安徽省火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布研究

陳 震，陸 松，李國輝，張和平

（1.合肥市公安消防支隊(duì)，合肥，230000；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)火災(zāi)科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥，230026）

0 引言

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一般將概率分布中描述低概率事件的區(qū)間稱為尾部，該區(qū)間的分布曲線形態(tài)上像動(dòng)物的尾巴。根據(jù)文獻(xiàn)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)［1－7］，隨著人們物質(zhì)生活水平的提高，單起火災(zāi)的直接經(jīng)濟(jì)損失有增大的趨勢。火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布描述了損失較高的火災(zāi)情況。通過研究尾部分布，可以分析損失較高的極端火災(zāi)的風(fēng)險(xiǎn)，為火災(zāi)防治工作提供理論依據(jù)，受到了研究人員的重視。

目前對經(jīng)濟(jì)損失尾部分布的研究主要關(guān)注于冪律分布。宋衛(wèi)國等人［8］提出中國城市火災(zāi)的頻率－直接經(jīng)濟(jì)損失分布服從冪律（Power－law）分布，王靜虹等人［9］通過對合肥市火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的分析，認(rèn)為合肥市火災(zāi)的頻率－經(jīng)濟(jì)損失分布也滿足冪律關(guān)系。王建［10］對城市火災(zāi)的“頻率－損失”分布開展了系統(tǒng)的研究，發(fā)現(xiàn)中日兩國的城市火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失也滿足“頻率－損失”冪律分布。在以上研究中，火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失分布的尾部分布可以用冪律關(guān)系來描述。陸松等人［11］發(fā)現(xiàn)對于死亡人數(shù)不低于3人的火災(zāi)，在經(jīng)濟(jì)損失不大于50萬元時(shí)，“頻率－損失”滿足冪律分布，但對于經(jīng)濟(jì)損失超過50萬元的火災(zāi)，“頻率－損失”的冪律關(guān)系變得不明顯，經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布將不能采用冪律關(guān)系描述。

綜合分析以上研究工作，可以提出如下問題：（1）在上述工作中［8－11］，對數(shù)據(jù)只使用了冪律關(guān)系來擬合，是否存在其他分布能夠從統(tǒng)計(jì)學(xué)上更好地描述火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布未有涉及。（2）Clauset等人［12］指出，通過在雙對數(shù)坐標(biāo)下對“頻率－尺度”進(jìn)行最小二乘法擬合，根據(jù)擬合曲線是否為直線來判斷數(shù)據(jù)是否滿足冪律分布是不精確的。而文獻(xiàn)［8－11］所述的工作，都是通過最小二乘法擬合來判斷是否存在冪律分布。Clauset等人［12］提出了利用最大似然估計(jì)的方法來確定冪律關(guān)系，并得到了廣泛的應(yīng)用。如果使用Clauset等人提出的方法，火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失是否滿足冪律關(guān)系？

為了回答上述問題，將開展如下的工作。第1節(jié)將介紹使用的數(shù)據(jù)；第2節(jié)簡述確定冪律關(guān)系的方法，以及擬合將使用到的4種供選分布（對數(shù)正態(tài)分布，指數(shù)分布，廣延指數(shù)分布和指數(shù)截?cái)鄡缏煞植迹?；?節(jié)將對安徽省火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失、按火災(zāi)原因進(jìn)行分類的經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行冪律分布和其他4種分布的擬合，并分析擬合的結(jié)果；第4節(jié)將對全文進(jìn)行總結(jié)。

1 數(shù)據(jù)

本文將使用2007至2012年由安徽省公安消防部隊(duì)統(tǒng)計(jì)的火災(zāi)數(shù)據(jù)。在中國，除了森林、草原、地下礦井和軍隊(duì)的火災(zāi)以外，其余火災(zāi)都由公安消防部隊(duì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和匯編。安徽省五年間共發(fā)生火災(zāi)34643起。本文主要使用火災(zāi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)。

2 方法

2.1 擬合的分布函數(shù)

本文采用冪律分布、對數(shù)正態(tài)、指數(shù)、廣延指數(shù)和指數(shù)截?cái)鄡缏傻?種分布對火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，下面分別簡介［12，13］：

