無(wú)碴軌列車引起的豎向振動(dòng)在土體中的傳播研究

廖袖鋒，黃賓，葛勇

（1重慶市合川區(qū)建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督站，重慶 401520；2宜賓市建設(shè)工程質(zhì)量安全監(jiān)督站，四川宜賓 644000；3四川省雅安市城鄉(xiāng)規(guī)劃建設(shè)和住房保障局，四川雅安 625000）

0 引言

城市軌道交通和高速鐵路的發(fā)展，加劇了軌道交通對(duì)環(huán)境振動(dòng)的影響。近年來(lái)，普通公眾、政府以及學(xué)者[1]都逐漸開始關(guān)注軌道交通引起的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題。隨著人們對(duì)生活環(huán)境的要求越來(lái)越高，加強(qiáng)對(duì)軌道交通的環(huán)境振動(dòng)的控制就成為必然。

列車運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)，其實(shí)質(zhì)是土體受到列車振動(dòng)激勵(lì)后，周邊土體質(zhì)點(diǎn)先后發(fā)生振動(dòng)，由軌道向附近傳遞振動(dòng)的過(guò)程。振動(dòng)在土層介質(zhì)中的傳播，是能量的傳播過(guò)程。高速列車等軌道交通運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)是以應(yīng)力波傳播[2]的形式傳播的，其振動(dòng)特性及振動(dòng)強(qiáng)度與土的剛度及幾何特性等因素有關(guān)。通常將應(yīng)力波分為彈性波和塑性波，彈性波是指其應(yīng)變沒有超過(guò)土體的彈性極限，而塑性波則是其應(yīng)變超過(guò)了土體的彈性極限，塑性波在傳播的過(guò)程中波形會(huì)發(fā)生變化。申躍奎[3]等認(rèn)為當(dāng)土的應(yīng)變?chǔ)?10-4時(shí)，土體處于理想彈性狀態(tài)，土體骨架發(fā)生變形后能自動(dòng)恢復(fù)。在土地的動(dòng)力響應(yīng)分析過(guò)程中可以采用等效線性模型。盡管在列車運(yùn)行過(guò)程中，塑性變形可能會(huì)出現(xiàn)在靠近軌道區(qū)域的土體中，但由于土體的振動(dòng)幅值相對(duì)較小，所以將土體作為彈性介質(zhì)考慮，認(rèn)為其處于彈性階段。Kurzweil[4]研究了不同土層在列車運(yùn)行引起振動(dòng)時(shí)振動(dòng)波的衰減特性、傳播路徑等。青木一郎[5]研究了列車運(yùn)行引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)發(fā)生的機(jī)理。Hayakawa[6]對(duì)振動(dòng)波在地面和地表以下的傳播規(guī)律進(jìn)行了研究。有限元-邊界元耦合法[7]、位移邊界元法[8]、有限元-邊界元分析法[9]都常常用于研究列車運(yùn)行引起的振動(dòng)。在國(guó)內(nèi)夏禾[13]等分別建立了建筑物-土層-路基和軌道-列車的動(dòng)力模型，對(duì)比分析計(jì)算了振動(dòng)在土體中的傳播規(guī)律及振動(dòng)響應(yīng)特性。和振興[12]運(yùn)用數(shù)值方法和解析方法研究了列車在板式無(wú)碴軌上運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)在土體中的傳播規(guī)律。謝偉平[14]基于有限元法分析了列車移動(dòng)荷載作用下的土體的振動(dòng)響應(yīng)，并結(jié)合分層法對(duì)比分析地基中的振動(dòng)傳播規(guī)律。李曉霖[16]和陶連金[15]對(duì)隧道襯砌層狀地基進(jìn)行研究，在動(dòng)力響應(yīng)分析過(guò)程中以列車振動(dòng)加速度時(shí)程作為激勵(lì)輸入，并對(duì)振動(dòng)在地面的傳播規(guī)律進(jìn)行了研究。申躍奎[3]利用實(shí)測(cè)和有限元數(shù)值模擬研究了地鐵振動(dòng)在土壤中的傳播，并對(duì)有限元模型、單元尺寸、阻尼、時(shí)間步長(zhǎng)及邊界等因素進(jìn)行了討論。崔正翔[18]的研究表明，阻尼較大時(shí)可以有效地減弱振動(dòng)，而軌道附近為基巖層，其阻尼較小，列車的振動(dòng)波衰減慢，故周圍場(chǎng)地有較高的加速度振級(jí)。

