CH-γ方程的新的孤立尖波解

王麗芳

(鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)教研室, 江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

CH-γ方程的新的孤立尖波解

王麗芳

(鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)教研室, 江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

通過選取CH-γ方程中色散參數(shù)α和γ作為分支參數(shù),基于平面動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論,利用相平面上特定的軌道,給出了該方程的一個(gè)新的孤立尖波解的解析表達(dá)式,證明了光滑孤立波和周期尖波解對(duì)孤立尖波解的收斂性質(zhì).

CH-γ方程; 孤立尖波解; 分支相圖

0 引言

1993年,Camassa 和 Holm[1]考慮重力作用下,淺水層自由表面的水波運(yùn)動(dòng),利用Hamilton原理導(dǎo)出了一類新型的淺水波模型

ut+2kux-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx,

該方程簡(jiǎn)稱為CH方程．他們發(fā)現(xiàn)該方程當(dāng)k=0時(shí)有形如：

u(x,t)=cexp(-|x-ct|),

的孤立波解．這種形式的孤立波解因在波峰處一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù),又被稱為孤立尖波解．且他們預(yù)言當(dāng)k≠0時(shí)不存在孤立尖波解．但Liu和Qian[2-3]基于動(dòng)力系統(tǒng)分支方法,給出了該方程當(dāng)k≠0時(shí)的孤立尖波解

Liu給出了該方程的另一個(gè)孤立尖波解

u(x,t)=(k+c)exp(-|x-ct)-k.

迄今為止,已有許多學(xué)者應(yīng)用各種方法研究了CH方程及CH方程的一些廣義形式[4-5]．最近,Dullin和Holm等[6-7]提出了如下廣義CH方程

mt+c0ux+umx+2mux=-γuxxx,

其中m=u-α2uxx(α≠0),該方程又被稱為CH-γ方程．顯然此方程可重寫為

ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+2uxuxx)=-γuxxx

(1)

且當(dāng)α2=1,c0=2k,γ=0時(shí),方程(1)退化為CH方程．利用相平面分析方法,Guo和Liu[8]通過3種不同的途徑獲得了方程(1)的孤立尖波的解析表達(dá)式

u(x,t)=(c+γ/α2)exp(-|x-ct|/|α|),

和

u(x,t)=(c+γ/α2)[3exp(-|x-ct|/|α|)-2].

Tang和Yang[9],Zhang等[10]考慮積分常數(shù)的影響,進(jìn)一步擴(kuò)展了方程(1)的孤立尖波解．正如Guo和Liu[8]所說CH-γ方程比CH方程多兩個(gè)參數(shù),導(dǎo)致CH-γ方程包含的數(shù)字信息更復(fù)雜．

本文將通過選取方程(1)中的α和γ作為分岔參數(shù),并考慮參數(shù)c0對(duì)行波解的影響,給出方程(1)一個(gè)新的孤立尖波解的表達(dá)式,并證明光滑孤立波和周期尖波解對(duì)孤立尖波解的收斂性質(zhì).

1 分支分析

令ξ=x-ct并將u(x,t)=u(ξ)代入方程(1),可得如下常微分方程

-cφ′+c0φ′+3φφ′-α2(φφ?+2φ′φ″-cφ?)=-γφ?

(2)

對(duì)方程(2)關(guān)于ξ積分一次并忽略積分常數(shù)得

(3)

令y=φ′,可將(3)轉(zhuǎn)化為

(4)

系統(tǒng)(4)存在奇直線

給分析帶來不便,為此引入變換

dξ=(α2φ-cα2-γ)dτ,

在此變換下,系統(tǒng)(4)變?yōu)槿缦缕矫鍴amilton系統(tǒng)

(5)

易于看出系統(tǒng)(4)和(5)具有相同的首次積分

H(φ,y)=(α2φ-cα2-γ)y2-φ3+(c-c0)φ2=h

(6)

