分?jǐn)?shù)階微分算子增強(qiáng)圖像邊緣和紋理

周昌雄，陶文林，尚 麗，顏廷秦，2，馬國軍

(1．蘇州市職業(yè)大學(xué)電子信息工程系，江蘇蘇州215104;2．蘇州市數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇蘇州215104;3．江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

1 引言

圖像是記錄和傳遞信息的重要載體和手段，由于多種原因，圖像在生成、傳輸和變換的過程中會(huì)產(chǎn)生質(zhì)量下降和特征淹沒現(xiàn)象，對(duì)圖像分析和識(shí)別帶來困難［1－3］。因此，突出圖像中的有用信息，擴(kuò)大圖像中不同物體特征之間的差別，從而改善圖像的視覺效果是圖像增強(qiáng)的目的。目前，人們提出了很多圖像增強(qiáng)的算法，如基于直方圖的增強(qiáng)和基于空域或頻域的增強(qiáng)等。采用基于空域的傳統(tǒng)整數(shù)階微分方法增強(qiáng)圖像的紋理信息，其微分結(jié)果約等于零，必然會(huì)使紋理細(xì)節(jié)大幅衰減，造成圖像的紋理細(xì)節(jié)和邊緣模糊不清［4－6］。因此，既要提升圖像邊緣又要加強(qiáng)紋理細(xì)節(jié)，成為圖像增強(qiáng)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題。

分?jǐn)?shù)階微分是整數(shù)階微分運(yùn)算的推廣，通過對(duì)分?jǐn)?shù)階微分的理論研究發(fā)現(xiàn)，在對(duì)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)算，當(dāng)微分階次小于1時(shí)，既能大幅提升信號(hào)的高頻分量有能加強(qiáng)信號(hào)中的低頻分量，且對(duì)信號(hào)的甚低頻沒有進(jìn)行大幅衰減。相較傳統(tǒng)的整數(shù)階微分圖像增強(qiáng)方法，分?jǐn)?shù)階微分用于圖像增強(qiáng)處理將使圖像邊緣明顯增強(qiáng)、圖像紋理細(xì)節(jié)更加清晰并且非線性保留圖像平滑區(qū)域信息［7－8］。在文獻(xiàn)［4］中運(yùn)用5×5窗口大小，對(duì)灰度圖像和彩色圖像采用不同分?jǐn)?shù)階微分算子增強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)微分階次在0．4～0．6之間圖像的增強(qiáng)效果最好，圖像的邊緣信息和局部紋理細(xì)節(jié)被加強(qiáng)，當(dāng)微分階次大于0．6以后圖像中的噪聲明顯被放大。在文獻(xiàn)［9］中，將5×5窗口分?jǐn)?shù)階微分模板分解為八個(gè)不同方向的小模板，求得像素點(diǎn)周圍八個(gè)方向加權(quán)和的最大值作為該像素點(diǎn)的增強(qiáng)值。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)方法既增強(qiáng)圖像邊緣又豐富了圖像的紋理細(xì)節(jié)信息。圖像像素鄰域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值具有關(guān)聯(lián)性，分?jǐn)?shù)階微分算子模板窗口越小，模板窗口內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值關(guān)聯(lián)性越大。本文提出將3×3模板窗口劃分成四個(gè)方向的小模板，求得中心像素點(diǎn)周圍四個(gè)方向加權(quán)和的最大值作為該中心像素點(diǎn)的增強(qiáng)值，據(jù)此增強(qiáng)圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)信息能獲得較明顯效果。

2 分?jǐn)?shù)階微分原理

2．1 分?jǐn)?shù)階微分頻域性質(zhì)

對(duì)于任意平方可積的能量信號(hào)s(t)∈L2(R)，設(shè)其Fourier變換為S(ω)，則ν階分?jǐn)?shù)微分Dνs(t)的Fourier變換如下:

信號(hào)ν階分?jǐn)?shù)微分Dν算子其特性函數(shù)為:

其中，α(ω)和θ(ω)分別為微分Dν算子的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)，其表達(dá)式如下:

在式(3)幅頻特性函數(shù) α(ω)中，分別取 ν為0．1，0．5，0．8 和1，將 α(ω)數(shù)字化如圖1 所示。

圖1 微分算子的幅頻特性曲線

從圖1中可以看出，微分運(yùn)算有提升高頻信號(hào)的作用，并且隨頻率ω和微分階次ν的增加，幅頻特性曲線呈非線性增長。當(dāng)ν=1為一階微分算子，利用一階微分算子處理圖像雖然能大幅增加圖像邊緣高頻成分，但是對(duì)圖像中灰度變化不大的紋理細(xì)節(jié)信息中低頻部分必然會(huì)大幅的線性衰減，其結(jié)果約等于零。當(dāng)0＜ν＜1時(shí)，其特性曲線為分?jǐn)?shù)階微分特性曲線，與ν=1的直線相比，分?jǐn)?shù)階微分特性曲線在信號(hào)高頻成分增幅小于一階微分算子，而在信號(hào)的中頻和低頻成分增幅大于一階微分算子。因此，可利用分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)圖像的邊緣，同時(shí)增強(qiáng)圖像的紋理。

