一類(lèi)二階奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題的多重正解

劉 英

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

一類(lèi)二階奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題的多重正解

劉 英

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

利用錐理論和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)方法,研究了Banach空間中一類(lèi)二階奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題,在較弱條件下得到了該邊值問(wèn)題至少存在兩個(gè)正解,改進(jìn)和推廣了已有的相關(guān)結(jié)果．

不動(dòng)點(diǎn)指數(shù); 微分方程; 正解; 錐理論

0 引言

本文我們研究如下一類(lèi)奇異泛函微分方程邊值問(wèn)題多重正解的存在性:

(1)

其中k(t)在t=0及t=1處奇異.

1 預(yù)備知識(shí)

1) 對(duì)某自然數(shù)n,NTNu0≥Nu0;

2) ?u∈?Ω(P),NTu=LNu;

3) ?u∈?Ω(P),NAu≥NTu,

其中半序由錐P1給出 ,則不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(A,Ω(P),P)=0.

設(shè)G(x,t)為問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程的Green函數(shù),則

顯然

G(x,t)≤G(t,t)≤1,0

(2)

本文中假設(shè)條件

(H2)f(s)∈C((0,+∞),[0,+∞)),?0

P={u∈C[0,1]|u為非負(fù)凹函數(shù)},

P[c,d]={u∈P|c≤‖u‖≤d},?0

易證P為C[0,1]中的錐.稱(chēng)u是問(wèn)題(1)的正解,若u∈C[0,1]∩C2(0,1),u(t)>0且滿(mǎn)足式(1).

定義算子A:

(3)

G(x,t)≥τG(t,t),t∈[0,1]

(4)

引理2[5]如果(H1)和(H2)滿(mǎn)足,則對(duì)任意0

為了方便,本文引入如下記號(hào)

P1={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]}.

易知P1是C[0,1]中的自然錐,且P?P1.

引理3 如果(H1)滿(mǎn)足,則Tτ:C[0,1]→C[0,1]是線(xiàn)性全連續(xù)的,并且Tτ(P1)?P,同時(shí)譜半徑r(Tτ)≠0,Tτ具有相應(yīng)于其第一特征值λτ=r-1(Tτ)的正特征函數(shù).

證易證Tτ:C[0,1]→C[0,1]是線(xiàn)性全連續(xù)的.?u∈P1,若0≤x≤τ,則

若τ≤x≤1-τ則

(Tτu)″(x)=-k(x)u(h(x))≤0.

若1-τ≤x≤1則

所以0≤x≤1時(shí)(Tτu)(x)是凹的,即Tτu∈P.由文[2]中引理3的證明知譜半徑r(Tτ)≠0,Tτ具有相應(yīng)于其第一特征值λτ=r-1(Tτ)的正特征函數(shù).

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)(H1)和(H2)滿(mǎn)足,且

(5)

(6)

(7)

Vf(s)≥λ1·s

(8)

f(s)≥λτ·s

(9)

下證明i(A,Br1∩P,P)=0.設(shè)u0為T(mén)對(duì)應(yīng)于λ1的正特征函數(shù),即

則

所以u(píng)0是非負(fù)凹函數(shù),則u0∈P{θ}.令(T2u)(x)=λ1(Tu)(x),u∈C[0,1],則T2:C[0,1]→C[0,1]線(xiàn)性全連續(xù)且

T2(P1)?P,T2(u0)=λ1Tu0=u0.

對(duì)任給的u∈?Br1∩P,由式(8)得

在引理1中取E=C[0,1],Ω(P)=Br1∩P,T=L=T2,N=I為恒等算子,n=1有

i(A,Br1∩P,P)=0

(10)

下面證明i(A,Br2∩P,P)=1.對(duì)任給的u∈?Br2∩P,由u是非負(fù)凹函數(shù),于是

u(h(t))≥‖u‖h(t)(1-h(t))=r2h(t)(1-h(t)),t∈(0,1),

且0

所以

故由引理4

i(A,Br2∩P,P)=1

(11)

再證明i(A,Br3∩P,P)=0.設(shè)v1為T(mén)τ對(duì)應(yīng)于λτ的正特征函數(shù),即

類(lèi)似于引理3的證明,可得v1∈P{θ}.令

(T3u)(x)=λτ(Tτu)(x),u∈C[0,1].

由引理3知T3:C[0,1]→C[0,1]線(xiàn)性全連續(xù),且

T3(P1)?P,T3(v1)=λτTτv1=v1.

在引理1中取E=C[0,1],Ω(P)=Br3∩P,T=L=T3,N=I為恒等算子,n=1可知

i(A,Br3∩P,P)=0

(12)

從式(10)～式(12)知

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[7] Guo D J, Lakshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cones[M].San Diego:Academic Press, 1988.

MultiplePositiveSolutionsforaClassofBoundaryValueProblemsofSecond-orderFunctionalDifferenceEquation

LIU Ying

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300， China)

This paper is concerned with a class of boundary value problems of second-order functional difference equation in Banach space. Using cone theory and fixed point index method, the existence of at least two positive solutions is obtained, which improves and extends some previous results

fixed point index; differential equations; positive solutions; cone theory

2013-03-10

劉英(1981-), 女, 江蘇淮安人, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)榉蔷€(xiàn)性泛函分析.

O175

A

1671-6876(2013)03-0195-04

[責(zé)任編輯李春紅]