葡萄酒評(píng)價(jià)的理化指標(biāo)研究*

鄭繼明，鄭亞麗，黃 濤，湯文杰

(1.重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，重慶400065;2.重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶400065)

葡萄酒的質(zhì)量是葡萄酒中各種成分協(xié)調(diào)平衡的結(jié)果，然而葡萄酒的成分之間卻存在著復(fù)雜的關(guān)系。如何運(yùn)用科學(xué)的方法使這些復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)單化，進(jìn)而能更加準(zhǔn)確地進(jìn)行葡萄酒質(zhì)量的評(píng)價(jià)，已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。目前國(guó)內(nèi)對(duì)葡萄酒質(zhì)量的研究主要傾向于對(duì)葡萄酒理化指標(biāo)的分析，采用的方法主要有統(tǒng)計(jì)分析［1，2］和感官評(píng)價(jià)［3］等。以2012年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題［4］中提供的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)建立基于主成分分析和曲面擬合的數(shù)學(xué)模型，研究如何由葡萄酒的理化指標(biāo)分析評(píng)價(jià)葡萄酒質(zhì)量問(wèn)題。

1 數(shù)據(jù)處理與模型假設(shè)

由于數(shù)據(jù)類型比較多且比較繁雜，建模的第一步就是要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以降低模型求解過(guò)程中的難度?？紤]到各個(gè)理化指標(biāo)的單位不一致，并且有數(shù)據(jù)存在缺失和異常現(xiàn)象，首先對(duì)缺失和異常的數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除處理，然后對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使分析結(jié)果更加準(zhǔn)確可信。

針對(duì)已知27種紅葡萄酒對(duì)應(yīng)的7個(gè)理化指標(biāo)含量，以及賽題附件1［4］中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果，給出如下假設(shè):

(1)A組評(píng)酒師的評(píng)分結(jié)果更加可信，將A組評(píng)酒師的評(píng)分作為27種葡萄酒的專家打分;

(2)葡萄酒的質(zhì)量由專家打分?jǐn)?shù)據(jù)(總分)確定;

(3)葡萄酒的理化指標(biāo)只考慮賽題附件2［4］中給出的指標(biāo)。

2 主成分分析法提取葡萄酒的主要理化指標(biāo)

在處理多元樣本數(shù)據(jù)時(shí)，首先遇到的問(wèn)題是觀測(cè)數(shù)據(jù)很多。如果多個(gè)指標(biāo)是相互獨(dú)立的，則可以把問(wèn)題化為n個(gè)單指標(biāo)來(lái)處理。主成分分析［5］是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，它是將多指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。選取與葡萄酒質(zhì)量相關(guān)聯(lián)的7項(xiàng)指標(biāo)，即分別將花色苷(X1)，單寧(X2)，總酚(X3)，酒總黃酮(X4)，白藜蘆醇(X5)，DPPH半抑制體積(X6)，色澤(X7)作為指標(biāo)體系，并將其綜合指標(biāo)分別記為z1，z2，…，zm(m≤7)，可建立如下數(shù)學(xué)模型:

其中主成分系數(shù)lij由下列原則來(lái)決定:

① zi與 zj(i≠j;i，j=1，2，…，m)相互無(wú)關(guān);

② z1是X1，…，X7的一切線性組合中方差最大者;z2是與z1不相關(guān)的X1，…，X7的所有線性組合中方差最大者;……;zm是與z1，z2，…，zm都不相關(guān)的X1，X2，…，X7的所有線性組合中方差最大者;

這樣決定的新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)X1，X2，…，X7的第一，第二，…，第m主成分。其中，z1在總方差中占的比例最大，z2，z3，…，z7的方差依次遞減。通過(guò)挑選前幾個(gè)最大的主成分，既減少了變量的數(shù)目，又抓住了主要矛盾，簡(jiǎn)化了變量之間的關(guān)系。

模型(1)的求解步驟如下:

①對(duì)原始數(shù)據(jù)Xij進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。主成分分析首先要消除樣本數(shù)據(jù)中各變量不同量綱的影響，即令:

②計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R:

其中rij(i，j=1，2，…，7)為原變量 Xi與 Xj的相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算公式為

代入具體數(shù)據(jù)［4］，通過(guò)運(yùn)用matlab求解得到相關(guān)系數(shù)矩陣R，以及矩陣R的特征值λi和特征向量ei。

③計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累積貢獻(xiàn)率。主成分zi的貢獻(xiàn)率為

由步驟①、②和③，以及問(wèn)題所給數(shù)據(jù)，可得計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 主成分貢獻(xiàn)率及累積貢獻(xiàn)率

表2 載荷矩陣

由表1可知，前2個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率已達(dá)到90.7%，大于85%，基本上保留了原來(lái)指標(biāo)X1，X2，…，X7的主要信息，因此選取這2個(gè)主成分已足夠。這樣便將原來(lái)的7個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為2個(gè)新指標(biāo)，達(dá)到了簡(jiǎn)化分析的目的。

④ 計(jì)算主成分載荷p(zk，Xi):

