非強(qiáng)占優(yōu)先權(quán)模型中高優(yōu)先權(quán)顧客隊(duì)長(zhǎng)平穩(wěn)分布的概率母函數(shù)

潘全如

(江蘇科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

單一的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)往往無法滿足某些業(yè)務(wù)的要求,這就需要把顧客劃分成不同的優(yōu)先等級(jí),按照優(yōu)先級(jí)確定其獲得服務(wù)的次序與質(zhì)量.目前具有優(yōu)先權(quán)的模型已獲得了廣泛應(yīng)用[1-2],且已取得了較好的結(jié)果[3-4]，但大多數(shù)都是基于服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布[5-6].文中就非強(qiáng)占服務(wù)規(guī)則建立了服務(wù)時(shí)間服從一般分布且有優(yōu)先權(quán)的排隊(duì)模型.

1 模型假設(shè)

1)顧客包含i個(gè)顧客類,每一類均以泊松流到達(dá)系統(tǒng),第i類顧客的到達(dá)率為λi(i=1,2),不同類型的顧客到達(dá)過程獨(dú)立.

2)相同優(yōu)先級(jí)的顧客先到先服務(wù);不同優(yōu)先級(jí)的顧客根據(jù)優(yōu)先級(jí)確定服務(wù)的先后順序.設(shè)第1類顧客的優(yōu)先級(jí)高于第2類顧客的優(yōu)先級(jí).

3)系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)窗口,容量無限.

4)系統(tǒng)為每一類顧客服務(wù)的時(shí)間服從一般分布,且第i類顧客的服務(wù)時(shí)間分布記為Bi(x),規(guī)定不同類型的顧客服務(wù)過程獨(dú)立.

5)若高優(yōu)先權(quán)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí),低優(yōu)先權(quán)顧客正在進(jìn)行服務(wù),服務(wù)臺(tái)并不中斷現(xiàn)有的服務(wù).此高優(yōu)先權(quán)的顧客一直等到正被服務(wù)的低優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)完畢,才開始接受服務(wù).

2 模型分析

假定λ1β1+λ2β2<1及系統(tǒng)平穩(wěn)分布存在.令qn(i)分別為在第n次離開系統(tǒng)后的瞬間,系統(tǒng)中第i(i=1,2)類顧客的隊(duì)長(zhǎng).記qn(1)的平穩(wěn)分布的母函數(shù)為

(1)

P0為顧客第n次離開后瞬間系統(tǒng)中沒有顧客的概率,易知

P0=1-λ1β1-λ2β2

(2)

再令

(3)

定理在非強(qiáng)占優(yōu)先權(quán)下,第1類顧客離開系統(tǒng)后的瞬間,第1類顧客的隊(duì)長(zhǎng)平穩(wěn)分布的概率母函數(shù)記為Q1(z),則

(4)

其中

(5)

E{zqn+1(1)|qn(1)>0}P{qn(1)>0}+

E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}P{qn(1)=0,

qn(2)=0}+E{zqn+1(1)|qn(1)=0,

qn(2)>0}P{qn(1)=0,qn(2)>0}

(6)

記E1=E{zqn+1(1)|qn(1)>0}P{qn(1)>0}

E2=E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}P{qn(1)=0,qn(2)=0}

E3=E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)>0}P{qn(1)=0,qn(2)>0}

在E1中,當(dāng)qn(1)>0時(shí),qn+1(1)=qn(1)-1+vn+1(1),其中vn+1(1)是在一個(gè)第1類顧客的服務(wù)時(shí)間中到達(dá)的第1類顧客的數(shù)目,其概率母函數(shù)為

(7)

所以E1=E{zqn(1)-1+vn+1(1)|qn(1)>0}·

P{qn(1)>0}=E{zqn(1)|qn(1)>

0}z-1E{zvn+1(1)}P{qn(1)>0}=

(8)

E2=P0E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}=

(9)

(10)

(11)

令G1(z)=P{xn+1=1}E{zqn+1(1)|xn+1=1}

(12)

則G1(z)=E{zqn+1(1)}-P{xn+1=0}·

P{qn(1)=0,qn(2)>0}E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)>0},將E3代入得:

將(11)代入(13)得:

(14)

(15)

于是由Q1(z)的定義及式(12)得:

3 結(jié)論

優(yōu)先權(quán)排隊(duì)理論具有重要的應(yīng)用價(jià)值,文中對(duì)非強(qiáng)占優(yōu)先一類特殊M/G/1模型中高優(yōu)先權(quán)顧客隊(duì)長(zhǎng)概率母函數(shù)作了定量分析.關(guān)于優(yōu)先權(quán)理論還有很多值得進(jìn)一步研究的問題,比如系統(tǒng)的利用率[7-8]、顧客類多于兩個(gè)的情況等等.

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