積分法解決公路平面數(shù)據(jù)的精度分析

張立艷

(成都農(nóng)業(yè)科技職業(yè)學(xué)院建筑園林分院，四川成都 611130)

0 引言

公路平面數(shù)據(jù)庫(kù)是利用先進(jìn)的測(cè)量?jī)x器和設(shè)備，去實(shí)現(xiàn)過(guò)去無(wú)法達(dá)到的精度和速度，那么就需要我們優(yōu)化放樣測(cè)量的方法和操作步驟。通過(guò)對(duì)曲線元的曲率特性進(jìn)行分析研究表明，三者都具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，并且切線方位角的變化是曲率沿線路的積分，用積分可以將其轉(zhuǎn)換成可以實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)公式，省去傳統(tǒng)的繁瑣計(jì)算公式以及復(fù)雜的計(jì)算程序，滿足動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)和公路測(cè)量平面數(shù)據(jù)庫(kù)的思想和要求。本文就是利用積分的方法就公路測(cè)量平面數(shù)據(jù)庫(kù)方面進(jìn)行一些探討。

1 傳統(tǒng)法平面數(shù)據(jù)庫(kù)的精度分析及計(jì)算示例

傳統(tǒng)法在計(jì)算公路平面數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)用的公式都相當(dāng)復(fù)雜。我們知道圓曲線和直線都有自己的嚴(yán)密計(jì)算公式，但是緩和曲線就只有近似計(jì)算公式，將原始計(jì)算公式代入并用級(jí)數(shù)展開(kāi)，對(duì)其進(jìn)行定積分就成為普通測(cè)量教學(xué)實(shí)用公式，一般的實(shí)際計(jì)算中，采用此式，并且只取其前兩項(xiàng):

下面我們對(duì)上式進(jìn)行精度分析。

假如我們只取前兩項(xiàng)，我運(yùn)用重慶市南山立交的設(shè)計(jì)資料對(duì)公式進(jìn)行分析:

對(duì)于A匝道來(lái)說(shuō)，起始端是一不完整緩和曲線(R1=193;R2=42.5)，我們利用不完整緩和曲線恢復(fù)程序，對(duì)其進(jìn)行恢復(fù)，可以得到已知數(shù)據(jù):R=42.5;Ls=93.388，將已知數(shù)據(jù)代入上式，并取Li進(jìn)行計(jì)算(見(jiàn)表1)。

表1 傳統(tǒng)公式取前兩項(xiàng)坐標(biāo)計(jì)算

現(xiàn)在，當(dāng)我們?nèi)∪?xiàng)再進(jìn)行同樣的計(jì)算，可得到表2結(jié)果。

表2 傳統(tǒng)法公式取前三項(xiàng)的坐標(biāo)計(jì)算

此公式計(jì)算的誤差如表3所示。

表3 傳統(tǒng)公式取兩項(xiàng)與三項(xiàng)的計(jì)算差值

可見(jiàn)隨著里程Li的逐漸增加，公式的第三項(xiàng)就開(kāi)始出現(xiàn)誤差，并呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，而中誤差竟然達(dá)到17.4 mm之多。雖然其總體相對(duì)誤差為1/4 000，似乎已經(jīng)達(dá)到要求，但局部相對(duì)誤差最大可達(dá)1/200，這顯然是一個(gè)無(wú)法接受的數(shù)據(jù)。而且從以上數(shù)據(jù)可以明顯看出，緩和曲線上任意點(diǎn)到緩和曲線起點(diǎn)的距離較小時(shí)，此公式計(jì)算精度較高，當(dāng)里程較大時(shí)就會(huì)出現(xiàn)4倍/10 m的增長(zhǎng)勢(shì)頭，在不到100 m的曲線段上就能夠產(chǎn)生近±5 cm的誤差。從上面的一些數(shù)據(jù)不難看出，在以前的計(jì)算方法中，公式取項(xiàng)應(yīng)足夠多。

2 積分法平面數(shù)據(jù)庫(kù)的精度分析及計(jì)算示例

積分的主要優(yōu)勢(shì)是數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一，這為公路線形的設(shè)計(jì)和計(jì)算帶來(lái)了很大方便。其數(shù)學(xué)模型是根據(jù)對(duì)曲線元的曲率變化和曲線元上任一點(diǎn)切線方位角的分析、總結(jié)，在通過(guò)構(gòu)造數(shù)值積分(一種被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上函數(shù)值推算積分近似值的有效方法)通式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，可用隱函數(shù)表示為:

此公式是可積的，還可以用復(fù)合辛普森公式表示。

為了求出函數(shù)的余項(xiàng)，我們可將上式也表示成如下隱函數(shù)的形式:

此函數(shù)的余項(xiàng)為:

經(jīng)反復(fù)試算，當(dāng)m=6時(shí)，一般長(zhǎng)度的曲線計(jì)算精度都可達(dá)到±1 mm。當(dāng)計(jì)算長(zhǎng)度確實(shí)很大的時(shí)候，可適當(dāng)?shù)膶的取值增大，這比傳統(tǒng)法的計(jì)算精度要高得多。