對(duì)于某一固定的h,式(6)確定了系統(tǒng)(5)的一族不變曲線;當(dāng)h變動(dòng)時(shí),式(6)確定了系統(tǒng)(5)具有不同動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的軌道族．令M(φe,ye)表示系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(φe,ye)處的系數(shù)矩陣,即

且在此平衡點(diǎn)處有

P(φe,ye)=trace(M(φe,ye))=0，

J(φe,ye)=det(M(φe,ye))=-(α2ye)2-(α2φe-cα2-γ)(3φe+c0-c),

由平面動(dòng)力系統(tǒng)理論知,對(duì)于平衡點(diǎn)(φe,ye),若J(φe,ye)<0,則(φe,ye)是鞍點(diǎn);若J(φe,ye)>0且P(φe,ye)=0,則(φe,ye)是中心;若J(φe,ye)>0且P2-4J>0,則(φe,ye)是結(jié)點(diǎn);若J(φe,ye)=0且其Poincaré指標(biāo)為0,則(φe,ye)是尖點(diǎn)．

基于上述事實(shí)作定性分析,得(α,γ)參數(shù)平面上的四條分支曲線:

注意當(dāng)c>c0時(shí),四條分支曲線滿足不等式γ1(α)>γ2(α)>γ3(α)>γ4(α)．

基于以上討論并利用向量場(chǎng)的分支理論,可得到如下描述系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為的定理．

定理1 對(duì)于給定的c,c0(c>c0)及任意常數(shù)α,令

則有如下結(jié)論：

1) 當(dāng)γ>γ1(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(0,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(φ1,0)是被連接鞍點(diǎn)(0,0)的同宿軌道包圍的中心;

2) 當(dāng)γ=γ1(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(0,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(φ1,0)是被連接鞍點(diǎn)(0,0),(φ0,y±)三條異宿軌道包圍的中心;

3) 當(dāng)γ2(α)<γ<γ1(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(0,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(φ1,0)是被連接鞍點(diǎn)(φ0,y±)的軌道包圍的中心;

4) 當(dāng)γ=γ2(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0)．其中(0,0)是鞍點(diǎn),(φ1,0)是尖點(diǎn);

5) 當(dāng)γ3(α)<γ<γ2(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),且它們都是鞍點(diǎn);

6) 當(dāng)γ=γ3(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0)．其中(0,0)是尖點(diǎn),(φ1,0)是鞍點(diǎn);

7) 當(dāng)γ4(α)<γ<γ3(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(φ1,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(0,0)是被連接鞍點(diǎn)(φ0,y±)的軌道包圍的中心;

8) 當(dāng)γ=γ4(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(φ1,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(0,0)是被連接鞍點(diǎn)(φ1,0),(φ0,y±)三條異宿軌道包圍的中心9) 當(dāng)γ<γ4(α)時(shí),系統(tǒng)(5)有四個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(φ1,0),(φ0,y±)．其中(φ1,0),(φ0,y±)是鞍點(diǎn),(0,0)是被連接鞍點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌道包圍的中心．

系統(tǒng)(5)在不同區(qū)域的相圖如圖1所示．

(a)γ>γ1(α); (b)γ=γ1(α); (c)γ2(α)<γ<γ1(α); (d)γ=γ2(α);(e)γ3(α)<γ<γ2(α); (f)γ=γ3(c); (g)γ4(α)<γ<γ3(α); (h)γ=γ4(α)(i)γ<γ4(α).

