào):

(21)

(22)

3 雙正交的二維雙向尺度函數(shù)和小波函數(shù)

定義3.1若二維四向尺度函數(shù)φ(x1,x2)是正交的,則滿(mǎn)足下列式子:

〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉=δ0,k1δ0,k2;〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉=0;〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉=0;〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉=0.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

于是我們得到(26)、(27)的Fourier變換:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

4 二維四向雙正交小波包

引入記號(hào):

(34)

(35)

對(duì)應(yīng)的Fourier形式為:

(36)

令

U4n+λ(x1,x2)=[μ4n+λ(x1,x2),μ4n+λ(x1,-x2),μ4n+λ(-x1,x2),μ4n+λ(-x1,-x2)]T

(37)

于是,我們可以得到:

(38)

的加細(xì)面具符號(hào)為:

(39)

其中λ=0,1,2,3于是我們可以得到:

(40)

5 二維四向雙正交小波的性質(zhì)

引理5.1對(duì)?n∈Z+進(jìn)行4進(jìn)制展開(kāi):

(41)

上式總是一個(gè)有限和,并且展開(kāi)式是唯一的.

引理5.1的證明若4S0-1≤n≤4S0,則有帶余除法,我們有n=4S0+n1,我們?cè)侔裯1展開(kāi),不斷重復(fù)著這個(gè)過(guò)程,我們得到:

n=εS04S0+εS14S1+εS24S2+…+εSk4Sk

其中,0

(42)

定理5.1的證明①當(dāng)n=0,(43)式成立;

于是,我們得到:

于是有:

綜合得,命題得證.

(43)

定理5.3的證明要證明上式,只需證明下式成立:

該式證明由(32)式類(lèi)似定理5.1證明,即得.

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