淺談大學(xué)物理教學(xué)中的相位概念

周 林， 張 亮

(南京曉莊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院， 江蘇 南京 211171)

淺談大學(xué)物理教學(xué)中的相位概念

周 林， 張 亮

(南京曉莊學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院， 江蘇 南京 211171)

相位是物理學(xué)中非常重要的概念之一，理工科大學(xué)生在《大學(xué)物理》課程中多次接觸到這一重要的物理概念，其首次引入是在振動(dòng)和波動(dòng)部分。由于相位的概念比較抽象，加上和一些復(fù)雜的微積分運(yùn)算混合在一起，因此構(gòu)成了大學(xué)物理教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。結(jié)合多年大學(xué)物理教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，作者以振動(dòng)和波中的相位為出發(fā)點(diǎn)，系統(tǒng)闡述相位的物理概念，揭示相位的物理圖像，以方便學(xué)生更好地掌握物理學(xué)領(lǐng)域這一重要概念。

振動(dòng)；波動(dòng)；相位；旋轉(zhuǎn)矢量

0 引言

相位是物理學(xué)中非常重要的概念之一。1918年，赫爾曼·外爾引進(jìn)了相位因子的概念，試圖把電磁學(xué)和引力場聯(lián)系起來，這一理論被稱為“規(guī)范理論”。1972年，量子力學(xué)的奠基人之一狄拉克到他70多歲的時(shí)候說：“如果有人問我量子力學(xué)的主要特點(diǎn)，今天我會(huì)說，不是不可譯，而是相位?！敝锢韺W(xué)家楊振寧先生在一次演講中也提到，21世紀(jì)物理學(xué)的主題旋律是量子化、對稱和相位因子，認(rèn)為這三個(gè)觀念的改變、演進(jìn)、糾纏在一起，造成了20世紀(jì)理論物理的主體發(fā)展。

事實(shí)上，任何有波動(dòng)觀念的理論都有相位的概念。理工科大學(xué)生在《大學(xué)物理》課程中也要多次接觸到這一重要的物理概念，其首次引入是在振動(dòng)和波動(dòng)部分[1]。然而由于相位的概念本身比較抽象，加上和一些復(fù)雜的微積分運(yùn)算混合在一起，因此構(gòu)成了大學(xué)物理教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文以振動(dòng)和波中的相位為出發(fā)點(diǎn)，系統(tǒng)闡述相位的物理概念，揭示相位的物理圖像，以方便學(xué)生能更好地掌握這一物理學(xué)領(lǐng)域的重要概念。

1 什么是相位

相位，在英語中用phase表示。在物理學(xué)中，phase通常有兩種翻譯：相或相位。前者(相)是表征物質(zhì)形態(tài)的物理量，如人們熟知的物質(zhì)存在形態(tài)的固、液、氣態(tài)，亦即固相、液相和氣相；后者(相位)則是表征波的一個(gè)重要物理量。相位，又稱位相，是某一物理量隨著時(shí)間(或位置)作余弦(或正弦)變化時(shí)，決定該量在任一時(shí)間(或位置)狀態(tài)的一個(gè)數(shù)值。對于一個(gè)波而言，相位反映了在特定時(shí)刻波在其周期循環(huán)中的位置，是一種它是否在波峰、波谷或它們之間的某點(diǎn)的標(biāo)度，也是描述訊號波形變化的度量，通常以度(角度)作為單位，也稱作相角。當(dāng)波形以周期的方式變化時(shí)，波形循環(huán)一周即為360°。常應(yīng)用在科學(xué)領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。

2 振動(dòng)和波動(dòng)問題中的相位概念

在大學(xué)物理課程的教學(xué)中，涉及相位概念的章節(jié)有多處，而首次出現(xiàn)是在振動(dòng)和波動(dòng)部分。下面，我們從振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述、振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系、平面簡諧波波動(dòng)方程三個(gè)方面對相位的概念進(jìn)行深入的剖析，以期尋找相位在波動(dòng)問題中的物理圖像和意義。

2.1 從振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述看

大學(xué)物理課程中涉及機(jī)械運(yùn)動(dòng)的三種基本的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)。其中，站在長時(shí)間的角度進(jìn)行觀察，轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)都具有典型的周期性、不斷重復(fù)的特征，而在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)觀察每一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)又都是獨(dú)一無二、不可重復(fù)的。

以地球公轉(zhuǎn)為例，其周期一般為365天。每一天都可視為一個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，于是有春夏秋冬，二十四節(jié)氣，年復(fù)一年，四季循環(huán)。從物理學(xué)的觀點(diǎn)來看，這就是一個(gè)典型的相位概念?？s短到一個(gè)月來看，也是如此。所以，月亮的陰晴圓缺實(shí)際上是月亮的相位(月相)。

