SH 波入射凹陷半球形谷地的數(shù)值分析

瞿宗新 蔣 格

(南京航空航天大學(xué)土木工程系，江蘇南京 210016)

給定輸入波動(dòng)，研究散射體及其附近介質(zhì)中的動(dòng)力反應(yīng)稱(chēng)為散射問(wèn)題。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的分析可以采用解析法和數(shù)值法求解。解析法主要有波函數(shù)展開(kāi)法，數(shù)值法主要有邊界積分法、有限元法和有限差分法等［1］。

局部地形對(duì)彈性波散射問(wèn)題的精確解極為有限，其中有半圓形、半橢圓凹陷地形對(duì)平面SH波散射的級(jí)數(shù)解和半圓形凸起地形對(duì)平面SH波散射的解答。原則上講，數(shù)值法可應(yīng)用于各種不規(guī)則地形［2］。

波動(dòng)的時(shí)域數(shù)值模擬具有廣闊的應(yīng)用前景，完善這一數(shù)值模擬技術(shù)的主要問(wèn)題是在保證結(jié)果可靠的基礎(chǔ)上提高計(jì)算效率，而就算法而言，提高計(jì)算效率的重要途徑是發(fā)展顯示方法。采用集中質(zhì)量方法，并通過(guò)時(shí)域顯示積分構(gòu)成的一種顯示集中質(zhì)量有限元技術(shù)，這一技術(shù)能夠大大的提高計(jì)算效率［3］。

本論文考慮地震波斜入射情形，通過(guò)理論分析、數(shù)值模擬，來(lái)實(shí)現(xiàn)SH波入射三維凹陷半球形谷地的數(shù)值分析方法。本文最后給出了分析算例和數(shù)值結(jié)果，并對(duì)其進(jìn)行了討論。

1 基本原理

1.1 控制方程

地震波入射到土體介質(zhì)的一個(gè)速度異常區(qū)，除了有入射的平面波外，還會(huì)產(chǎn)生從異常區(qū)各個(gè)方向傳播的散射波，包括反射、折射波等，這個(gè)異常區(qū)也稱(chēng)之為散射體。在xy平面內(nèi)，SH波所表示的位移u(x，y，t)與xy平面垂直。在一般常態(tài)下，位移函數(shù)u(x，y，t)滿足運(yùn)動(dòng)方程:

應(yīng)力和應(yīng)變方程為:

1.2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

將半空間無(wú)限均勻地基介質(zhì)內(nèi)的一有限土體通過(guò)有限元軟件離散成八結(jié)點(diǎn)實(shí)體單元。并劃分為兩個(gè)區(qū)域，即內(nèi)部計(jì)算區(qū)和人工邊界區(qū)(如圖1所示)，單元結(jié)點(diǎn)分為內(nèi)結(jié)點(diǎn)、人工邊界點(diǎn)、與基礎(chǔ)相聯(lián)的點(diǎn)這三類(lèi)［5］。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，采用集中質(zhì)量有限元法，內(nèi)結(jié)點(diǎn)的振動(dòng)方程如下:

其中，uI為內(nèi)結(jié)點(diǎn)I的位移向量;uI為速度向量;uI為加速度向量;N為與I結(jié)點(diǎn)相鄰的其他結(jié)點(diǎn)總數(shù);MI為內(nèi)結(jié)點(diǎn)I的質(zhì)量矩陣;KIL，CIL分別為結(jié)點(diǎn)I與相鄰結(jié)點(diǎn)L之間的剛度矩陣和阻尼矩陣;FI為結(jié)點(diǎn)I所承受的外荷載向量。

圖1 模型示意圖

由顯式差分格式:

則式(4)變成:

1.3 SH波散射數(shù)值模擬的基本步驟

1)前處理過(guò)程:進(jìn)行土體模型的建模和網(wǎng)格劃分，將單元和結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)據(jù)導(dǎo)出，并提取出人工邊界結(jié)點(diǎn);

2)自由場(chǎng)位移的計(jì)算:利用傳遞矩陣法，計(jì)算出人工邊界區(qū)的自由場(chǎng)響應(yīng)，將其作為計(jì)算土層動(dòng)力反應(yīng)時(shí)該邊界的輸入;

