一種彈簧—滑塊系統(tǒng)的非線性振動(dòng)

吳 波，付秀英，高欽翔

（1.遵義師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，貴州遵義563002；2.遵義師范學(xué)院組織部，貴州遵義563002）

擺動(dòng)是一種常見的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，它廣泛地出現(xiàn)在我們的生產(chǎn)、生活之中。在大學(xué)物理的教學(xué)中，對(duì)擺動(dòng)的討論一般局限于簡(jiǎn)諧擺，例如單擺，復(fù)擺和扭擺等。這樣的簡(jiǎn)諧擺模型通常是一種理想模型，可以通過求解這個(gè)模型的二階線性動(dòng)力學(xué)微分方程來獲得解的特征。然而，自然界的大多數(shù)擺動(dòng)都是復(fù)雜的，簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧模型不足以很好解釋它們獨(dú)特的運(yùn)動(dòng)特征。阻尼、外場(chǎng)等諸多非線性因素的存在，必將給擺動(dòng)系統(tǒng)帶來區(qū)別于線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。因此，非線性振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)于人們認(rèn)識(shí)復(fù)雜的擺動(dòng)現(xiàn)象也是非常重要的，應(yīng)該值得大家的關(guān)注。

本文以一個(gè)典型的彈簧―滑塊非線性系統(tǒng)為例，建立其動(dòng)力學(xué)微分方程，繼而利用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解。最后，通過對(duì)其解的時(shí)域圖和相圖分析，并與微振動(dòng)下簡(jiǎn)析解進(jìn)行對(duì)比，以揭示彈簧―滑塊非線性振動(dòng)系統(tǒng)獨(dú)特的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。

1 彈簧―滑塊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程

圖1 彈簧－滑塊模型示意圖

如圖1所示，質(zhì)量為m的滑塊在無摩擦的桿上水平滑動(dòng)。它被一個(gè)彈性系數(shù)為k的彈簧連接在一個(gè)固定在桿下面中心處的支點(diǎn)上。彈簧自然狀態(tài)下的長(zhǎng)度就是支點(diǎn)到桿的垂直距離，并與桿交于O點(diǎn)[1]。可以想象，O點(diǎn)將是整個(gè)滑塊往復(fù)運(yùn)動(dòng)的中心，因而可以以O(shè)為原點(diǎn)，桿的水平向右方向?yàn)閤軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。通過對(duì)滑塊受力分析，可著回復(fù)力的角色，l因而可以利用牛頓第二定律，建立運(yùn)動(dòng)微分方程：

可以看出，（1）式等號(hào)左邊的第三項(xiàng)是非線性項(xiàng)，從而使得整個(gè)系統(tǒng)不能按照一般的線性微分方程來處理。

2 數(shù)值求解與討論

2.1 解的一般特征

其中，方程組（2）中x(1)和x(2)對(duì)應(yīng)原方程滿足初始條件：x(1)t=0=x0；x(2)t=0=v0。

對(duì)（2）式及其初始條件所描述的微分方程，我們基于M atlab數(shù)值計(jì)算程序，利用四階Runge-Kutta法進(jìn)行了數(shù)值求解，如圖 2（a）和（b）所示，分為m=1，k=10，l0=10,x0=4，和v0=0時(shí)的時(shí)域圖和相圖。由圖2（a）可以看到，由于非線性項(xiàng)的制約，整個(gè)滑塊的運(yùn)動(dòng)并不是簡(jiǎn)諧的。特別在臨近平衡位置的部分，時(shí)域圖與一般的正余弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律相差較大。從圖（b）的相圖可以看出，相圖是一個(gè)首尾相連的閉合曲線，表明這是一個(gè)非耗散的往復(fù)振動(dòng)形式。但是在接近平衡點(diǎn)的地方，曲線接近直線，與一般的簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式發(fā)生較大變化。為進(jìn)一步深入理解這種非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，需要分別對(duì)一些特殊情況進(jìn)行分析，尤其是遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的巨振動(dòng)和平衡點(diǎn)附近的微振動(dòng)行為。

圖 2 方程（2）解的特例，（a）時(shí)域圖和（b）相圖

2.2 (巨振動(dòng))x>>l0

當(dāng)x>>l0時(shí)的遠(yuǎn)域行為，方程（1）可以進(jìn)行化簡(jiǎn)：

為線性非齊次微分方程。一般情況下，可以通過先求其次方程的通解，然后尋找相應(yīng)非齊次方程的一個(gè)特解來構(gòu)成整個(gè)方程的解。但是，盡管如此，這樣的求解仍然比較繁雜，我們因此采取Maple符號(hào)計(jì)算平臺(tái)，利用Laplace變化進(jìn)行求解，類似的方法在我們的前期工作中有詳細(xì)的闡述[2]。最終，我們得到方程（3）滿足；x(0)=x0；dx 0 dt=v(0)=v0初始條件的解析解：