從振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式的相似性可以推測振動(dòng)也應(yīng)該有相位特征。實(shí)際也是如此。更為有趣的是，在最簡單最基本的振動(dòng)形式——簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述中，還能給出相位的定量表述。大學(xué)物理教程系統(tǒng)介紹了兩種最簡單的簡諧運(yùn)動(dòng)：彈簧振子和單擺。無論哪一種，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程都可以寫成如下形式的通解：

x(t)=Acos(ωt+φ)

(1)

公式(1)是簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述法之一——數(shù)學(xué)解析描述法[2]。式中，x(t)表示簡諧振子的位移(角位移)，ω表示振動(dòng)圓頻率，由振動(dòng)系統(tǒng)自身的特征所決定。A和φ是求解動(dòng)力學(xué)微分方程所產(chǎn)生的兩個(gè)積分常數(shù)，其中A表示振動(dòng)的振幅，反映初始注入系統(tǒng)的能量的大??；φ的引入能夠把計(jì)時(shí)零點(diǎn)(t=0)時(shí)刻不同的初始狀態(tài)所導(dǎo)致的不同簡諧運(yùn)動(dòng)區(qū)分開，被稱為初始相位[3][4]。故φ(t)=ωt+φ表示t時(shí)刻簡諧振子的相位。

然而，在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，僅僅從數(shù)學(xué)公式上強(qiáng)調(diào)φ(t)=ωt+φ是諧振子的相位，大多數(shù)同學(xué)并不能很好的理解和掌握。這得在簡諧運(yùn)動(dòng)的特征上找原因。前面講到轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)都是周期性運(yùn)動(dòng)，然而在相位概念的理解上后者卻要難得多。其原因是地球公轉(zhuǎn)時(shí)，總是以同一運(yùn)動(dòng)方向通過路徑上的某一點(diǎn)，一個(gè)周期內(nèi)的不同的相位點(diǎn)在空間上完全分開；而(簡諧)振動(dòng)必須有(線性)回復(fù)力，這就決定了振子通過某一點(diǎn)的方向總是交替的變化，兩個(gè)不同的相位點(diǎn)在空間上是重疊的。為了進(jìn)一步建立相位的物理圖像，我們看一下簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方法二——旋轉(zhuǎn)矢量法。

圖1 旋轉(zhuǎn)矢量法示意圖

圖1是旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡諧運(yùn)動(dòng)的示意圖。本質(zhì)上而言，旋轉(zhuǎn)矢量方法是巧妙地利用了轉(zhuǎn)動(dòng)描述相位的便利性來描述簡諧振動(dòng)[5]。當(dāng)把一維方向上的簡諧振動(dòng)看成是二維平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)在某一方向上的運(yùn)動(dòng)分量(如矢量端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng))時(shí)，不同的振動(dòng)狀態(tài)則可以在空間上完全分開，而在運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中原本很抽象的相位表達(dá)式φ(t)=ωt+φ也同時(shí)找到了清晰的圖像上的對應(yīng)：任意時(shí)刻的相位φ(t)是代表該時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量與x軸方向的夾角。換句話說，每一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對應(yīng)一個(gè)[0,2π)內(nèi)的一個(gè)角度，對應(yīng)一個(gè)確定的相位。

2.2 從振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系看

在大學(xué)物理學(xué)機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波部分，振動(dòng)和波動(dòng)的關(guān)系是：振動(dòng)是激發(fā)波動(dòng)的波源，而波動(dòng)是振動(dòng)形式在彈性介質(zhì)中的傳播過程。以彈性繩上的橫波為例，波的傳播可以理解為振動(dòng)狀態(tài)的傳播，我們可以從以下四個(gè)方面理解：1)媒質(zhì)中各質(zhì)元并未“隨波逐流”；2)沿著波的傳播方向看，“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)；3)某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)；4)有些質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同，它們稱作同相點(diǎn)。而最近鄰的同相點(diǎn)在波傳播方向的空間間隔正好是一個(gè)波長。

事實(shí)上，由簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述可知，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)可以用相位唯一描述，沿著波傳播路徑上彈性介質(zhì)內(nèi)的任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的任意一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)必然能在[0,2π)內(nèi)找到唯一的一個(gè)角度(相位角)與之對應(yīng)。因此，波的傳播又可以理解為相位的傳播：1)某時(shí)刻某點(diǎn)的相位將在較晚時(shí)刻重現(xiàn)于“下游”某處；2)沿波的傳播方向，各質(zhì)元的相位依次落后；3)最近鄰的同相點(diǎn)的空間間隔是一個(gè)波長，而它們的相位間隔正好是2π。

