傾轉(zhuǎn)機(jī)身無(wú)人機(jī)俯仰角奇異問(wèn)題研究

路平, 肖文健

(軍械工程學(xué)院 無(wú)人機(jī)工程系, 河北 石家莊 050003)

傾轉(zhuǎn)機(jī)身無(wú)人機(jī)俯仰角奇異問(wèn)題研究

路平, 肖文健

(軍械工程學(xué)院 無(wú)人機(jī)工程系, 河北 石家莊 050003)

針對(duì)傳統(tǒng)四元數(shù)向歐拉角轉(zhuǎn)換公式的奇異性,分析了尾坐式垂直起降無(wú)人機(jī)在傾轉(zhuǎn)機(jī)身時(shí)俯仰角奇異的問(wèn)題,提出一種新的四元數(shù)向歐拉角轉(zhuǎn)換方法。將雙歐法與四元數(shù)法相結(jié)合,利用正歐拉角與反歐拉角奇異倒掛的特點(diǎn),克服了傳統(tǒng)四元數(shù)向歐拉角轉(zhuǎn)換時(shí)俯仰角出現(xiàn)的奇異性。仿真結(jié)果表明,該方法實(shí)現(xiàn)了俯仰角在全角度范圍的變化,有效地解決了尾坐式垂直起降無(wú)人機(jī)在傾轉(zhuǎn)機(jī)身時(shí)俯仰角奇異的問(wèn)題。

傾轉(zhuǎn)機(jī)身; 四元數(shù); 雙歐法; 奇異性; 全角度

0 引言

垂直起降飛行器對(duì)跑道無(wú)依賴(lài),且具有可懸停的優(yōu)勢(shì);與傳統(tǒng)直升機(jī)相比,垂直起降飛行器具有更高的前飛速度、更遠(yuǎn)的航程。正因?yàn)榫邆溥@些優(yōu)點(diǎn),垂直起降飛行器尤其適用于需要懸?；?qū)ζ鸾祱?chǎng)地有特殊要求的場(chǎng)合。目前,垂直起降飛行器有許多種類(lèi),如英國(guó)的“鷂”式垂直起降飛機(jī)、美軍的V-22雙傾轉(zhuǎn)旋翼飛機(jī)。“鷂”式飛機(jī)通過(guò)調(diào)整尾噴管方向來(lái)實(shí)現(xiàn)垂直起降,V-22則通過(guò)安裝在飛機(jī)上部?jī)蓚?cè)的兩個(gè)可傾轉(zhuǎn)旋翼來(lái)實(shí)現(xiàn)這一功能。最近,一種新型尾坐式垂直起降方案引起人們的關(guān)注,采用機(jī)尾坐地式垂直起飛,達(dá)到一定高度后轉(zhuǎn)入平飛。降落時(shí)先爬升且機(jī)頭向上,隨后減小推力垂直降落。這種方式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕,尤其適用于不必考慮空乘人員生理極限的無(wú)人機(jī)。這種尾坐式無(wú)人機(jī)在起飛時(shí)俯仰角接近或超過(guò)90°,此時(shí)歐拉角定義的奇異性將給飛行器姿態(tài)的解算帶來(lái)一系列問(wèn)題。目前,克服歐拉角奇異性的方法主要有四元數(shù)法和雙歐法等。捷聯(lián)慣導(dǎo)多采用四元數(shù)來(lái)表示飛行器姿態(tài),這樣可以避免歐拉角帶來(lái)的奇異。但是由于歐拉角比四元數(shù)更加直觀,往往要將四元數(shù)轉(zhuǎn)換為歐拉角,而在傳統(tǒng)四元數(shù)向歐拉角轉(zhuǎn)換的過(guò)程中又引入了奇異[1]。20世紀(jì)70年代末,中國(guó)的科技工作者提出了解決歐拉方程奇異性的雙歐法,并從理論上對(duì)此方法進(jìn)行了深入的論證,研究和計(jì)算結(jié)果表明,應(yīng)用雙歐法能夠有效解決歐拉角的奇異問(wèn)題[2-3]。但是,雙歐法在解正反歐拉方程時(shí)會(huì)涉及大量三角函數(shù)計(jì)算,顯然對(duì)于多采用嵌入式系統(tǒng)的微小型飛行器很難快速完成這么大的計(jì)算量。