（1）冪律分布（Power－law distribution）

本文研究的火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失可以認(rèn)為是連續(xù)變量，因此將只介紹各分布的連續(xù)變量形式。設(shè)x為我們分布的變量。連續(xù)的冪律分布可以通過如下的概率密度函數(shù)來表示：

（2）對數(shù)正態(tài)分布（log－normal distribution）

如果一個(gè)隨機(jī)變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，就稱該隨機(jī)變量服從對數(shù)正態(tài)分布。如果X是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則Y＝exp（X）服從對數(shù)正態(tài)分布；反之，如果Y服從對數(shù)正態(tài)分布，則X＝log（Y）服從正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

（3）指數(shù)分布

指數(shù)分布相對較為常見，用于描述泊松過程的時(shí)間間隔，泊松過程中的事件以恒定速率連續(xù)且獨(dú)立發(fā)生。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是：

其中λ＞0，λ被常稱為率參數(shù)（rate parameter），可以表示泊松過程的到達(dá)率。

（4）廣延指數(shù)分布（stretched exponential distribution）

廣延指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是：

其中λ＞0是比例參數(shù)（scale parameter）；β＞0是形狀參數(shù)（shape parameter）。β的值一般都小于等于1。當(dāng)β＝1時(shí)，廣延指數(shù)分布為指數(shù)分布；當(dāng)β＜1時(shí)廣延指數(shù)分布可以認(rèn)為是冪律分布和指數(shù)分布的混合，β的值越小越接近冪律分布，即在雙對數(shù)坐標(biāo)下呈現(xiàn)線性趨勢。

（5）指數(shù)截?cái)鄡缏煞植迹╬ower－law with exponential cutoff）

指數(shù)截?cái)鄡缏煞植伎梢哉J(rèn)為是冪律分布的一種重要變形，其概率密度函數(shù)即為冪律項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)的乘積：

指數(shù)截?cái)鄡缏煞植贾械闹笖?shù)截?cái)囗?xiàng)會(huì)在分布尾部超越冪律行為，占據(jù)主導(dǎo)作用。這樣的分布不是冪律的近似，而是在尾部之前的有限區(qū)域內(nèi)存在近似的標(biāo)度行為。

2.2 模型分析

模型的確定過程涉及到大量的統(tǒng)計(jì)分析的細(xì)節(jié)問題，詳細(xì)過程請參見Clauset等人［12］的詳細(xì)介紹。在此將簡述模型分析的過程：

（1）首先確定參數(shù)xmin和冪律分布的參數(shù)α，使用的方法分別為Kolmogorov－Smirnov統(tǒng)計(jì)和最大似然估計(jì)（Maximum likelihood estimators）。

（2）通過 Kolmogorov－Smirnov統(tǒng)計(jì)計(jì)算得到冪律分布的擬合優(yōu)度。如果p值大于0.1，則冪律分布是個(gè)可信的假設(shè)；否則將拒絕冪律分布的假設(shè)。

（3）通過似然比檢驗(yàn)（Likelihood ratio test）比較冪律分布與其他4種供選分布。對每種供選分布，如果似然比顯著不為零，則通過似然比的符號可以判斷冪律分布與供選分布的優(yōu)劣。其中，似然比是否顯著不為零，可通過p值判斷。如果p≤0.1，則似然比顯著不為零。根據(jù)本文采用的計(jì)算方法，正的似然比表示冪律分布優(yōu)于供選分布，反之亦然。

本文對“經(jīng)濟(jì)損失大于x的火災(zāi)的概率”進(jìn)行冪律擬合，而不是直接擬合原始數(shù)據(jù)的頻率。根據(jù)文獻(xiàn)［14］的研究結(jié)果，直接擬合經(jīng)濟(jì)損失的頻率時(shí)，會(huì)有一個(gè)數(shù)據(jù)離散化的過程，這個(gè)過程會(huì)引入誤差，造成冪律曲線的尾部出現(xiàn)噪聲。而對“經(jīng)濟(jì)損失大于x的火災(zāi)的概率”進(jìn)行擬合，不會(huì)出現(xiàn)上述問題。