1 振動(dòng)傳播的數(shù)值分析方法

數(shù)值分析和理論解析都是研究振動(dòng)在土體中傳播規(guī)律的重要手段，但是對(duì)非均勻結(jié)構(gòu)、復(fù)雜結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)與土體的相互作用、介質(zhì)非線性特性等問(wèn)題，數(shù)值分析的優(yōu)越性更為明顯。在數(shù)值分析中，頻域和時(shí)域分析都是常用的手段。但是列車振動(dòng)荷載在頻域上頻譜較寬，并且土體也是分層的非均勻介質(zhì)，因此土體的振動(dòng)用頻域的方法計(jì)算十分困難。因而，在列車運(yùn)行引起場(chǎng)地振動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng)分析中一般都用時(shí)域分析方法。有限元法是將連續(xù)的求解域離散，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。動(dòng)力問(wèn)題的有限元方程為[19]：

式中，[M]、[C]、[K]分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；和#x(t)$分別為結(jié)構(gòu)的加速度、速度和位移向量；{F為結(jié)構(gòu)的荷載向量。本文采用直接積分法求解列車運(yùn)行引起的場(chǎng)地振動(dòng)。其中，Wilson-θ和Newmark-β都是求解非線性方程組最常用、最有效的方法，本文計(jì)算采用Newmark-β法求解。

2 列車振動(dòng)傳播的數(shù)值模擬

2.1 計(jì)算假定

由列車運(yùn)行引起的土地應(yīng)變遠(yuǎn)小于10-4，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的研究，ε<10-4時(shí)，土體為彈性階段。因此，在這類問(wèn)題中，土體認(rèn)為處于完全彈性階段，在數(shù)值模擬中假定：

(1)假定土體為彈性模型，彈性體內(nèi)的各薄層滿足均質(zhì)和各向同性，并且土層之間相互獨(dú)立。

(2)假定彈性性質(zhì)不相同的土層之間的界面上均滿足位移協(xié)調(diào)條件，即各層土體之間無(wú)相對(duì)滑移和分離。

(3)計(jì)算方法選取為總應(yīng)力法。

2.2 有限元法計(jì)算模型和單元?jiǎng)澐?/h3>

(1)有限元法計(jì)算模型

通常根據(jù)計(jì)算精度要求、振動(dòng)能量的大小和計(jì)算設(shè)備等因素綜合確定計(jì)算模型的大小。在用有限元法計(jì)算列車運(yùn)行引起的場(chǎng)地振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，沈霞[20]認(rèn)為若不設(shè)置人工邊界條件，有限元模型的長(zhǎng)度應(yīng)不小于三倍的土層厚度，豎向深度也應(yīng)大于三分之二的土層厚度。楊永斌[9]則認(rèn)為土層有限元計(jì)算模型的尺寸應(yīng)為剪切波的波長(zhǎng)λs的1～1.5倍。

(2)有限元單元?jiǎng)澐?/p>

低通效應(yīng)和頻散效應(yīng)是兩種常見的不利現(xiàn)象，在半空間無(wú)限土層的動(dòng)力數(shù)值分析中使波的傳播性質(zhì)發(fā)生變化。低通效應(yīng)就是當(dāng)外界的動(dòng)力荷載作用在離散的有限單元體上時(shí)，那些頻率高于離散體系最高固有頻率的分量會(huì)受到阻止而無(wú)法繼續(xù)傳播，高于固有頻率的擾動(dòng)分量才會(huì)引起體系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)并且使振動(dòng)得以傳播。

由波動(dòng)力學(xué)的帶寬定理可知：?

