一類帶有變號權(quán)函數(shù)的橢圓方程組解的存在性

潘曉麗,　母麗華,　陳　輝

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150022)

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一類帶有變號權(quán)函數(shù)的橢圓方程組解的存在性

潘曉麗,母麗華,陳輝

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150022)

為合理而精確地解釋一類非線性橢圓方程問題的具體物理過程,在有界區(qū)域上討論了具有零Dirichlet邊界條件的擬線性橢圓方程組解的存在性問題。當(dāng)方程組的權(quán)函數(shù)滿足一定條件時,應(yīng)用上下解的方法證明該方程組存在弱解，并得出了這一類邊值問題解的存在性的判斷方法,具有廣泛的實際應(yīng)用前景。

擬線性橢圓系統(tǒng); 上下解; 變號權(quán)函數(shù); 特征值

0　引　言

近年來,具有p-Laplacian 算子的邊值問題是泛函微分方程研究的熱點問題之一,該類方程在非牛頓流體力學(xué)中具有廣泛應(yīng)用,如當(dāng)p∈(1,2)時方程對應(yīng)的是假塑性流體問題,當(dāng)p>2時方程對應(yīng)的為脹性流體問題,當(dāng)p=2時方程對應(yīng)的為牛頓流體問題[1]。該類方程還廣泛應(yīng)用于彈性力學(xué)理論、非線性光學(xué)、血漿問題、宇宙物理、生物學(xué)和天文學(xué)等研究領(lǐng)域,其中大量模型均可歸結(jié)為該類方程組正解的存在性,正是因為這類方程的結(jié)構(gòu)具有深刻的物理背景,且數(shù)學(xué)模型與自然現(xiàn)象極其吻合,所以研究具有p-Laplacian 算子的邊值問題正解的存在性具有重要的應(yīng)用價值。

近年來, 方程上下解的方法廣泛地用于討論非線性橢圓方程解的存在性問題,關(guān)于p-Laplacian方程邊值問題正解的存在性已取得大量的科研成果[2-10]。其中, 文獻(xiàn)[2]研究了一類含有p-Laplacian 算子的擬線性橢圓方程組:

并利用討論上下解的方法給出了至少存在一個非平凡弱解的充分條件,其中λ>0, 1

(1)

1　預(yù)備知識

為了獲得問題(1)的正解的存在性,需要構(gòu)造正的弱下解(ψ1,ψ2)和正的弱上解(z1,z2)。

考慮如下特征值問題:

(2)

(3)

(4)

2　主要結(jié)論

定理1假設(shè)存在t>0,滿足

則當(dāng)λ∈(λ*,λ*)時,問題(1)存在一個正解,其中

證明由假設(shè)λ*<λ*,令

類似地

類似地

類似地

即

因此,(ψ1,ψ2)為問題(1)的一個弱下解。

下面,構(gòu)造問題(1)的一個弱上解(z1,z2)。

考慮邊值問題

e1(x),e2(x)分別為上述邊值問題的正解。

令

z1(x)=Ae1(x),z2(x)=Be2(x)。

其中A、B為在充分大的正數(shù),則

因為θ=(p-1-α)(q-1-β)-γδ>0,則存在足夠大正常數(shù)A、B,使得

即

所以,存在足夠大正常數(shù)A、B滿足ψi≤zi(i=1,2),使得(z1,z2)為問題(1)的一個弱下解。因此,存在問題(1)的一個弱解(u,v)滿足(ψ1,ψ2)≤(u,v)≤(z1,z2),定理得證。

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(編輯王冬)

Existence of weak solution for class of elliptic systems with sign-changing weight

PANXiaoli,MULihua,CHENHui

(College of Sciences, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

Aimed at giving a reasonable and precise explanation for a specific physical process for a class of nonlinear elliptic equations, this paper discusses the existence of positive weak solution for the quasilinear elliptic system with zero Dirichlet boundary condition in bounded domain. The paper proves the existence of positive weak solution via sub-super-solutions when the weight functions satisfy certain additional conditions and gives the judging method for the existence of solution of this kind of boundary value problems. The study promises a stronger practical application.

quasilinear elliptic systems; sub-super-solutions; sign-changing weight function; eigenvalue

2013-07-24

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(12531576)

潘曉麗(1982-),女,達(dá)斡爾族,內(nèi)蒙古自治區(qū)莫旗人,講師,碩士,研究方向:偏微分方程,E-mail:panxiaoli006@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.05.023

O175.25

1671-0118(2013)05-0502-03

A