3 結(jié)果與討論

對安徽2007至2012年全省火災(zāi)數(shù)據(jù)中每起火災(zāi)的經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行冪律分布擬合?？梢缘玫絻缏煞植嫉南孪辺min＝6.961萬元，冪律指數(shù)為2.002，擬合優(yōu)度的p值為0。因此冪律分布的假設(shè)被拒絕。這個(gè)結(jié)果在圖1中也得到了證實(shí)。如圖1，當(dāng)經(jīng)濟(jì)損失大于100萬元時(shí)，冪律分布曲線嚴(yán)重偏離原始數(shù)據(jù)。

圖1 安徽省火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失分布的冪律分布擬合，冪律擬合曲線的起始點(diǎn)為經(jīng)濟(jì)損失6.69萬元?？v軸表示發(fā)生經(jīng)濟(jì)損失大于x的火災(zāi)的概率Fig.1 Power－law distribution fitting for fire loss in Anhui province.the start point of power－law fitting curve is 66.9thousand Yuan.Y axis denotes the probability of fire with loss＞x

對四個(gè)供選分布，也選擇xmin＝6.961萬元作為下邊界，對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。下面分析4個(gè)供選分布的擬合結(jié)果。表1給出了與冪律分布相比的供選分布的擬合結(jié)果?？梢钥闯?，對4種供選分布，p值都小于0.1，即可以認(rèn)為似然比的值是顯著不等于0的。根據(jù)似然比的結(jié)果，只有指數(shù)分布比冪律分布更不適合該組數(shù)據(jù)，而其他三種供選分布比冪律分布更為合適。對數(shù)正態(tài)分布、廣延指數(shù)分布和指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉乃迫槐戎捣謩e為－2.66、－2.72和－11.35，表明正態(tài)分布和廣延指數(shù)優(yōu)于冪律分布，而指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉臄M合效果最好。因此可以認(rèn)為在5種分布中，指數(shù)截?cái)鄡缏煞植甲钸m于描述安徽省火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布。

表1 與冪律分布相比較，4種供選分布的擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of 4alternative distributions in comparison with power－law distribution

將五種分布對不低于xmin的數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果繪制在一張圖上，可以更直觀地對比五種分布的擬合情況，如圖2所示?？梢钥闯?，指數(shù)分布在整個(gè)區(qū)間上都偏離損失數(shù)據(jù)。冪律分布在經(jīng)濟(jì)損失約為100萬元時(shí)開始偏離損失數(shù)據(jù)。對數(shù)正態(tài)分布、廣延指數(shù)分布和指數(shù)截?cái)鄡缏煞植荚?00萬元時(shí)也開始明顯下降，偏離冪律分布，但擬合效果相對較好。對數(shù)正態(tài)分布、廣延指數(shù)分布和指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉牟顒e在數(shù)據(jù)的末端才顯現(xiàn)出來，指數(shù)截?cái)鄡缏煞植枷陆档乃俾矢臁膱D2中還可看出，即使是指數(shù)截?cái)鄡缏煞植荚跀?shù)據(jù)的最末端也開始偏離原始數(shù)據(jù)，但根據(jù)似然比的值，它依然是五種分布中最優(yōu)的。

省份火災(zāi)數(shù)據(jù)在經(jīng)濟(jì)損失較大時(shí)出現(xiàn)偏離冪律分布的現(xiàn)象是符合實(shí)際火災(zāi)規(guī)律的。如果火災(zāi)的尺度用經(jīng)濟(jì)損來衡量。那么隨著火災(zāi)尺度的增大，火災(zāi)發(fā)生的概率會(huì)低于冪律分布描述的概率。這是因?yàn)榇蟪叨鹊幕馂?zāi)會(huì)受到實(shí)際自然環(huán)境的限制，自然環(huán)境中沒有如此多的可燃物供一場火災(zāi)來燃燒，無法維持火災(zāi)尺度的標(biāo)度不變性，所以大尺度火災(zāi)的發(fā)生概率會(huì)下降。當(dāng)火災(zāi)尺度較小時(shí)，環(huán)境中的可燃物足夠多，能夠維持火災(zāi)尺度的標(biāo)度不變性，表現(xiàn)出冪律分布的現(xiàn)象。

