埋深對礦山壓力影響的常微分方程解法研究

郭海英，王長建

(1.山西陽泉固莊煤礦，山西 陽泉 045060;2.河南理工大學能源學院，河南 焦作 454000)

在大多情況下，礦山壓力顯現(xiàn)會對采礦工程造成不同程度的危害。為了使礦山壓力顯現(xiàn)對正常的采礦工作不產(chǎn)生影響，必須采取各種措施把礦山壓力顯現(xiàn)控制在一定范圍內(nèi)。以避免造成巨大的人員傷亡和財產(chǎn)損失。因此，事先對各個煤層處的礦山壓力進行估測顯得越來越重要。

礦山壓力現(xiàn)場觀測研究法是在生產(chǎn)現(xiàn)場對礦山壓力大小進行觀測和記錄，利用各種儀表、工具觀測采場圍巖變形、位移、頂?shù)装迤茐?、支架受載荷及壓縮等情況，然后從動態(tài)分析中得出對采場礦山壓力顯現(xiàn)有顯著影響的巖層運動的條件、時間和方向以及采場周圍支承壓力的變化狀況，為解決現(xiàn)場礦山壓力控制問題提供依據(jù)。由于現(xiàn)場觀測獲得的資料反映多種因素的相互作用，用已經(jīng)測得淺部礦山壓力數(shù)據(jù)預測深處礦山壓力的大小，具有可靠方便的特點。故利用這種資料預測分析深部礦山壓力大小較為可靠，效果顯著，越來越為生產(chǎn)現(xiàn)場認可采用。

為此，本文運用常微分方程的數(shù)值解為方法，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，研究得出煤炭埋深與其所受礦山壓力大小的變化規(guī)律，進而對煤炭埋深處的礦山壓力值進行預測，為煤炭開采時開挖巷道所需支護強度進行預測并提供理論依據(jù)。

1 問題分析

某煤礦煤炭賦存深度平均約為500 m，現(xiàn)在需要初步預測煤層處所受的礦山壓力大小。根據(jù)煤層上方0～50 m測量得到一組數(shù)據(jù)，見表1，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)得到此處礦山壓力大小，大體可用微分方程x2+x－y來表示，其中y是井下某煤層處的礦山壓力，x是對應的煤層埋深，且假定地表平面的壓力為零。

2 常微分方程的數(shù)值解法

常微分方程(組)的解是一個函數(shù)或一族函數(shù)。所謂數(shù)值解法就是尋求解函數(shù)自變量的一系列離散點上的近似值。常微分方程的數(shù)值解法很多，常用的是歐拉公式。考慮微分方程的初值問題:

把微分方程中的導數(shù)用折線的斜率代替，得到:

假設對于不同的n有xn+1－xn相同，記為h=xn+1－xn得到y(tǒng)n+1=yn+hf(xn，yn)基本的歐拉公式，其中，h稱為步長。

3 算法的Matlab實現(xiàn)

3.1 實驗數(shù)據(jù)

在本實驗中，礦山工作人員已測得u在50 m內(nèi)的礦山壓力大小，見表1。

表1 50 m內(nèi)礦山壓力大小測量值

3.2 Matlab程序代碼

常微分方程數(shù)值解法Matlab程序:

4 計算結(jié)果及分析

4.1 計算結(jié)果

為了便于對實驗數(shù)據(jù)和數(shù)值解進行比較，在此把實驗中得到的兩種數(shù)據(jù)放在一起，具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 不同u值得到的兩種解析值和數(shù)值

4.2 Matlab圖形

歐拉公式計算的數(shù)值解與解析解示意圖見圖1。

圖1 歐拉公式計算的數(shù)值解與解析解示意圖

4.3 結(jié)果分析

從表2和圖1可知，用數(shù)值法得到的數(shù)據(jù)與用解析方法得到的數(shù)據(jù)基本是一致的，當u=5時，誤差為3，當u=50時，誤差為25。隨著u的增大，數(shù)值解與解析解的誤差也逐漸增大，但是變化量比較小。從圖1可以看出，隨著埋深的增大，礦山壓力的值越來越大，而且，開始時礦山壓力增加比較緩慢，深度越大礦山壓力增長越快。由此得出的礦山壓力變化情況，進而得出不同埋深處所受礦上壓力的大體范圍。在此可以預測u為500 m時，礦山壓力值為21 MPa。

5 結(jié)論

本文運用常微分方程數(shù)值解法，分析了埋深變化對礦山壓力的影響，根據(jù)預測方程得出了不同埋深與其所受礦山壓力大小的關(guān)系，結(jié)果表明:

1)不同埋深的煤層所受的礦山壓力大小不同，埋深越深，所受到的礦山壓力越大。

2)在一定范圍內(nèi)，可以根據(jù)較淺深度的礦山壓力值預測較深處的礦山壓力大小，預測結(jié)果與真實值比較接近。

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