一種基于Henon映射的圖像加密算法

黃 波，張林華，段婉玉

(重慶師范大學數學學院，重慶401331)

社會信息化步伐的加快，數字圖像逐漸成為一種重要的信息傳輸方式，在享受數字圖像給生活帶來諸多便利的同時，如何保障數字信息的安全己經成為一個刻不容緩的問題。圖像加密是保障圖像信息安全的一種方式，研究圖像加密技術具有重要的理論和現實意義［1］?；煦缱钤缬蒐orenz在1963年研究模擬天氣預報時發(fā)現，Fridrich在1997年首次將它用于圖像加密［2］。由于混沌系統對初始條件和系統參數的極端敏感性、白噪聲的統計特性和不可預測性等優(yōu)良特征，使得混沌具有天生的密碼學特性。近年來，國內外學者對基于混沌系統的圖像加密研究也取得了不少成果，如鄧紹江等［3］通過對混沌和密碼學之間關系的分析，給出了數字加密中選擇混沌系統的原則;Guan ZH等［4］在混沌系統的基礎上提出新的加密算法;趙亮等［5］提出了高維混沌圖像加密算法，算法比低維混沌系統更具安全性;李玲等［6］對超混沌系統的圖像加密算法進行了改進，使其具有更好的安全性;盧輝斌，肖霞［7］由兩個Logistic混沌映射相結合產生加密序列;樂鴻輝等［8］利用超混沌系統改進了MD5加密算法，增強了明文的敏感性。

1 混沌系統基本理論

1.1 混沌的概念

由于混沌系統的奇異性和復雜性至今尚未被人們徹底了解，因此至今不同領域的科學家往往對其作出不同的定義。目前，已有的定義從不同的側面反映了混沌運動特性，最具代表性的是Li-Yorke的混沌定義［9］。區(qū)間I上的連續(xù)自映射f(x)，如果滿足下面條件，便可確定它有混沌現象:

(1)f的周期點的周期無上界;

1.2 Henon 混沌映射

Henon映射是典型的二維離散混沌映射，其方程:

當 p=1.4，q=0.3時，系統可產生混沌現象，圖1為Henon映射的吸引子。

圖1 Henon 映射的吸引子(p=1.4，q=0.3)

2 圖像加密算法

設 I(x，y)M×N為初始圖像，其中 x，y 代表像素的位置信息，M×N表示圖像的大小，其中加密過程可描述如下:

(1)生成混沌序列，設定初始值x(1)與y(1)，Henon混沌系統的控制參數p與q，利用Henon映射生成兩個長度為(M ×N)/2 的混沌序列 x(i)、y(j)，其中 p=1.4，q=0.3，0≤x(1)≤1，0≤y(1)≤1，i=j=0，1，…，(M ×N)/2;

(2)混沌置亂，對生成的兩個混沌序列x(i)、y(j)按照［x1(n)/2，y1(n)/2，y2(n)/2，x2(n)/2］的方式重新排列，得到置亂圖像I1，其中x1(n)/2表示序列x(i)的前半部分，x2(n)/2表示序列x(i)的后半部分，y(j)同理;

(3)異或運算:將初始圖像進行排序變換，表示為I2，做異或運算I3=I1⊕I2，從而實現對初始圖像的置亂加密，得到最終的加密圖像I3;該算法的加密流程圖如圖2所示。

圖2 加密算法流程圖

3 仿真結果及分析

3.1 仿真結果

在MATLAB 7.0環(huán)境下對標準測試灰度圖像couple.bmp進行仿真實驗，圖像的大小是256×256，混沌映射初始值 x(1)=0.5，y(1)=0.5，控制參數 p=1.4，q=0.3 作為密鑰。圖3(a)與圖 3(b)為初始圖像及其直方圖，圖3(c)與圖3(d)為加密圖像及其直方圖，可以看出，加密圖像的直方圖要比初始圖像的直方圖均勻得多，且密文的統計特性完全不同于明文，大大降低了明文和密文的相關性。

3.2 信息熵分析

一幅圖像的熵值是這幅圖像的平均信息量，也可以說是圖像中各灰度級的統計平均值，信息熵越大，分布越均勻［10］。從表1可以看出，加密圖像的信息熵等于256級灰度圖像信息熵的最大值8，這說明加密圖像的灰度值分布是相當均勻的。初始圖像與加密圖像的信息熵見表1。

圖3 加密效果與直方圖分析

表1 信息熵

3.3 密鑰敏感性分析

參數敏感性是混沌系統的一個重要特性，為了分析加密圖像對密鑰的敏感性，使用不同的密鑰組合對標準測試灰度圖像lena.bmp的加密圖像進行解密。由圖4的實驗結果可以看出，即使密鑰只是發(fā)生了微小的變動，也無法得到正確的初始圖像。圖4(a)以密鑰(0.5，0.5，1.4，0.3)得到的加密圖像圖4(b)以正確密鑰(0.5，0.5，1.4，0.3)解密圖像。圖 4(c)以錯誤密鑰(0.500 1，0.499 9，1.4，0.3)解密圖像圖 4(d)以錯誤密鑰(0.5，0.5，1.400 1，0.299 9)解密圖像。

圖4 密鑰敏感性測試

3.4 相關性分析

相關性分析是對算法的擴散性進行分析，用相關系數r來表示，序列x，y的相關系數可定義為rxy=，其中cov(x，y)=E((x－E(x))(y－E(y)))，E(x)和 D(x)分別表示序列 x的期望和方差。由表2可以看出加密圖像的相關性遠小于初始圖像，這表明了該加密算法具有良好的擴散性。從初始圖像和加密圖像隨機選取5 000對相鄰像素點，得到相關系數表。

表2 初始圖像和加密圖像的相關系數

4 結語

提出了一種新的基于Henon混沌映射的數字圖像加密算法，并通過直方圖、信息熵、密鑰敏感度和相關性對該加密算法進行了安全性分析。實驗表明:加密算法對參數敏感度高，擴散性好，具有很好的安全性，是一種有效的數字圖像加密算法。能否將該加密算法應用于彩色圖像以及如何減少加密、解密過程的時間還需進一步討論和完善。

［1］李昌剛，韓正之，張浩然.圖像加密技術綜述［J］.計算機研究與發(fā)展，2002，39(10):1321-1322

［2］FRIDRICH J.Image encryption based on chaotic maps［J］.Proc，IEEE Conf.on Systems，Mar and Cybernetics.1997:1105-1110

［3］鄧紹江，李傳東.混沌理論及其在密碼學中的應用［J］.重慶建筑大學學報，2003，25(5):123-125

［4］GUAN Z H，HUANG F J，GUAN W J.Chaos-based image encryption algorithm［J］.Physics Letters A，2005(346):153-157

［5］趙亮，廖曉峰，向濤，肖迪.對高維混沌系統的圖像加密算法安全性和效率的改進［J］.計算機應用，2009，29(7):1775-1778

［6］李玲，王偉男，李津杰.對超混沌系統的圖像加密算法安全性的改進［J］.計算機應用研究，2011，28(11):4335-4337

［7］盧輝斌，肖霞.基于混沌映射的圖像加密算法［J］.計算機工程，2011，37(24):117-118

［8］樂鴻輝，李濤，石磊.應用Henon超混沌系統改進的圖像加密［J］.計算機應用，2011，31(7):1909-1911

［9］郝柏林.從拋物線談起—混沌動力學引論［M］.上海:上?？萍冀逃霭嫔纾?997

［10］姚敏.數字圖像處理［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2006