3 積分法、傳統(tǒng)法相對(duì)設(shè)計(jì)資料的精度估算

現(xiàn)在我們就利用重慶市南山立交橋AA匝道的設(shè)計(jì)資料，先后用積分法建立的公路工程平面數(shù)據(jù)庫(kù)和傳統(tǒng)法建立的公路工程平面數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行詳細(xì)的對(duì)比，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果同設(shè)計(jì)資料進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)行精度估計(jì)。

3.1 已知數(shù)據(jù)輸入比較

1)AA匝道線路見(jiàn)圖1。

2)已知數(shù)據(jù)輸入見(jiàn)表4。

表4 積分法和傳統(tǒng)法對(duì)AA匝道已知數(shù)據(jù)輸入比較

圖1 AA匝道線路圖

從以上數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比看來(lái)，積分法在輸入已知數(shù)據(jù)時(shí)少且精簡(jiǎn)。尤其是對(duì)于工程用的可編程計(jì)算器CASIO fx-4800來(lái)說(shuō)，減少了數(shù)據(jù)對(duì)內(nèi)存的占用，為其他工程建庫(kù)提供更多資源。對(duì)于曲線的左右偏問(wèn)題，不再是用轉(zhuǎn)角的正負(fù)來(lái)控制，而是用曲線長(zhǎng)度±Ls進(jìn)行控制，從此，減少了對(duì)曲線轉(zhuǎn)角的輸入。從以上資料可以發(fā)現(xiàn)，在曲線的起點(diǎn)數(shù)據(jù)上，兩種方法輸入的數(shù)值不同。傳統(tǒng)法是對(duì)不完整緩和曲線進(jìn)行恢復(fù)后的數(shù)據(jù)，并且恢復(fù)后的JD1坐標(biāo)應(yīng)該為:X1=68 217.736，Y1=66 802.725，而上面數(shù)據(jù)為:X1=68 217.751，Y1=66 802.719，傳統(tǒng)法數(shù)據(jù)庫(kù)里面，必須對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行改動(dòng)，否則計(jì)算數(shù)值跟設(shè)計(jì)資料不相符，這也是傳統(tǒng)法的一個(gè)很大的缺點(diǎn)。而利用積分法建庫(kù)時(shí)，就無(wú)須修改任何數(shù)據(jù)，直接按照設(shè)計(jì)資料對(duì)應(yīng)輸入即可。

3.2 在計(jì)算逐樁坐標(biāo)上與設(shè)計(jì)資料的比較

表5 AA匝道部分樁坐標(biāo)表比較

由表5表明，傳統(tǒng)法數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算的數(shù)據(jù)中誤差是積分法數(shù)據(jù)庫(kù)的3倍。

4 結(jié)語(yǔ)

積分法建立的平面數(shù)據(jù)庫(kù)的優(yōu)勢(shì)明顯強(qiáng)過(guò)傳統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)，尤其適合野外作業(yè)，因?yàn)?，?dāng)前科技的發(fā)展，使得積分不再是一件難事，用CASIO計(jì)算器即可解決。所以，為了發(fā)揚(yáng)積分法建庫(kù)，我們必須將數(shù)據(jù)庫(kù)程序移植到可編程計(jì)算器上。現(xiàn)在我可以用VB程序解決積分法平面數(shù)據(jù)庫(kù)建立問(wèn)題，又可以用CASIO fx-4800可編程計(jì)算器解決傳統(tǒng)和積分兩種方法的平面數(shù)據(jù)庫(kù)建立問(wèn)題。

［1］李青岳.工程測(cè)量學(xué)［M］.北京:測(cè)繪出版社，2003.

［2］李松青，張維全，周亦唐.道路勘測(cè)設(shè)計(jì)［M］.第2版.重慶:重慶大學(xué)出版社，1995.

［3］陳學(xué)東，常 丹.Visual Basic 6.0程序設(shè)計(jì)教程［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.

［4］劉培文.道路幾何設(shè)計(jì)［M］.北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

［5］李全信.確定地面點(diǎn)與線路中線相對(duì)位置關(guān)系的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型［J］.測(cè)繪通報(bào)，2002(8):28-30.

［6］曹智翔，周祖淵.一種直線放樣道路邊線的方法［J］.四川測(cè)繪，1997(4):15-16.

［7］宋 文.公路施工測(cè)量［M］.北京:人民交通出版社，2001.

［8］朱照宏.公路計(jì)算機(jī)輔助工程［M］.北京:人民交通出版社，2000.

［9］武漢測(cè)繪科技大學(xué)測(cè)量平差教研室.測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.第3版.北京:北京測(cè)繪出版社，1996.

［10］李孟山，李少元.計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的復(fù)化辛普森公式［J］.測(cè)繪通報(bào)，2002(1):19-21.

［11］李立法.數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京:高等教育出版社，1996.