圖2 安徽省火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)尾部分布的擬合比較，尾部的起始點(diǎn)為經(jīng)濟(jì)損失6.69萬元。縱軸表示發(fā)生經(jīng)濟(jì)損失大于x的火災(zāi)的概率Fig.2 Comparison of tail distributions fitting for fire loss in Anhui province.the start point of power－law fitting curve is 66.9thousand Yuan.Y axis denotes the probability of fire with loss＞x

火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部分布對實(shí)際火災(zāi)防治工作也有指導(dǎo)意義。在經(jīng)濟(jì)損失滿足冪律的階段，冪律標(biāo)度指數(shù)α應(yīng)當(dāng)較大，這樣隨著尺度的增加，火災(zāi)發(fā)生概率下降的越快。在高損失階段，應(yīng)當(dāng)使火災(zāi)盡早偏離冪律分布，呈現(xiàn)指數(shù)截?cái)?，進(jìn)而降低高損失火災(zāi)的發(fā)生概率。

表2給出了不同火災(zāi)原因下的火災(zāi)損失數(shù)據(jù)的尾部分布分析結(jié)果。根據(jù)冪律分布的p檢驗(yàn)結(jié)果，只有不明確原因、放火、靜電、生產(chǎn)作業(yè)引起的火災(zāi)可以認(rèn)為滿足冪律分布。在滿足冪律分布的基礎(chǔ)上對比其他4種分布，發(fā)現(xiàn)冪律分布對不明確原因和靜電引起的火災(zāi)的擬合效果最優(yōu)。而對放火和生產(chǎn)作業(yè)引起的火災(zāi)，指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉臄M合效果最優(yōu)。根據(jù)上述結(jié)果，對不明確原因、放火、靜電和生產(chǎn)作業(yè)等4種原因引起的火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失，可以通過對比分析尾部分布規(guī)律，研究他們的火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)槭侵苯油ㄟ^概率分布進(jìn)行研究，結(jié)果將更加直觀和精確。

表2 火災(zāi)原因與火災(zāi)損失尾部分布Table 2 Fire causes and fire loss tail distribution

對其他7種火災(zāi)原因，根據(jù)冪律分布擬合優(yōu)度的p值≤0.1，可以認(rèn)為他們不滿足冪律分布。與4種供選分布比較，指數(shù)截?cái)鄡缏煞植几m合電氣、其他、生活用火不慎和自燃等4種原因；而對雷擊、玩火和吸煙，4種供選分布也無法提供更好的擬合效果。需要采用更多的供選分布，才能描述這些原因下火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失的尾部特點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文采用極大似然估計(jì)對安徽火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行了冪律分布擬合，采用Kolmogorov－Smirnov統(tǒng)計(jì)判斷擬合優(yōu)度，并選擇了4種供選分布作為對比，研究經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)的尾部分布。

對安徽全省火災(zāi)數(shù)據(jù)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)損失大于100萬元時(shí)，數(shù)據(jù)明顯偏離冪律分布，通過p值可以拒絕數(shù)據(jù)服從冪律分布的假設(shè)。在5種分布中，指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉臄M合效果最好，能夠描述數(shù)據(jù)末端偏離冪律行為的現(xiàn)象。指數(shù)正態(tài)分布和廣延指數(shù)分布一定程度上也能描述數(shù)據(jù)末端偏離冪律行為的現(xiàn)象。指數(shù)分布的擬合效果最差。

根據(jù)11種火災(zāi)原因?qū)馂?zāi)經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行分類，并進(jìn)行冪律分布與4種供選分布的擬合。對放火和生產(chǎn)作業(yè)兩類原因，不僅滿足冪律分布，而且指數(shù)截?cái)鄡缏煞植嫉臄M合效果最優(yōu)；不明確原因和靜電兩類原因的火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失僅滿足冪律分布；其他7種火災(zāi)原因?qū)?yīng)的損失數(shù)據(jù)不能通過冪律分布擬合的p值檢驗(yàn)。

與前人對火災(zāi)尺度冪律分布的研究相比，本文采取冪律分布擬合，較直接進(jìn)行頻率直方圖最小二乘擬合更為精確，對是否滿足冪律分布采用p值進(jìn)行判斷。除冪律分布外，本文選擇4種常見的分布作為供選分布，一定程度上回答了“是否有其他分布更合適？”的問題。

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