2．2 分?jǐn)?shù)階微分定義與算子

分?jǐn)?shù)階微分定義有多種，若信號(hào)s(t)∈［a，t］(a＜t，a∈R，t∈R)，當(dāng) ν＞0 時(shí)，信號(hào)s(t)非整型 ν階微分G－L定義表達(dá)式:

針對(duì)二維數(shù)字圖像f(x，y)，定義坐標(biāo)軸(x，y)方向上分?jǐn)?shù)階微分后向差分近似表達(dá)式分別為:

為了實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)，選擇分?jǐn)?shù)階差分定義的前3項(xiàng)作為二階近似值，采用5×5模板:

一般來說，對(duì)M×N的圖像f(x，y)增強(qiáng)，可用m×n大小的模板進(jìn)行對(duì)其線性濾波，增強(qiáng)后的圖像g(x，y)表達(dá)為:

其中，a，b分別為分?jǐn)?shù)階微分算子模板大小在x，y坐標(biāo)軸方向上的半徑。

2．3 改進(jìn)分?jǐn)?shù)階微分算子

根據(jù)式(10)分?jǐn)?shù)階算子增強(qiáng)圖像紋理和邊緣信息，為了使得增強(qiáng)的圖像亮度不發(fā)生較大變化，首先將增強(qiáng)算子歸一化，即W5×5的每項(xiàng)除以(8－12ν+4ν2)，然后用分?jǐn)?shù)階算子增強(qiáng)算子對(duì)圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算。由于在平坦的光滑區(qū)域內(nèi)，相鄰點(diǎn)灰度值基本相同屬于信號(hào)的甚低頻部分，增強(qiáng)后輸出灰度值的變化很小;在圖像紋理區(qū)域，相鄰點(diǎn)灰度值有變化屬于信號(hào)的中、低頻部分，輸出灰度值將加強(qiáng)這種變化;在圖像的邊緣區(qū)域，鄰近的灰度值變化較大屬于信號(hào)的高頻部分，輸出灰度值將大大加強(qiáng)這種變化。最后利用分?jǐn)?shù)階微分算子處理后圖像灰度值與原圖像灰度值相減，得到圖像經(jīng)過分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)信息值，通過對(duì)比分析說明由此獲得的是具有很高信噪比的圖像紋理和邊緣信息。文獻(xiàn)［9］提出將W5×5分成 0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°和315°八個(gè)方向，例如為0°方向增強(qiáng)算子模板，歸一化系數(shù)(1－1．5ν+0．5ν2)。將8個(gè)增強(qiáng)方向的最大值與W5×5增強(qiáng)值相比較，取其最大值視為增強(qiáng)后的圖像。八方向示意圖如圖2所示。

圖2 八方向示意圖

對(duì)于一階近似3×3模板W3×3為:

本文在3×3模板上的水平、垂直、正對(duì)角線和負(fù)對(duì)角線四個(gè)方向上，分別提出四個(gè)小模板分?jǐn)?shù)階微分算子:

為了使得增強(qiáng)的圖像亮度不發(fā)生較大變化，首先將增強(qiáng)算子 DW1，DW2，DW3和DW4歸一化，即模板的每項(xiàng)除以(2－2ν)，各模板中的常系數(shù)值“2”所在的坐標(biāo)(x，y)和待進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分的像素f(x，y)的坐標(biāo)位置必須保持重合，將這4個(gè)方向上的模板上的系數(shù)值分別與輸入的對(duì)應(yīng)像素的灰度值相乘，然后將各自的所有乘積項(xiàng)相加(即加權(quán)求和)，分別得到在這4個(gè)方向上的加權(quán)求和值，取4個(gè)增強(qiáng)方向的最大值視為增強(qiáng)后的圖像。

3 分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)效果對(duì)比

在下面實(shí)驗(yàn)中，分別采用文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［9］和本文算法對(duì)Lena中進(jìn)行圖像增強(qiáng)，其中分?jǐn)?shù)階微分為0．55 階。

文獻(xiàn)［4］運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分二階近似模板，在5×5窗口大小內(nèi)取模板平均值為增強(qiáng)值。文獻(xiàn)［9］將5×5模板劃為八個(gè)方向的小模板，取小模板內(nèi)加權(quán)和的最大值為中心點(diǎn)的增強(qiáng)值。本文改進(jìn)方法運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分一階近似模板，將3×3窗口內(nèi)劃為四個(gè)方向的小模板，取小模板內(nèi)加權(quán)和的最大值為中心點(diǎn)的增強(qiáng)值。從圖3可知，圖3(b)雖能突出邊緣，但對(duì)帽子紋理和頭發(fā)細(xì)節(jié)增強(qiáng)不夠。圖3(c)對(duì)立柱下方的邊緣和帽子紋理和頭發(fā)細(xì)節(jié)增強(qiáng)效果明顯好于圖3(b)。圖3(d)對(duì)邊緣、紋理和細(xì)節(jié)增強(qiáng)效果最好，尤其在圖像右邊的小撮頭發(fā)和白色背景上方的紋理。