式中，ω為圓頻率，x為空間域，K為波數(shù)，t為時(shí)間。在進(jìn)行計(jì)算中Δt（Δx）取值越小，能量在時(shí)間域（空間域）上就越集中，獲得的波數(shù)域ΔK（頻譜域Δω）就越寬。

研究表明[3]，劃分的單元尺寸足夠小時(shí)可以提高直接運(yùn)用有限元離散介質(zhì)模型的解的精度，所以在進(jìn)行本文類似問(wèn)題分析時(shí)要保證劃分的單元足夠小。

2.3 計(jì)算條件設(shè)定

(1)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)

要想提高有限元計(jì)算的穩(wěn)定性和精度，必須選取合理的計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)Δt。因?yàn)槿绻?dāng)Δt取值大時(shí)，無(wú)法對(duì)高頻部分進(jìn)行有效計(jì)算，計(jì)算結(jié)果會(huì)不精確甚至導(dǎo)致計(jì)算不收斂；如果Δt過(guò)小，會(huì)消耗大量的時(shí)間在迭代計(jì)算上，同時(shí)也會(huì)使累積誤差過(guò)大。文獻(xiàn)[21]認(rèn)為計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)Δt應(yīng)為模型自振周期的1/50～1/10最合適。此外激勵(lì)荷載的頻率和采樣定理的要求也是時(shí)間步長(zhǎng)選取的影響因素。綜合考慮，本文取時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.002s。

(2)阻尼矩陣模型

阻尼是表征結(jié)構(gòu)特性的重要參數(shù)，本文計(jì)算中采用的是Rayleigh阻尼模型[3]：

(3)邊界條件

在進(jìn)行有限元分析前需要根據(jù)研究方向選取合理的計(jì)算域，然后設(shè)置適當(dāng)?shù)娜斯み吔鐥l件，保證計(jì)算符合計(jì)算假定。影響人工邊界選取的因素很多，比如邊界條件的類型、所研究的頻率范圍、以及激勵(lì)持續(xù)時(shí)間的影響。現(xiàn)在比較常用的方法有透射邊界（自由邊界）、動(dòng)力映射無(wú)限元、疊加邊界等。文獻(xiàn)[22]中分析對(duì)比了多種人工邊界后認(rèn)為透射邊界進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果有較高的精度。

3 數(shù)值算例

3.1 有限元計(jì)算模型及參數(shù)選取

計(jì)算土體的有限元模型如圖1所示，邊界條件為：右端自由邊界，下端固定邊界，左端對(duì)稱邊界。

圖1 計(jì)算土體的有限元模型

模型以軌道中心線為對(duì)稱軸，沿對(duì)稱軸方向取50m，垂直于軸方向取100m。數(shù)值模擬采用ANSYS有限元計(jì)算軟件，時(shí)間步長(zhǎng)采用0.002s，單元為四結(jié)點(diǎn)等參元，阻尼采用Rayleigh阻尼，土體的具體參數(shù)詳見文獻(xiàn)[1]，計(jì)算方法為Newmark-β法。通過(guò)數(shù)值分析得到不同距離、不同深度處的加速度響應(yīng)。將數(shù)值模擬的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，研究有限元計(jì)算的可靠性、計(jì)算精度及振動(dòng)的傳播規(guī)律。

在有限元數(shù)值模擬中，激勵(lì)為文獻(xiàn)[1]的三種工況下的測(cè)點(diǎn)1測(cè)得的豎向加速度實(shí)測(cè)值，分別為G1、G2和G3（見圖2），對(duì)應(yīng)的列車時(shí)速分別為120km/h、144km/h和151km/h。

圖2 三種工況輸入的加速度時(shí)程激勵(lì)

3.2 地表豎向振動(dòng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值對(duì)比

圖3為G1離振源距離為5m、10m、20m、30m、50m處各點(diǎn)豎向加速度時(shí)程圖及1/3倍頻譜圖。

圖3 G1地表不同距離處豎向加速度時(shí)程及1/3倍頻譜

從圖3中看到，地面振動(dòng)的頻率主要分布在10～120Hz之間，加速度峰值變化與振源距離成反比；其主頻也與振源距離成反比，但減小幅度不大；豎向振動(dòng)中的高頻成分會(huì)在振動(dòng)的傳播過(guò)程迅速衰減。