本文將討論如何將四元數(shù)法與雙歐法相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)俯仰、滾轉(zhuǎn)和航向三軸歐拉角的全角度測(cè)量,以解決尾坐式垂直起降無(wú)人機(jī)在傾轉(zhuǎn)機(jī)身時(shí)俯仰角奇異的問(wèn)題。

1 奇異性研究

1.1 尾坐式無(wú)人機(jī)起降原理

尾坐式無(wú)人機(jī)采用尾坐式停放,以直升機(jī)模式垂直起飛。達(dá)到允許高度后,自動(dòng)傾斜器前傾并配合升降副翼下偏,由此產(chǎn)生低頭力矩使無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)入固定翼飛機(jī)模式平飛。降落時(shí),無(wú)人機(jī)爬升并使機(jī)頭豎直向上,然后協(xié)調(diào)減小旋翼總距及轉(zhuǎn)速,緩慢垂直下降直至著陸。起降過(guò)程如圖1所示。

圖1 尾坐式無(wú)人機(jī)起降過(guò)程Fig.1 Process of tail seated UAV taking off and landing

從圖1可以看出,這種垂直起降的無(wú)人機(jī)起降時(shí)機(jī)頭垂直向上,俯仰角接近甚至超過(guò)90°,而通常俯仰角的定義為-90°～90°。當(dāng)俯仰角接近或者超過(guò)90°時(shí),歐拉角法或四元數(shù)法在解算姿態(tài)角時(shí)都會(huì)不同程度地出現(xiàn)奇異問(wèn)題,這給無(wú)人機(jī)飛行姿態(tài)的解算帶來(lái)很大問(wèn)題。

1.2 歐拉角法

確定載體的姿態(tài),就是確定載體坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系之間的關(guān)系。在起始時(shí)刻兩坐標(biāo)系重合,經(jīng)過(guò)繞z-y-x三軸轉(zhuǎn)動(dòng)到達(dá)新的坐標(biāo)系,稱(chēng)三次轉(zhuǎn)動(dòng)角ψ,θ,φ為正歐拉角。由文獻(xiàn)[4]提供的載體坐標(biāo)系中角速度與正歐拉角的關(guān)系式得到正歐拉方程為:

(1)

由式(1)可以看出,當(dāng)俯仰角θ趨近±90°時(shí),第二項(xiàng)將趨于無(wú)窮而無(wú)法計(jì)算。當(dāng)θ趨近0°或±180°時(shí),方程解的精度較高。

當(dāng)確定載體的姿態(tài)時(shí),選取另一套與上述正歐拉角轉(zhuǎn)動(dòng)順序不同的歐拉角θr,ψr,φr,其轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)閥-z-x,稱(chēng)此歐拉角為“反歐拉角”,為了與上述正歐拉角區(qū)別用下標(biāo)r表示。其對(duì)應(yīng)的“反歐拉方程”為[5]:

(2)

由式(2)可以看出,僅對(duì)反歐拉方程而言,也存在奇異性問(wèn)題。當(dāng)偏航角ψr趨近±90°時(shí),第一項(xiàng)將趨于無(wú)窮而無(wú)法計(jì)算,方程出現(xiàn)奇異性。當(dāng)ψr趨近0°或±180°時(shí),方程解的精度較高。

1.3 四元數(shù)法

四元數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程[6]為:

(3)

式中,q0,q1,q2,q3為描述飛行器姿態(tài)的四元數(shù);ωx,ωy,ωz分別為飛行器繞x,y,z軸的角速度。

由于式(3)為線性微分方程組,所以沒(méi)有奇異性。但是四元數(shù)描述飛行器姿態(tài)不夠直觀,當(dāng)求出四元數(shù)q0,q1,q2,q3的值時(shí),很難直觀反映出此時(shí)飛行器的姿態(tài)。所以通常把四元數(shù)轉(zhuǎn)化為歐拉角,其轉(zhuǎn)化公式為:

(4)

由式(4)可知,俯仰角只能在-90°～90°之間取值,若俯仰角超過(guò)這個(gè)范圍,則出現(xiàn)奇異。

2 全角度姿態(tài)角解算方法分析

由1.2節(jié)中對(duì)正反歐拉角的分析可以看出,正反歐拉方程都存在奇異性的問(wèn)題,但兩個(gè)出現(xiàn)奇異性的位置并不一樣。如果綜合考慮,能夠避免歐拉方程在奇異處求解,即為“雙歐法”[7]。

將出現(xiàn)奇異的角度附近區(qū)域稱(chēng)為奇異區(qū),歐拉方程解的精度較高區(qū)域稱(chēng)為精華區(qū)。如果以±45°和±135°為界,可將0°～360°的區(qū)域按圖2所示劃分。

從圖2可以看出,正、反歐拉方程之間精華區(qū)和奇異區(qū)存在倒掛的關(guān)系。雙歐法正是基于這種思想并利用了這種倒掛關(guān)系,既擺脫了單組歐拉方程會(huì)出現(xiàn)奇異性的困難,又運(yùn)用正、反歐拉方程的精華區(qū)提高了解算精度。

圖2 正、反歐拉方程精華區(qū)與奇異區(qū)Fig.2 Essence and singular area of Euler equation

利用雙歐法雖然能解決姿態(tài)解算時(shí)出現(xiàn)的奇異性問(wèn)題,但是采用歐拉角進(jìn)行姿態(tài)解算會(huì)涉及大量三角函數(shù)的運(yùn)算,影響了算法的實(shí)時(shí)性。通過(guò)1.3節(jié)的分析可以看出,在四元數(shù)進(jìn)行姿態(tài)解算時(shí)沒(méi)有過(guò)多的三角函數(shù)運(yùn)算,且在計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)奇異,僅在四元數(shù)轉(zhuǎn)歐拉角時(shí)引入了奇異性。所以采用四元數(shù)進(jìn)行姿態(tài)解算,在四元數(shù)轉(zhuǎn)歐拉角時(shí),借鑒雙歐法的思路來(lái)解決出現(xiàn)奇異的問(wèn)題。

由正歐拉角表示的從大地坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的變換矩陣[8-9]見(jiàn)式(5),由反歐拉角表示的從大地坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的變換矩陣見(jiàn)式(6)。

(5)

(6)

由四元數(shù)表示的從大地坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的變換矩陣為:

(7)

因?yàn)閺拇蟮刈鴺?biāo)系到載體坐標(biāo)系的變換矩陣是唯一的,所以式(5)、式(6)和式(7)的右端矩陣相等,由此可以得到不同的四元數(shù)與歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系。四元數(shù)與正歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系為式(4),與反歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系見(jiàn)式(8),通過(guò)式(4)和式(8)把四元數(shù)與雙歐法結(jié)合起來(lái)。

(8)

在姿態(tài)解算過(guò)程中采用四元數(shù)法,避免了雙歐拉角法中三角函數(shù)運(yùn)算量大的問(wèn)題;在解算結(jié)果輸出過(guò)程中,通過(guò)采用雙歐法推出不同條件下的歐拉角轉(zhuǎn)換公式,避免了奇異性問(wèn)題的出現(xiàn)。

3 全角度姿態(tài)角解算流程

全角度姿態(tài)角解算過(guò)程包括兩套四元數(shù)轉(zhuǎn)歐拉角的運(yùn)算。四元數(shù)更新過(guò)程依據(jù)上一次四元數(shù)以及當(dāng)前傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行更新運(yùn)算,與解算出的歐拉角無(wú)關(guān)。當(dāng)俯仰角的變化超過(guò)±45°時(shí)，將引起兩套四元數(shù)轉(zhuǎn)歐拉角公式的變換。因?yàn)榍昂髢纱巫藨B(tài)角解算之間俯仰角的變化非常小,所以在算法中采用上一次的俯仰角作為判斷。其具體求解流程如圖3所示。

