具有負(fù)系數(shù)一致凸函數(shù)類子集的卷積性質(zhì)

陳建蘭

(南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 江蘇 南通 226010)

具有負(fù)系數(shù)一致凸函數(shù)類子集的卷積性質(zhì)

陳建蘭

(南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 江蘇 南通 226010)

解析函數(shù); 一致凸; 分式算子; 卷積; 積分變換

0 引言

利用Hadamard積可以定義分式算子,再利用分式算子可以得到單位開圓內(nèi)解析函數(shù)類的新子集,研究了各類分式算子定義的解析函數(shù)類的新子集[1-4],并研究了它們的包含關(guān)系,卷積性質(zhì),系數(shù)估計(jì)等.本文利用Hadamard積定義了分式算子Iλ,μ,并由此定義了具有負(fù)系數(shù)的一致凸函數(shù)類的新子集,主要研究了該子集的卷積性質(zhì),并討論了在積分變換Vλ(f)的作用下新子集的特征性質(zhì).

若函數(shù)f(z),且滿足TS(λ,μ,α),其中

則稱f(z)屬于α階一致凸函數(shù)類[6],記為UCV(α).

若f(z)滿足

則稱f(z)屬于α階一致星像函數(shù)類記為Sp(α).顯然,Sp(α)是UCV(α)子集,且有f(z)∈UCV(α)?zf′(z)∈Sp(α).

對于f∈A,定義算子Dλ:A→A,滿足

這就是著名的Ruscheweyh導(dǎo)數(shù),很多學(xué)者對其進(jìn)行了深入的研究[7-8].

受Ruschewey導(dǎo)數(shù)的啟發(fā),我們定義算子

Iλ,μ:A→A:Iλ,μf(z)=fλ,μ(z)*f(z),

其中(λ)n是Pochhammer符號,定義如下:

顯然,當(dāng)λ=0,μ=1時,Iλ,μf(z)=f(z);當(dāng)λ=0,μ=2時,Iλ,μf(z)=zf′(z).

利用分式積分算子Iλ,μ我們定義A的一個新子類Sλ,μ(α).

定義1 對于-1≤α<1,若f(z)∈A且滿足

其中λ>-1,μ>0,則稱f(z)∈Sλ,μ(α).

現(xiàn)在我們定義函數(shù)類TS(λ,μ,α)=Sλ,μ(α)∩T.本文主要研究了函數(shù)類TS(λ,μ,α)的卷積性質(zhì).

定義函數(shù)fj(z)(j=1,2,…,m)形如

(1)

引理1[9]若f(z)∈T,則f(z)∈TS(λ,μ,α)的充要條件是

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)函數(shù)fj(z)(j=1,2)由式(1)給出,且f1(z)∈TS(λ,μ,α),f2(z)∈TS(λ,μ,β).μ<1+λ,則f1*f2∈TS(λ,μ,ξ),其中

(2)

證明由引理1可知,要說明f1*f2∈TS(λ,μ,ξ),只需說明

其中ξ由式(2)給出.因?yàn)閒1(z)∈TS(λ,μ,α),f2(z)∈TS(λ,μ,β),則由引理有

則由Cauchy-Schwarz不等式有

(3)

從而我們只需找到ξ滿足

而由式(3)不難看出,可選擇適當(dāng)?shù)膎滿足

由此可計(jì)算出

因?yàn)棣?1+λ,從而可取n=2,

從而定理得證.

推論1 設(shè)函數(shù)fj(z)(j=1,2)由式(1)給出且fj(z)∈TS(λ,μ,α),μ<1+λ,則f1*f2∈TS(λ,μ,ζ),其中

(f*g)(z)∈TS(λ,μ,α).

證明因?yàn)閨bn|≤1,則由引理1可知

則(f*g)(z)∈TS(λ,μ,α),定理得證.

證明由引理1可知,要證明結(jié)論成立,只需要說明

(4)

因?yàn)閒j(z)∈TS(λ,μ,α),則由引理1有

從而可得

則由上式可知,要想式(4)成立只需滿足

即如果δ滿足

即式(4)成立.因此,我們?nèi)∽畲蟮摩?即令n=2,可得

從而定理得證.

定義積分變換

定理4 設(shè)f(z)∈TS(λ,μ,α),則Vλ(f)∈TS(λ,μ,α).

計(jì)算可得

由引理1可知,我們僅需證明

從而定理得證.

[1] Yang D G, Liu J L.On Sakaguchi Functions[J].International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,2003,26,1923-1931.

[2] Liu J L. Some Applications of Certain Integral Operator[J].Kyungpook Mathematics Journal,2003,43,211-219.

[3] Liu J L. A linear operator and strongly starlike functions[J].Journal of Computational and Applied Matematics,2002,54,975-981.

[4] 陳建蘭,韋葉,劉金林. 由算子定義的解析函數(shù)的卷積性質(zhì)[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,9(4):4-6.

[5] Silverman H. Univalent functions with negative coefficients[J]. Procject of Amercian Mathematics Socity.1975, 51: 1091-116.

[6] Ning F R. Integral representations for bounded starlike functions[J]. Computers and mathematics with applications, 1995, 60: 289-297.

[7] Liu J L. Certain integral operator and strongly starlike functions[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2002, 30: 569-574.

[8] 程艷莉, 劉金林. 一個線性算子及其相關(guān)的亞純多葉函數(shù)類[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,7(2):10-12.

[9] 陳建蘭. 由分式積分算子定義的一致凸函數(shù)類的子集[J].鹽城工學(xué)院:自然科學(xué)版,2013,26(1):18-20.

ConvolutionPropertyofaSubclassofUniformlyConvexFunctionswithNegativeCoefficients

CHEN Jian-lan

(Basic Teaching Department, Nantong Shipping College, Nantong Jiangsu 226010, China)

Making use of a linear operatorIλ,μ,which is defined here by means of a Hadamard product,we introduce a new classTS(λ,μ,α) of uniformly convex functions with negative coefficients defined by using a certain fractional calculus operatorIλ,μ. In this paper, we discuss the convolution property of the classTS(λ,μ,α) and integrals transform is discussed

analytic functions; uniformly convex; hadamard product; integrals transform

2013-04-25

陳建蘭(1981-), 女, 江蘇如皋人, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué).

O174.51

A

1671-6876(2013)03-0199-05

[責(zé)任編輯李春紅]