2 CH-γ方程的新的孤立尖波解

本節(jié)通過相圖中特定的軌道給出CH-γ方程一個(gè)新的孤立尖波解的解析表達(dá)式,表述為如下定理:

定理2 對(duì)于給定的c,c0(c>c0),則有

(7)

(8)

證明令Γ1表示圖1(b)中經(jīng)過(0,0),(φ0,y±)的三條直線軌道組成的三角形曲線,令Γ2表示圖1(h)中經(jīng)過(φ1,0),(φ0,y±)的三條直線軌道組成的三角形曲線．則Γ1可表示為

(9)

而Γ2可寫為

(10)

將(9)和(10)代入系統(tǒng)(4)的第一個(gè)方程并分別沿Γ1和Γ2積分得

(11)

和

(12)

完成(11)和(12)中的積分,可得峰型孤立尖波與谷型孤立尖波的解析表達(dá)式(7)和(8)．

在系統(tǒng)(5)的相圖中,三條異宿直線軌道組成的三角形對(duì)應(yīng)方程(1)的孤立尖波解．在(7)中,當(dāng)c0=0時(shí),孤立尖波解與文[1]一致．(8)中的孤立尖波解從未在關(guān)于CH-γ方程的文獻(xiàn)中出現(xiàn)過,是一個(gè)新的孤立尖波解的表達(dá)式．

3 其他行波解收斂到孤立尖波解的性質(zhì)

本節(jié)首先給出光滑孤立波與周期尖波這兩類行波解的解析表達(dá)式,并證明隨參數(shù)γ的變化,這兩類行波解將收斂到峰型或谷型孤立尖波解,表述為如下定理．

定理3 對(duì)于給定的c,c0(c>c0),則有

1) 對(duì)應(yīng)于過鞍點(diǎn)(0,0)的同宿軌道,方程(1)有隱式峰型孤立波解

(13)

其中

2) 當(dāng)γ>γ1(α)且γ→γ1(α)時(shí),隱式峰型孤立波解(13)收斂到峰型孤立尖波解(7)．

3) 對(duì)應(yīng)于過鞍點(diǎn)(φ1,0)的同宿軌道,方程(1)有隱式谷型孤立波解

(14)

其中

4) 當(dāng)γ<γ4(α)且γ→γ4(α)時(shí),隱式谷型孤立波解(14)收斂到谷型孤立尖波解(8)．

證明如圖1(a)與(i),由首次積分(6)知,過鞍點(diǎn)(0,0)和(φ1,0)的同宿軌道分別表示

(15)

和

(16)

將(15)和(16)代入系統(tǒng)(4)的第一個(gè)方程并分別沿相應(yīng)的同宿軌道積分得

(17)

和

(18)

完成積分(17)和(18),即得隱式峰型孤立波解(13)和隱式谷型孤立波解(14)．

另外,我們有

和

因此,峰型孤立尖波解可由(7)當(dāng)γ→γ1(α)時(shí)得到,而谷型孤立尖波解可由式(8)當(dāng)γ→γ4(α)時(shí)得到．

4 結(jié)論

為了考查CH-γ方程(1)中色散參數(shù)對(duì)方程行波解的影響,我們選取該方程中色散參數(shù)α和γ作為分支參數(shù),基于平面動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論,利用相平面上特定的軌道,給出該方程一個(gè)新的孤立尖波解的解析表達(dá)式,并嚴(yán)格證明了光滑孤立波和周期尖波解對(duì)孤立尖波解的收斂性質(zhì),從而豐富了對(duì)該方程的研究結(jié)果．

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NewSolitaryPeakonSolutionofCH-γEquation

WANG Li-fang

(Department of Mathematics, Zhenjiang College, Zhenjiang Jiangsu 212003, China)

By selecting the dispersion parameters αandγ in CH-γequation as the bifurcation parameter, based on the bifurcation theory of planar dynamical systems, using the particular track on the phase plane, gives the analytical expression of the new solitary peakon solution of CH-γequation, proves the properties of smooth solitary wave and periodic peakon solution converge to the solitary peakon solution

CH-γequation; solitary peakon solution; bifurcation phase portrait

2013-09-16

王麗芳(1968-)， 女， 江蘇無錫人， 講師， 碩士， 主要從事微分動(dòng)力系統(tǒng)的研究.

O175.2

A

1671-6876(2013)04-0287-06

[責(zé)任編輯李春紅]