圖2 輸入脈沖的波形圖

圖3 輸入脈沖的幅值頻譜圖

3)質(zhì)點(diǎn)總位移的計(jì)算:將自由場(chǎng)響應(yīng)作為輸入，并利用集中質(zhì)量有限元方法，通過(guò)顯示數(shù)值積分方法來(lái)計(jì)算區(qū)域內(nèi)結(jié)點(diǎn)的總位移場(chǎng)。對(duì)于側(cè)邊界區(qū)的質(zhì)點(diǎn)單元，通過(guò)總位移場(chǎng)減去自由場(chǎng)得到質(zhì)點(diǎn)的散射場(chǎng)，根據(jù)透射公式可以得到邊界區(qū)下一時(shí)步的散射場(chǎng)，再加上自由場(chǎng)位移可得到邊界結(jié)點(diǎn)下一時(shí)步的總位移［6］。而底邊界可以依據(jù)線性波動(dòng)傳播直接給出入射場(chǎng)，進(jìn)而得到底邊界區(qū)的散射場(chǎng)，再利用透射公式進(jìn)行求解。

2 算例

為了驗(yàn)證此數(shù)值方法的有效性，我們?nèi)∫粋€(gè)模型，模型形式為三維凹陷半球體的長(zhǎng)方體均勻介質(zhì)土體模型，如圖1所示。并將所得的結(jié)果與解析解進(jìn)行對(duì)比分析驗(yàn)證。

2.1 模型參數(shù)

圖4 圖形結(jié)構(gòu)示意圖

選取人工計(jì)算區(qū)域?yàn)?0 m×80 m×40 m的長(zhǎng)方體均勻介質(zhì)，以上表面中心為球形的半球體部分為凹陷土體，半徑為10 m。將距邊界10 m范圍以?xún)?nèi)的介質(zhì)取為人工邊界區(qū)。介質(zhì)的剪切波速和質(zhì)量密度分別為 cvs=400 m/s，ρv=3 000 kg/m3，彈性模量E=1.248 ×109Pa，泊松比 v=0.25，阻尼比 ξ=0.02。

通過(guò)ANSYS軟件進(jìn)行建模，模型采用八結(jié)點(diǎn)單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。在模型左下角處輸入脈沖位移，脈沖寬度為0.2 s，時(shí)間步距為0.000 5 s，計(jì)算時(shí)步為8 192步，有限單元的大小取為1 m×1 m×1 m，有限單元模型的總結(jié)點(diǎn)數(shù)為267 311個(gè)，模型單元總數(shù)為254 040個(gè)(見(jiàn)圖1)。

本算例主要給出圖1中A，F(xiàn)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)位置的位移響應(yīng)時(shí)程圖和頻譜圖。E為半球形球心，坐標(biāo)為(40，40，0)。其余各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為 A(0，40，0)，F(xiàn)(50，40，0)。

輸入脈沖位移的波形圖和輸入脈沖位移的幅值譜圖分別見(jiàn)圖2，圖3。

2.2 圖形結(jié)果

圖形結(jié)果見(jiàn)圖4。

2.3 結(jié)果分析

由波動(dòng)理論可知，當(dāng)SH波入射自由表面時(shí)，不論入射角和入射波頻率的差異，自由表面的響應(yīng)(位移，速度，加速度)總是入射波的兩倍，也就是自由表面的動(dòng)力放大因子為2［7，8］。由圖4可知，波峰的峰值都接近于2，與理論解相符合。

通過(guò)比較30°和60°下A，F(xiàn)兩點(diǎn)的位移時(shí)程曲線和不同頻率下表面各點(diǎn)的放大系數(shù)圖，可以得出如下結(jié)論:

1)SH波以不同角度入射時(shí)，這點(diǎn)的位移反映波形和達(dá)到波峰的時(shí)刻均不同。SH波以一定角度入射時(shí)，不同點(diǎn)的位移波形也不同，波形起始時(shí)刻與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)。

2)位于散射體附近點(diǎn)的放大系數(shù)明顯高于周?chē)囊恍c(diǎn)。隨著無(wú)量綱頻率的增加，譜放大系數(shù)的變化越來(lái)越復(fù)雜。

3 結(jié)語(yǔ)

本文實(shí)現(xiàn)了一種對(duì)SH波散射三維凹陷半球形谷地問(wèn)題的數(shù)值解法，并通過(guò)計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了方法的可行性。算例中給出了SH波分別以30°角和60°角斜入射三維凹陷半球形谷地時(shí)表面一些點(diǎn)的位移時(shí)程圖和放大系數(shù)圖。該數(shù)值方法具有簡(jiǎn)便高效的優(yōu)點(diǎn)，比傳統(tǒng)的解析方法更具有優(yōu)越性。該數(shù)值計(jì)算方法在土體—結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

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