圖4為3種工況下地表豎向加速度振級(jí)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的實(shí)測(cè)值對(duì)比，從圖中可以看出加速度振級(jí)會(huì)離振源距離的增加而相應(yīng)減小。有限元計(jì)算值與實(shí)測(cè)值趨勢(shì)較一致，說(shuō)明土體參數(shù)及計(jì)算方法的合理性。

圖4 地表加速度振級(jí)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較

3.3 阻尼對(duì)豎向振動(dòng)的影響

為了研究阻尼對(duì)振動(dòng)傳播的影響，模擬計(jì)算選取的阻尼比為0.05、0.04、0.03、0.02 。圖5中L表示距離軌道水平距離。

圖5 不同阻尼比豎向振動(dòng)沿地表的傳播

圖5分析可知，阻尼比相同時(shí)，隨著水平距離的增加，土體的加速度振級(jí)衰減速度會(huì)先快后慢再逐漸趨于平緩；而如果離軌道水平距離相同，加速度振級(jí)衰減會(huì)隨著阻尼比增大而加快。

圖6 不同阻尼比豎向振動(dòng)沿深度的傳播

由圖6可知，當(dāng)L和阻尼比固定時(shí)，隨土體深度的增加，加速度振級(jí)衰減會(huì)先快后慢，再快；若L增加，加速度振級(jí)沿土體深度的衰減會(huì)比較緩慢；當(dāng)L和土體深度相同時(shí)，加速度振級(jí)會(huì)隨著阻尼比增大而衰減加快。

3.4 豎向振動(dòng)沿土體深度的變化規(guī)律

現(xiàn)對(duì)3種不同工況下不同深度處土體的豎向加速度振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析豎向振動(dòng)的相關(guān)變化規(guī)律。

圖7 L=10m處不同深度時(shí)豎向振動(dòng)加速度曲線及1/3倍頻譜（G1）

圖7中為G1距離軌道10m時(shí)不同深度處的豎向加速度振動(dòng)時(shí)程曲線及1/3倍頻譜，可以看出豎向加速度峰值隨著深度的增加而逐漸減小，并且在1/3倍頻譜中，高頻分量隨深度衰減現(xiàn)象十分明顯。

圖8 水平距離不同時(shí)豎向振動(dòng)沿土體深度的傳播

圖8可以看出：豎向振動(dòng)衰減速度由近及遠(yuǎn)變慢；在距軌道較近處，衰減隨深度增加速度減緩；在距軌道較遠(yuǎn)處衰減隨深度的增加迅速增加。

4 結(jié)論

本文利用有限元法研究了列車運(yùn)行引起的豎向振動(dòng)在土體中傳播規(guī)律，并對(duì)有限元模型、計(jì)算參數(shù)等進(jìn)行了分析。還將數(shù)值分析結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的實(shí)測(cè)值進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)論如下：

（1）本文選取的有限元模型有效、參數(shù)合理，模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合較好。

（2）由列車運(yùn)行引起的地表豎向振動(dòng)的頻率集中在10～120Hz之間，它和主頻、振級(jí)都隨著距離振源距離的增大不斷減小，并且隨振動(dòng)的不斷傳播，高頻成分迅速衰減。

（3）豎向加速度峰值隨著土體深度的增加逐漸變小，在1/3倍頻譜圖中，高頻豎向振動(dòng)會(huì)隨著深度增加明顯衰減；豎向振動(dòng)衰減的幅度在距離軌道較近時(shí)更加明顯。

（4）阻尼比相同時(shí)，隨著水平距離的增加，土體的加速度振級(jí)衰減速度會(huì)先快后慢再逐漸趨于平緩；而如果離軌道水平距離相同，加速度振級(jí)衰減會(huì)隨著阻尼比增大而加快。

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