圖3 全角度姿態(tài)角解算流程圖Fig.3 Full-scale attitude angle resolving process

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

本文以某微小型無(wú)人機(jī)的航姿測(cè)量系統(tǒng)為平臺(tái),進(jìn)行姿態(tài)解算得出姿態(tài)角。該系統(tǒng)由控制器、陀螺儀、加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)組成,控制器通過(guò)采集傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行姿態(tài)解算,并得出姿態(tài)角。為了驗(yàn)證該全角度姿態(tài)解算方法的效果,先不加入上述算法,直接將系統(tǒng)解算出的四元數(shù)轉(zhuǎn)換為歐拉角輸出。保持滾轉(zhuǎn)角和偏航角為零,逐漸增大俯仰角,并記錄三個(gè)歐拉角的變化情況;然后在系統(tǒng)中加入上述全角度姿態(tài)解算方法后,進(jìn)行同樣的仿真,并記錄此時(shí)三個(gè)歐拉角的變化情況。記錄仿真結(jié)果如圖4所示。圖中，姿態(tài)角采用不同線型表示,新方法通過(guò)加點(diǎn)以示區(qū)別。

圖4 姿態(tài)角變化曲線Fig.4 Change of attitude angle

從圖4可以看出,采用傳統(tǒng)的方法,當(dāng)俯仰角接近90°時(shí),滾轉(zhuǎn)角和航向角均出現(xiàn)突變,從0°分別變到-180°和180°。加入本文所述算法后，系統(tǒng)俯仰角在90°時(shí)沒(méi)有了奇異性;俯仰角接近90°時(shí),滾轉(zhuǎn)角和航向角均沒(méi)有出現(xiàn)突變的現(xiàn)象。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該算法對(duì)俯仰角大幅度變化的跟蹤性能,首先設(shè)定俯仰角持續(xù)跟蹤幅度為175°的正弦信號(hào),觀測(cè)俯仰角輸出以及誤差情況,結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出,在俯仰角幅度連續(xù)大范圍變化中,系統(tǒng)俯仰角跟蹤效果良好,誤差始終保持在±0.5°以?xún)?nèi)。

圖5 俯仰角大范圍變化跟蹤曲線Fig.5 Tracking of pitch angle variation in wide range

5 結(jié)束語(yǔ)

將四元數(shù)與雙歐法相結(jié)合可以有效地解決俯仰角在全角度范圍內(nèi)變化的跟蹤問(wèn)題,并且誤差較小。此算法結(jié)合了四元數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單、歐拉角表示直觀的優(yōu)點(diǎn),有效地解決了尾坐式垂直起降無(wú)人機(jī)在傾轉(zhuǎn)機(jī)身時(shí)俯仰角奇異的問(wèn)題,并且對(duì)于其他俯仰角變化幅度較大的飛行器也有借鑒價(jià)值。

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ResearchonthepitchanglesingularityproblemoftiltingfuselageofUAV

LU Ping, XIAO Wen-jian

(Department of Unmanned Aerial Vehicle Engineering, Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003, China)

For the singularity problem of transformation between quaternion and Euler, the pitch angle is singular when the vertical takeoff and landing (VTOL) UAV tilts the fuselage. A new transformation way between quaternion and Euler was proposed. This method utilized the inverse relationship between the ordinary and the reversed Euler equations and solved the singularity problem successfully. Simulation results show that this method could calculate the pitch angle in the full-scale and effectively solve the singularity problem when the VTOL UAV tilts the fuselage.

tilting fuselage; quaternion; Dual-Euler method; singularity; full-scale

V249.1

A

1002-0853(2013)05-0429-04

2013-01-23;

2013-04-06; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2013-08-21 16:14

路平(1961-)，男，河北石家莊人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊o(wú)人機(jī)通信鏈路與導(dǎo)航；肖文健(1989-)，男，河北張家口人，碩士研究生，研究方向?yàn)闊o(wú)人機(jī)姿態(tài)測(cè)量。

(編輯：李怡)