由于改進(jìn)方法與中心點(diǎn)是1鄰域，而文獻(xiàn)［9］是2鄰域。鄰域半徑愈大的像素，與中心點(diǎn)像素的相關(guān)性愈小。距離中心點(diǎn)遠(yuǎn)的像素會(huì)抑制中心點(diǎn)的變化，而距離中心點(diǎn)近的像素會(huì)擴(kuò)大中心點(diǎn)的變化趨勢。所以，改進(jìn)方法增強(qiáng)效果明顯好于其他方法。

圖4為圖3中第180行1～50列(在圖3(a)左下方白線位置)的原圖像灰度分布和三種方法增強(qiáng)后的圖像灰度分布。如圖4(a)所示在10～20列之間為立柱左邊邊緣，由于灰度值變化緩慢，圖4(b)雖有增強(qiáng)但增強(qiáng)幅度不大，圖4(c)增強(qiáng)效果較好，圖4(d)增強(qiáng)效果最好。在第30列附近為立柱右邊邊緣，其灰度值變化較快，從圖4可知，圖4(d)增強(qiáng)效果最好，圖4(c)增強(qiáng)效果次之，圖4(b)也有明顯的邊緣增強(qiáng)效果。在第40～50列附近為頭發(fā)細(xì)節(jié)，圖4(d)對(duì)頭發(fā)細(xì)節(jié)增強(qiáng)效果與灰度值變化較快的邊緣增強(qiáng)效果一樣且最好，圖4(c)增強(qiáng)效果次之，而圖4(b)對(duì)頭發(fā)細(xì)節(jié)的增強(qiáng)效果不如對(duì)灰度值變化較快的邊緣。

可見在文獻(xiàn)［4］的方法中運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分5×5模板內(nèi)平均值為增強(qiáng)值，對(duì)邊緣增強(qiáng)效果好于對(duì)紋理和細(xì)節(jié)信息的增強(qiáng)效果。由于邊緣和紋理具有方向性，文獻(xiàn)［9］將5×5模板劃為八個(gè)方向的小模板，取小模板內(nèi)加權(quán)和的最大值為中心點(diǎn)的增強(qiáng)值，對(duì)邊緣和紋理細(xì)節(jié)有同樣的增強(qiáng)效果，但增強(qiáng)不明顯。考慮到邊緣和紋理具有方向性，以及模板窗口越小，模板窗口內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值關(guān)聯(lián)性越大，本文采用3×3模板窗口并將其劃為四個(gè)方向的小模板，取小模板內(nèi)加權(quán)和的最大值為中心點(diǎn)的增強(qiáng)值，對(duì)邊緣和紋理細(xì)節(jié)有同樣的增強(qiáng)效果，且增強(qiáng)幅度最大、效果最明顯。

為定量評(píng)價(jià)圖像增強(qiáng)效果，本文定義圖像清晰度(Definition)如下:

其中，u為各種算法增強(qiáng)后的圖像灰度值;m1，n1，m2，n2為窗口坐標(biāo)。圖像清晰度取值越大表明圖像增強(qiáng)效果越好。表1為Lena圖像以及尺寸為4、方差分別為 0．3，0．5，0．7 高斯模糊后，對(duì)模糊圖像采用三種增強(qiáng)方法增強(qiáng)后的圖像清晰度。從表1可知，三種增強(qiáng)方法對(duì)原圖增強(qiáng)后，本文算法清晰度最大，文獻(xiàn)［9］次之，文獻(xiàn)［4］最差，與圖3的視覺效果相符。隨著高斯模糊方差增加，本文清晰度還是最大，文獻(xiàn)［4］最差，但其清晰度相應(yīng)比對(duì)原圖增強(qiáng)后清晰度小，增強(qiáng)效果差。

表1 圖像清晰度

4 結(jié)束語

本文在G－L分?jǐn)?shù)階微分基礎(chǔ)上構(gòu)造了ν階分?jǐn)?shù)階空域微分增強(qiáng)算子，并用數(shù)字算法實(shí)現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階微分算子。實(shí)驗(yàn)表明，在相同的5×5模板窗口大小中，八方向加權(quán)和的最大值增強(qiáng)算法效果優(yōu)于模板內(nèi)平均值增強(qiáng)效果;模板窗口越小，模板窗口內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值關(guān)聯(lián)性越大，3×3模板窗口四個(gè)方向加權(quán)和最大值增強(qiáng)算法效果最好;本文提出的分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)算子能明顯地增強(qiáng)圖像的紋理和邊緣信息，增強(qiáng)后圖像清晰度提高，視覺效果明顯。

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