2.3 從平面簡諧波波動(dòng)方程看

在均勻無吸收的各向同性介質(zhì)中傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程[6]可以寫為：

Acos(ωt-kx+φ)

(2)

式中，圓頻率ω表征平面簡諧波傳播的時(shí)間周期性，波數(shù)k和波長λ表示平面簡諧波傳播的空間周期性。從數(shù)學(xué)形式上，公式(2)給出的是在任意時(shí)刻t、位于平面簡諧波傳播路徑上任意位置x處的質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。因此，對于一個(gè)確定的位置x0，yp(x0,t)代表平衡位置為x0的這個(gè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間軸上的簡諧振動(dòng)的“微電影”；而對于一個(gè)特定的時(shí)刻t0，yp(x0,t)則表示(空間上)所有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)(相位)的一個(gè)“合影”。

值得一提的是，這種振動(dòng)狀態(tài)的相位本質(zhì)還體現(xiàn)在平面簡諧波傳播的時(shí)間和空間特性的關(guān)聯(lián)上。在公式(2)中，我們令平面簡諧波傳播的相位為常數(shù)φ0，即：

φP(x,t)=(ωt-kx+φ)=φ0

(3)

其物理意義是：相位φ0在不同時(shí)刻出現(xiàn)在不同位置，我們只觀察相同相位(φ0)對應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)的傳播情況。對公式(3)兩邊取全微分，得：

d(ωt)=d(kx)

(4)

由于介質(zhì)均勻無色散，公式(4)即可化簡為：

(5)

式中，u表示平面簡諧波的傳播速度(波速)。這說明，平面簡諧波在均勻彈性介質(zhì)中的傳播本質(zhì)上就是等相位面的傳播，因此，波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播和波是相位的傳播二者是等價(jià)的，而波速u自然也被稱為相速度。事實(shí)上，相速度u正好是時(shí)間周期和空間周期聯(lián)系的紐帶：

(6)

3 總結(jié)和討論

基于以上的討論我們得出結(jié)論，從經(jīng)典物理的觀念來看，相位往往與周期運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，如果沒有周期運(yùn)動(dòng)，也就沒有相位。相位正是用來描述一個(gè)做周期性運(yùn)動(dòng)的物體在一個(gè)周期內(nèi)所處的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，它可以量化為[0,2π)內(nèi)一個(gè)唯一的相位角。這種量化使得周期性運(yùn)動(dòng)的描述更為簡潔方便。這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，相位的取值是具有隨意性的。換句話說，選取一個(gè)2π長度的區(qū)間來描述一個(gè)周期內(nèi)的所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不是唯一的，所以讀者在一些教材或參考書目中可能看到取[-π,π)的情況，也是合理的。

最后，值得一提的是，前面我們主要討論的是某一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的絕對相位，但實(shí)際中往往當(dāng)涉及兩個(gè)(多個(gè))周期運(yùn)動(dòng)疊加時(shí)更有意義，此時(shí)周期運(yùn)動(dòng)之間相位差(或步調(diào)差)對疊加之后的合運(yùn)動(dòng)起著至關(guān)重要的作用。這也是波動(dòng)光學(xué)中波場干涉的物理基礎(chǔ)。所以說，相位(特別是相位差)也是干涉現(xiàn)象最重要的物理參量。正確理解相位的概念，對于大學(xué)物理課程諸多章節(jié)的學(xué)習(xí)都具有重要的指導(dǎo)意義。

[1] 文蔚.物理學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2002：23-25.

[2] 賴?yán)蝻w.淺談簡諧振動(dòng)中初相位與三角函數(shù)的統(tǒng)一[J].浙江萬里學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(2).

[3] 梁莎莎，劉勁.合振動(dòng)的初相位確定方法[J].陜西建筑,2010(1).

[4] 劉國躍.簡諧運(yùn)動(dòng)的相位[J].中學(xué)物理，2008(2).

[5] 王慧娟，管永精，劉奕新.旋轉(zhuǎn)矢量法在簡諧振動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009(2).

[6] 楊百愚，馮大毅，張崇輝，馮明德，馬華.如何“寫”出平面簡諧波的波函數(shù)[J].物理與工程，2008(5).

2013-05-20

江蘇省高校2012年度青藍(lán)工程優(yōu)秀青年骨干教師培養(yǎng)項(xiàng)目(2012.12-2015.12)

周林(1981-)，女，湖北隨州人，講師，理學(xué)博士，主要從事表面等離激元光子學(xué)研究。

O4

A

1671-6876(2013)03-0269-03

[責(zé)任編輯王榮江]