一類奇異型隨機控制平穩(wěn)問題的推廣

黃曉倩, 孫世良

(江蘇師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 徐州 221116)

一類奇異型隨機控制平穩(wěn)問題的推廣

黃曉倩, 孫世良

(江蘇師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 徐州 221116)

研究了一類受控狀態(tài)是一類帶有不連續(xù)漂移項的隨機微分方程的解過程的奇異型隨機控制模型的平穩(wěn)問題,得到了最優(yōu)控制策略和最優(yōu)費用函數(shù)．

奇異型隨機控制; 平穩(wěn)問題; 不連續(xù); 變分方程組

0 引言

奇異型隨機控制問題較早是由 Benes[1]針對折扣費用問題提出來的,后來由Karatzas[2]將其一般化,對齊次受控狀態(tài)過程系統(tǒng)地解決了折扣費用問題,并首次提出平穩(wěn)問題．本文在文獻[3,4]的基礎上對其進行深入的研究,將受控狀態(tài)過程推廣為較一般的隨機微分方程的解過程,使得推廣后的模型更符合實際．

下面給出本文具體模型的描述:

本文將受控狀態(tài)過程推廣為如下方程的解過程

(1)

其中μ>0,σ(x)為R上正值連續(xù)有界偶函數(shù),且

(2)

在此條件下不難證明方程(1)存在唯一的非爆炸左連續(xù)適應解[5]．奇異型隨機控制的平均期望費用函數(shù)為

(3)

其中的有關(guān)函數(shù)滿足如下條件:

(i)f(x)為R上二次可導非負偶函數(shù)且f′′(x)≥ε>0;

(ii)g(x)為R上正值連續(xù)偶函數(shù),且g′(0)=0,在R+上g(x)非降．

本文的目的是?x∈R,求得ξ*∈A以及一個常數(shù)λ>0,使得

(4)

1 相應變分方程組解的確定

定理1 設f(x)、g(x)滿足上述模型中的條件,則存在R上的二次連續(xù)可導非負偶函數(shù)υ(x)和常數(shù)λ>0及0

(5)

(6)

|υ′(x)|≤g(x),?x∈R;υ′(c)=g(c),υ′(-c)=-g(c)

(7)

υ″(x)≥0,?x∈R;υ″(x)=0,|x|≥d

(8)

為完成本定理的證明,從輔助函數(shù)入手并列出幾個引理．

做輔助函數(shù)

(9)

這顯然與條件(i)矛盾,1)得證．

任取λ1,λ2,滿足f(0)≤λ1<λ2<∞,則有

φλ1(x)-φλ2(x)=λ1-λ2-μ[Uλ1(x)-Uλ2(x)]=

在進行空間面板模型計量之前，先進行普通面板回歸，用以比較空間計量模型的適用性，由LM檢驗的結(jié)果決定，檢驗結(jié)果拒絕了沒有空間誤差或空間滯后影響的原假設?？臻g杜賓模型是空間計量中的一般模型，可通過Wald檢驗和LR檢驗判斷是否可以將空間杜賓模型SDM簡化為空間滯后模型SAR和空間誤差模型SEM。由檢驗結(jié)果得，SDM模型是研究我國能源強度收斂性的最優(yōu)模型。回歸結(jié)果如表5所示。

φλ1(x(λ2))<φλ2(x(λ2))=0,

下證連續(xù)性,先證右連續(xù)．

引理2 引入新的函數(shù)

證明(先證單調(diào)性) 任取λ1,λ2,滿足f(0)<λ1<λ2<∞,則有

使得

至此引理得證．

定理1的證明由上述所得常數(shù)00,構(gòu)造如下函數(shù)

則υ(x)顯然為R上的連續(xù)可導非負偶函數(shù),又因為υ″(d-)=υ″(d+)=0,所以υ(x)二次可導．在這里只證x≥0滿足變分不等式組,對于小于0的情形由對稱性即得．

所以式(5)成立．至此利用對稱性定理1得證．

2 最優(yōu)控制策略及其證明

(10)

證明構(gòu)造如下控制策略:

對?x∈R,?ξ∈A,先證

(11)

其中ΔXt=Xt+-Xt,0<θt<1．利用定理1,上式可化為:

(12)

由式(12)兩邊取期望得到

從而

(13)

(14)

顯然成立．

[2] Karatzas I. A Class of singular Stochastic Control Problem[J]. Adv Appl Prob, 1983,15:225-254.

[3] 劉坤會. 一類奇異型平穩(wěn)隨機控制問題[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,1999,19(4):391-395.

[4] 周華春, 劉坤會. 一類平穩(wěn)的奇異型隨機控制問題的研究[J].應用數(shù)學學報,1992,15(3):355-363.

[5] Ioannis Karatzas,Steven E. Shreve.Brownian Motion and Stochastic Calculus[M]. New York: Springer-Verlag World Publishing Crop,1988.

[6] 王梓坤. 概率論基礎及應用[M].3版. 北京:北京師范大學出版社,2007.

ExtendedStationaryProblemAboutaStochasticControlofSingularType

HUANG Xiao-qian, SUN Shi-liang

(School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University, Xuzhou Jiangsu 221116, China)

In this paper, the stationary problem of a singular stochastic control model of which the state processes are the solutions to a class of SDES with discontinuous drift terms are discussed.The optimal control strategy and the associated cost function are presented

singular stochastic control; stationary problem; discontinuous; variational equation

2013-07-08

國家自然科學基金資助項目(10971180)

黃曉倩(1988-), 女, 江蘇豐縣人, 碩士研究生, 研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計．

O21

A

1671-6876(2013)03-0189-06

[責任編輯李春紅]