其中p(zk，Xi)表示第k個(gè)主成分zk與第i個(gè)原變量指標(biāo)Xi的因子載荷，eki為特征值λk對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化后的特征向量的第i個(gè)分量。通過(guò)正交旋轉(zhuǎn)后的主成分載荷矩陣如表2所示。

由表2可以看出，第一主成分和 X1，X2，X3，X4，X6均負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)很大(相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值＞0.8)，和X7有較大的正相關(guān)(相關(guān)系數(shù)為0.867)，可以說(shuō)第一主成分反映的是葡萄酒的酚類物質(zhì)及其相關(guān)化合物，可以顯著影響葡萄酒的外觀、滋味、口感、香氣以及微生物穩(wěn)定性。同時(shí)由表2可以看出第一主成分與總酚(X3)的相關(guān)性最強(qiáng)，故將總酚作為第一主成分的代表。第2主成分和X5有較大的正相關(guān)(相關(guān)系數(shù)為0.839)，和其他變量的相關(guān)系數(shù)均較小，因此可以認(rèn)為第2主成分集中反映葡萄酒的保健功能，以白藜蘆醇的含量為代表。

⑤結(jié)果驗(yàn)證。由以上分析可以得出葡萄酒的7個(gè)理化指標(biāo)可以被歸納為2類，其代表分別為總酚和白藜蘆醇。結(jié)果與文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］一致，表明對(duì)理化指標(biāo)的歸類是合理的。

3 理化指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量的定量聯(lián)系

為了進(jìn)一步得出葡萄酒指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量間具體的函數(shù)表達(dá)式，采用曲面擬合的方法求解，并同時(shí)計(jì)算出優(yōu)質(zhì)葡萄酒其主要理化指標(biāo)應(yīng)滿足的條件。

首先要確定每種葡萄酒的得分，將A組10名評(píng)酒員對(duì)27種紅葡萄酒的評(píng)分去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，取其平均值作為每種葡萄酒最后的專家評(píng)分。然后將紅葡萄酒的兩個(gè)主要指標(biāo):總酚和白藜蘆醇的含量作為自變量x，y，紅葡萄酒的專家評(píng)分作為因變量f，對(duì)這27個(gè)點(diǎn)進(jìn)行二次曲面的最小二乘擬合。

在實(shí)際擬合時(shí)，主要借助matlab中的sftool工具箱。首先輸入紅葡萄酒27個(gè)樣本各自的總酚和白藜蘆醇的含量x，y及專家評(píng)分f;然后確定擬合方式，即綜合考慮x，y，f 3個(gè)變量之間的物理關(guān)系，同時(shí)結(jié)合各種擬合方式下的誤差平方和(SSM)，方程的確定系數(shù)(R-square)及均方根誤差(RMSE)的參數(shù)，采用二元二次多項(xiàng)式擬合。最后經(jīng)檢驗(yàn)，SSM=260.3，R-square=0.37，RMSE=3.52，說(shuō)明擬合可以很好地解釋該曲面方程。圖1是使用matlab對(duì)27個(gè)樣本值進(jìn)行曲面擬合的三維仿真結(jié)果。

根據(jù)仿真結(jié)果，可得到專家評(píng)分與葡萄酒理化指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)公式為:

圖1 葡萄酒質(zhì)量和理化指標(biāo)間的三維仿真

其中，葡萄酒的總酚含量x和白藜蘆醇含量y的單位為mmol/L。

根據(jù)專家評(píng)分，定義評(píng)分大于70分的紅葡萄酒為優(yōu)質(zhì)酒品，即令:

則滿足式(8)中的x，y的取值范圍即為獲得優(yōu)質(zhì)酒品的條件。在三維仿真圖上，可以通過(guò)作一個(gè)f=70平面與曲面方程(8)相交，可得一個(gè)閉合曲線l，那么在f=70平面以上的部分都可以認(rèn)為屬于優(yōu)質(zhì)酒品。通過(guò)求解相交曲線的邊界點(diǎn)即可確定 x，y的取值范圍。由文獻(xiàn)［8］可知，紅葡萄酒中總酚含量最大不超過(guò)2 347 mg/L，即x＜13.04 mmol/L;紅葡萄酒中白藜蘆醇含量最大不超過(guò)16.7 mg/L。于是優(yōu)質(zhì)葡萄酒對(duì)應(yīng)的葡萄酒理化指標(biāo)應(yīng)該滿足的要求為:總酚含量5.6 mmol/L＜x＜13.04 mmol/L，同時(shí)白藜蘆醇含量6.4 mg/L＜y＜16.7 mg/L。

4 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用主成分分析法提取了葡萄酒的主要理化指標(biāo)，又通過(guò)曲面擬合得出了葡萄酒質(zhì)量和葡萄酒理化指標(biāo)的關(guān)系，使得可以通過(guò)分析釀酒葡萄的理化指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量，對(duì)葡萄酒質(zhì)量評(píng)價(jià)具有一定的應(yīng)用價(jià)值。在未來(lái)的研究當(dāng)中，將重點(diǎn)分析葡萄酒各理化指標(biāo)的含量測(cè)定以及怎樣改良葡萄酒質(zhì)量的問(wèn)題，以期對(duì)實(shí)際的生產(chǎn)生活起到一定的指導(dǎo)意義。

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