為體現(xiàn)非線性項(xiàng)對(duì)方程（1）的影響，我們將方程（1）的數(shù)值解與方程（4）的解析解進(jìn)行比較。其中令方程（1）和（4）中的參數(shù)：m=1，k=10，l0=2 和初始速度v0=0。而初始位置為體現(xiàn)解的差異，分別取初始位置x0=40和x0=4000進(jìn)行分別求解，分別繪制它們的時(shí)域圖和相圖，從圖3(a)和(b)可以明顯看出，當(dāng)x0=4000時(shí)，相對(duì)于l0=2比較大，此時(shí)的振動(dòng)滑塊大部分處于遠(yuǎn)離平衡位置的地方，從時(shí)域圖和相圖的比較發(fā)現(xiàn)，方程（1）此時(shí)的解退化為方程（4）所描述的振動(dòng)情形。因而，可以大致認(rèn)為x>>l0時(shí)，方程（1）是近似簡(jiǎn)諧的，振動(dòng)行為對(duì)于振動(dòng)與彈簧原長(zhǎng)相比擬時(shí)不再成立。在圖3(c)和(d)中可以看出，當(dāng)x0=40時(shí)，與x0=4000時(shí)滑塊已經(jīng)大幅接近了振動(dòng)平衡位置，這時(shí)方程（1）中非線性項(xiàng)的行為明顯體現(xiàn)出來，使得其解與方程（4）描述的簡(jiǎn)諧解存在明顯的差異。從圖中可明顯看出，這種差異主要出現(xiàn)在接近O點(diǎn)的附近。

圖 3 x>>l0時(shí)方程（1）數(shù)值解（實(shí)線）和近似解析解（4）（*線）分別在x0=4000和l0=2時(shí)解的(a)時(shí)域圖、（b）相圖和x0=40和l0=2時(shí)解的(c)時(shí)域圖及（d）相圖。

2.3 (微振動(dòng))x<

方程（5）盡管簡(jiǎn)單，但難于解析求解。這里，我們?nèi)匀焕肦unge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，來與方程（1）的解做一個(gè)對(duì)比。

圖4 x<

如圖4所示，為方程（1）和（5）中的參數(shù)都設(shè)置為：m=1，k=10，l0=20和初始速度v0=0時(shí)解的時(shí)域圖和相圖。為體現(xiàn)這種微振動(dòng)下解的特征，特例中分別取了初始位置 x0=2和 x0=10，利用四階 Runge-Kutta法進(jìn)行分別數(shù)值求解，繪制了它們的時(shí)域圖和相圖。從圖4(a)和(b)可以明顯看出，當(dāng)x0=2時(shí)，相對(duì)于l0=20比較小時(shí)，方程（1）所描述的非線性振動(dòng)與方程（5）描述的振動(dòng)符合很好，表明微振動(dòng)時(shí)，可以將方程（1）簡(jiǎn)化為方程（5），后者可以利用級(jí)數(shù)法獲得其解。但是，當(dāng)這樣的振動(dòng)振幅與彈簧原長(zhǎng)相比擬時(shí)，如圖4(c)和(d)所示，方程（1）的非線性行為使得其與方程（5）描述的振動(dòng)相距甚遠(yuǎn)，而差異的主要位置仍是在接近平衡位置的地方。

3 總結(jié)

針對(duì)一個(gè)典型的彈簧―滑塊非線性系統(tǒng)，利用四階Runge-Kutta數(shù)值計(jì)算方法和Laplace變化等方式對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析，尤其是其巨振動(dòng)和微振動(dòng)兩個(gè)特殊情形分別近似處理和深入討論。結(jié)果表明，這個(gè)系統(tǒng)中非線性項(xiàng)的行為主要集中影響滑塊在臨近平衡位置的振動(dòng)，而當(dāng)滑塊遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，其

[1]C F Gerald，P O Wheatley.Applied Numerical Analysis[M].New Jersey:ADDISON WESLEY Publishing Company Incorporated，2004.

[2]吳波，楊秀德.RLC暫態(tài)電路的理論分析和數(shù)值模擬[J].物理與工程，2010，20(1):32-34.

[3]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.MATLAB7基礎(chǔ)與提高[M].成都:電子工業(yè)出版社，2005.

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